专题1.2 探索勾股定理（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.2 探索勾股定理（专项练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）在中，，，，则正方形的面积为（    ） A．81 B．144 C．225 D．169 2．（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 3．（17-18八年级下·山东临沂·期末）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为12，斜边长为5，则ab的值是（　　） A．6 B．8 C．12 D．24 4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）在中，斜边，则等于（   ） A．8 B．4 C．6 D．以上都不对 5．（18-19七年级下·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 6．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）甲、乙两人玩跑步游戏，两人从同一地点同时出发，甲往西跑了12米，乙往北跑了16米，此时他们两人之间的距离为（    ） A．16米 B．20米 C．24米 D．32米 7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 8．（21-22八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 9．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔的东南方向处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 12．（21-22八年级下·河南三门峡·阶段练习）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面8米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为15米，则这棵大树在折断前的高度为 米．    13．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为 ． 14．（重庆市九龙坡区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，面积分别为的四个正方形围成的四边形中，，若，．则 ． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，中，，，，是边上的高，则中边的“中偏度值”为 ． 16．（2024·浙江台州·二模）如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ． 17．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．若，则的长为 ． 18．（2024·浙江嘉兴·二模）清代数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对宋代数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角三角形的高，则当时，线段的长为 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积． 20．（8分）（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在中，，，，，过点作于点． (1)求的长； (2)求的长． 21．（10分）（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离，到公路上另一停靠站的距离，停靠站之间的距离为，为方便运输货物，现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．   (1)请判断的形状，并说明理由； (2)求修建的公路的长． 22．（10分）（23-24八年级下·江西新余·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长？” 23．（10分）（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 24．（12分）（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出的值是解题关键． 【详解】解：因为，所以正方形的面积为， 故选C． 2．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案． 【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， ∴由勾股定理得：； 故选：D． 3．C 【分析】由该三角形的周长为12，斜边长为5可知a+b+5＝12，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值． 【详解】解：∵三角形的周长为12，斜边长为5， ∴a+b+5＝12， ∴a+b＝7，① ∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2+b2＝52，② 由②得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52 ∴72﹣2ab＝52 ab＝12， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及完全平方公式． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可知，进而可知． 【详解】解：∵在中，斜边为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 5．C 【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题． 【详解】在Rt△ABC中， ∵AC=6，BC=8，∠C=90°， ∴AB10， 由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE， ∴BE=4， ∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12． 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到直角三角形，并掌握勾股定理是解题关键．根据题意得甲乙二人所走路线构成一个直角，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，甲乙二人所走路线构成一个直角，即，，， 在中， ． 故选B. 7．D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 8．C 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 9．B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意抽象出直角三角形是关键．由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：∵在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔的东南方向处有一建筑工地B ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，先根据勾股定理计算出，再证明四边形是矩形，得到，再根据垂线段最短求出的最小值即可． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵，且四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，当最小， 当时，， ∴， 故选：C． 11．4 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解． 【详解】解：在中，为斜边， 米， 少走的距离为 （米）， 故答案为：4． 12．25 【分析】利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得： 在中，，（米），（米）， （米）， 这棵大树在折断前的高度为：（米）， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了勾股定理及用尺规画线段，正确认识尺规作图和掌握勾股定理是解题关键．先通过尺规作图确定，，再利用勾股定理求，即可求解． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 14．10 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知：，，，，根据勾股定理可以表示出，进而求出的长，掌握勾股定理是关键． 【详解】解：根据题意可知：，，，， 在与中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：10． 15．/ 【分析】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：作为的中线， ，，， ， ∵， ∴， ， ∴， 为斜边上的中线，， ∴， ∴， 即点到的距离为， 则中边的“中偏度值”为：． 故答案为：． 16．4 【分析】此题考查了平行线的性质、勾股定理．根据角平分线定义及平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ， ， ，， ， 于点， ， 故答案为：4． 17． 【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可解答．本题主要考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关性质定理是解答本题的关键． 【详解】解：∵沿翻折，使点B落在点E处， ∴， ∵将沿翻折，点A恰好与点E重合， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 18．9 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据和，，可以计算出的长． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：9． 19．的面积为96 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理等．利用折叠的性质，得到 是解题的关键． 根据折叠的性质可知，利用三角形周长可求出的值，再根据勾股定理可求出与的长，进而求出三角形的面积即可． 【详解】解：由折叠可知， ， ，， ，即 又， ，， ． 答：的面积为96． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理； （1）中，由勾股定理得，进而根据，即可求解； （2）根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：，，， 中，由勾股定理得：， ． （2）， ， ， ． 21．(1)是直角三角形．理由见解析 (2)修建的公路的长为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得，再根据三角形面积公式即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1））是直角三角形．理由如下： ， ∴， 是直角三角形； （2）， ， 即修建的公路的长为． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 22．14.5尺． 【分析】设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可．本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴四边形是矩形 ∴ 依题意得 则设绳索有尺长， 在中， 即， 解得：， 即绳索长14.5尺． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用． （1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出． （2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：， ∴在中， 设，则， 即 解得：， 即． （2）在， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 设，则，， 则， 解 解得：， 即． 24．【解决问题】；【拓展探究】结论仍成立，理由见解析；【推广应用】30 【分析】本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】[解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$