精品解析：江苏省2024年中职职教高考文化统考数学试题

机密★启用前 江苏省2024年中职职教高考文化统考 数学试卷 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效． 2．作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置． 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 设集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数k的值是（ ） A. B. C. D. 3 4. 下列逻辑运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知长方体的体积是，点P、Q分别在侧棱和上，且，则四棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个扇形的周长为16，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 7. 若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中第4项的系数是（ ） A. B. C. 960 D. 3360 8. 题图是某项工程网络图（单位：天），则该工程的关键路径是（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的一条渐近线方程是，且该双曲线的一条准线和抛物线的准线重合，则该双曲线的标准方程是（ ） A B. C. D. 10. 已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的最大值是（ ） A. 9 B. 13 C. 18 D. 26 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 题图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的S值是_________． 12. 已知，则_________. 13. 在数列中，，则数列的通项公式为_________. 14. 若动点分别在直线和直线上移动，点P是线段的中点，则圆上的点到P点的最小距离是_________． 15. 已知函数，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限． （1）求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，. （1）求实数b值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数a的值. 18. 学校准备从2名教师、4名男同学、3名女同学中随机选5人参加一项志愿者服务活动.求下列事件概率： （1）{女同学全部被选中}； （2）{男同学甲被选中，且至少1名教师被选中}； （3）{既有男同学又有女同学被选中}. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积． （1）求角B的大小； （2）设函数，若，求a． 20. 近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润. 21. 已知等差数列的前n项和为，20是与的等差中项，且． （1）求数列的通项公式； （2）设． ①求数列的前n项和; ②若，求数列的前n项和． 22. 某地区计划种植两种具有空气净化功能的树：松树和樟树．每种植一株松树每年可吸收3千克二氧化硫和2千克氮氧化物，每种植一株樟树每年可吸收2千克二氧化硫和4千克氮氧化物．目前，该地区的空气质量监测数据显示，全年至少需吸收6000千克二氧化硫和8000千克氮氧化物，方能改善空气质量．假设种植一株松树的成本为800元，种植一株樟树的成本为1000元．不考虑其他因素，请制定一份植树计划，确定应种植多少株松树和樟树，就能以最低的成本满足空气质量改善需求？并求出最低成本． 23. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆，点在椭圆D上，射线交椭圆C于点N． ①求点N坐标； ②若直线l与椭圆C有两个交点E、F，且与椭圆D有且仅有一个交点．证明：的面积是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 江苏省2024年中职职教高考文化统考 数学试卷 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效． 2．作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置． 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 设集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合之间的关系，结合常用数集的定义即可得解. 【详解】对于AB，因为元素与集合之间不能比较大小，故AB错误； 对于CD，因为，且，所以，故C错误，D正确. 故选：D. 2. 若复数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法运算计算，再分析选项即可. 【详解】因为复数， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，若，则实数k的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】若，则有，解得. 故选：C. 4. 下列逻辑运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用逻辑运算律逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，与不一定相等，故D错误. 故选：C. 5. 已知长方体的体积是，点P、Q分别在侧棱和上，且，则四棱锥的体积是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用长方体的性质，结合棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】依题意，设，则正方体体积， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以四棱锥的体积. 故选：A. 6. 已知一个扇形的周长为16，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形周长找到弧长与半径的关系式，再代入面积公式中得到面积关于半径的一元二次函数，配方法求出函数最大值时对应半径及弧长，再代弧长公式求圆心角即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，弧长为， 则扇形周长即， 扇形面积， 则当时，该扇形的面积最大， 此时，. 故选：B. 7. 若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中第4项的系数是（ ） A. B. C. 960 D. 3360 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数最大项求出，再代展开式通项公式求第4项的系数即可. 【详解】二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中共有项，故， 第4项为，则系数为. 故选：A. 8. 题图是某项工程的网络图（单位：天），则该工程的关键路径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关键路径指从开始到结束用时最大的逻辑路径，根据定义计算和选择即可. 【详解】从①到④的路径有：，耗时天； ，耗时天，关键路径应选择； 从④到⑦的路径有：，耗时天； ，耗时天，关键路径应选择； 综上，该工程的关键路径是. 故选：D. 9. 已知双曲线的一条渐近线方程是，且该双曲线的一条准线和抛物线的准线重合，则该双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线渐近线方程得到，再利用双曲线与抛物线的准线重合得到，从而代入求得，由此得解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即， 抛物线可化为，其准线为， 可得双曲线的准线，即， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则该双曲线的标准方程为. 故选：A. 10. 已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的最大值是（ ） A. 9 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到，由此得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因不等式恒成立，只需， ，因此，故实数的最大值为. