（新知衔接）专题04 三角形的面积（新知讲练+高频易错点+五大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏教版小学数学四升五年级暑假衔接讲义（学生版+教师版）

专题04 三角形的面积 （新知讲练+高频易错点+五大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：三角形面积的计算 6 考点二：三角形面积公式的实际应用 7 考点三：三角形的作图问题 8 考点四：求阴影部分面积问题 10 考点五：三角形与其他几何图形面积的关系 11 中档题真题训练 11 培优题真题训练 14 教学目标： 知识与技能目标：使学生在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能够正确地计算三角形的面积。 过程与方法目标：使学生通过操作和对图形的观察、比较、发展空间观念。使学生知道转化的思考方法在研究三角形的面积时的运用，培养学生的分析、综合、抽象、概括和运用转化方法解决实际问题的能力。 情感态度与价值观：在探索学习过程中，培养学生的实践能力、探索意识、合作精神与创新精神；同时使他们获得积极、成功的情感体验。 教学重点和难点： 1、掌握三角形面积的计算公式，会运用公式计算三角形的面积。 2、理解三角形面积计算公式的推导方法。 你能想办法算出下面涂色三角形的面积吗？（每个小方格表示1平方厘米） 你想怎样算？ 可以用数方格的方法求出三角形的面积。 任意一个平行四边形都能分成两个完全一样的三角形。 三角形面积是平行四边形的一半。 平行四边形的面积：4×4=16（cm²） 4×5=20（cm²） 8×3=24（cm²） 三角形的面积：16÷2=8（cm²） 20÷2=10（cm²） 24÷2=12（cm²） 想一想 有没有直接计算三角形面积的方法呢？ 把书本第 115 页的三角形剪下来，看看哪两个能拼成平行四边形。先拼一拼，求出拼成的平行四边形和每个三角形的面积，再在小组里交流，并完成下表。 讨论： （1）拼成平行四边形的两个三角形有什么关系？ （2）拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系？每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积呢？ （3）根据平行四边形的面积公式，怎样求三角形的面积？ 两个三角形的底和高都相等，但形状不一样，不能拼成平行四边形。 发现：两个完全一样的三角形，通过旋转和平移可以拼成一个平行四边形。两个底和高都相等但形状不一样的三角形不能拼成一个平行四边形。 ✮拼成的平行四边形的底等于三角形的底； ✮拼成的平行四边形的高等于三角形的高； ✮每个三角形的面积等于拼成的平行四边形的面积的一半 结论： 三角形的面积 = 底×高÷2 如果用 S 表示三角形的面积，用 a 和 h 分别表示三角形的底和高，上面的公式可以写成：S = a×h÷2 知识点01：三角形的基本概念 三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 三角形的分类： 根据角的特点：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。 根据边的特点：等腰三角形（两条边相等）、等边三角形（三条边都相等）、不等边三角形（三条边都不相等）。 知识点02：三角形面积的计算 面积公式：三角形的面积 = (底 × 高) ÷ 2 这里的“底”是三角形的一个边，而“高”则是从该边的对顶点垂直于该边所画的线段的长度。 面积公式的推导： 可以通过将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形来进行推导。这个平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。因为平行四边形的面积是底乘以高，所以三角形的面积就是平行四边形面积的一半，即(底 × 高) ÷ 2。 注意事项： 计算时要确保单位统一。 底和高要对应，即高的垂直点必须在底上。 知识点03：三角形的面积与其他图形的关系 与平行四边形的关系：一个平行四边形可以分割成两个完全相同的三角形；两个完全相同的三角形也可以拼成一个平行四边形。 与梯形的关系：虽然本节没有直接涉及梯形，但可以通过类似的方法（如分割和拼合）来推导梯形的面积公式。 知识点04：实际应用 三角形的面积公式在实际生活中有广泛的应用，如计算房屋的屋顶面积、计算三角形的土地面积等。通过理解和掌握三角形的面积公式，可以更好地解决这些实际问题。 易错知识点01：概念混淆 底和高的对应关系：学生往往容易忽略底和高的对应关系，导致计算错误。三角形的底和高是成对出现的，底对应的高是垂直于底并从对