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 题图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的S值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据程序框图计算及判断是否循环计算即可. 【详解】初始值：， 第一次循环：，，，继续循环； 第二次循环：，，，继续循环； 第三次循环：，，，继续循环； 第四次循环：，，循环结束输出的S值是. 故答案为：. 12 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式即可得解. 【详解】因为， 令，则，， 所以 . 故答案为：. 13. 在数列中，，则数列的通项公式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用倒数法证得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为， 易知，所以，则， 又，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 14. 若动点分别在直线和直线上移动，点P是线段的中点，则圆上的点到P点的最小距离是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先设的中点坐标为，根据题意，得到中点所在直线方程，由圆上的点到直线的距离的最值情况即可得解. 【详解】设的中点坐标为， 因为，，所以，即， 又，，分别在直线和直线上移动， 所以，两式相加得， 所以，即即为中点所在直线方程， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到P点的最小距离为. 故答案为：. 15. 已知函数，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次函数与指数函数的性质，作出的大致图象，再分别求得与时对应的值，从而结合图象得到的范围，进而得解. 【详解】当时，， 当时，， 利用二次函数与指数函数的性质，作出的大致图象，如图， 令，得或，解得， 令，得或，解得或， 因为在区间上的值域为， 结合图象可得或， 所以当时，；当时，； 综上，，即的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限． （1）求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的图象性质即可得解； （2）利用指数函数的单调性解不等式即可得解. 【小问1详解】 因为一次函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以在上单调递增， 而可化为， 所以，即，解得或， 所以的解集为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，. （1）求实数b的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数a的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件求得当时，的解析式，进而代入点，从而得解； （2）利用（1）中结论即可得解； （3）分类讨论与两种情况，令即可得解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 又当时，， 所以当时，，则， 因为点在函数的图象上， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1），得， 所以当时，； 当时，； 故. 【小问3详解】 当时，由，得， 即，即，无解； 当时，由，得， 即，即，解得或（舍去）， 所以. 18. 学校准备从2名教师、4名男同学、3名女同学中随机选5人参加一项志愿者服务活动.求下列事件的概率： （1）{女同学全部被选中}； （2）{男同学甲被选中，且至少1名教师被选中}； （3）{既有男同学又有女同学被选中}. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式，结合实际问题组合数的计算即可得解； （2）利用古典概型的概率公式，结合分类计数原理与组合数的计算即可得解； （3）利用古典概型的概率公式，结合间接法与组合数的计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，一共有9人，总的基本事件有个， 事件A包含的基本事件有个， 所以； 【小问2详解】 事件B包含的基本事件有个， 所以； 【小问3详解】 事件C包含的基本事件有 个， 所以. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积． （1）求角B的大小； （2）设函数，若，求a． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理将边化角，再由面积相等即可求解，即可求解角B的大小. （2）先应用辅助角公式将函数化为正弦型，再求解角A的值，再由正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得：， ， 又， ， . 【小问2详解】 ， ， ， ， ，， ，， . 20. 近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】当售价定为元时，每日获得的利润最大，最大利润为元. 【解析】 【分析】分类讨论售价提高与降低时，每日获得的利润情况，结合二次函数的性质与配方法即可得解. 【详解】依题意，设售价为元，每日获得的利润为元. 当售价每提高1元/千克时，，此时每天售出千克大米， 所以 ， 所以当时，取得最大值为； 当售价每降低1元/千克时，，此时每天售出千克大米， ， 所以当时，取得最大值为； 综上，当售价定为元时，每日获得的利润最大，最大利润为元. 21. 已知等差数列的前n项和为，20是与的等差中项，且． （1）求数列的通项公式； （2）设． ①求数列的前n项和; ②若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出关于的方程组，从而得解； （2）①利用裂项相消法即可得解；②先化简，再利用等比数列的求和公式即可得解. 【小问1详解】 因为等差数列的前n项和为，20是与的等差中项，， 所以，即，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ①由（1）得， 所以； ②由①得，， 所以. 22. 某地区计划种植两种具有空气净化功能的树：松树和樟树．每种植一株松树每年可吸收3千克二氧化硫和2千克氮氧化物，每种植一株樟树每年可吸收2千克二氧化硫和4千克氮氧化物．目前，该地区的空气质量监测数据显示，全年至少需吸收6000千克二氧化硫和8000千克氮氧化物，方能改善空气质量．假设种植一株松树的成本为800元，种植一株樟树的成本为1000元．不考虑其他因素，请制定一份植树计划，确定应种植多少株松树和樟树，就能以最低的成本满足空气质量改善需求？并求出最低成本． 【答案】种植松树株，种植樟树株时，总成本最小，最低成本为元. 【解析】 【分析】设两个未知数，根据题意列不等式组并画出对应区域图，设总成本并求对应函数纵截距最值及对应的值，即可求出最低成本. 【详解】设种植松树株，种植樟树株，则，， 则总成本，即， 由题意可得：，该不等式组表示的线性规划区域如下图所式： 联立，解得，则， 结合图象可知，当过点时，截距最小，最小， 所以最小值为. 故种植松树株，种植樟树株时，总成本最小，最低成本为元. 23. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆，点在椭圆D上，射线交椭圆C于点N． ①求点N的坐标； ②若直线l与椭圆C有两个交点E、F，且与椭圆D有且仅有一个交点．证明：的面积是定值． 【答案】（1） （2）① ②证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程中，可得a与b的关系，由离心率公式可得a与c的关系，再由椭圆中的即可求解椭圆的标准方程. （2）①先求出点M的坐标，再求出直线OM的方程，设出点N的坐标，再由点N在椭圆C上，代入椭圆C的方程即可求解点N的坐标. ②分为直线斜率存在和不存在两种情况讨论，求解三角形的底边和高，计算即可得到定值. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以有①， 又因为离心率为，所以有②， 又因为在椭圆中③， 将②代入③中有④， 将④代入①中有，解得， 所以， 所以椭圆. 【小问2详解】 ①由（1）知，，， 所以椭圆，点代入D得 解得，所以，则， 因为射线交椭圆C于点N， 所以点N点在第一象限， 所以，， 设，N在椭圆C上， 则，解得， 又因为，所以，所以， . ②（i）当直线l斜率不存在时，轴，且与椭圆相切，如图一， ， 当时，，解得， 设,,所以， 所以, 当时，，解得， 设,,所以， 所以 （ii）当直线l斜率存在时，设l：，，，如图二， 因为l与椭圆D相切，所以， 联立得， ， ，可得， ，联立得， 由， 所以，， ， 点O到l的距离是， ， 综上，的面积是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$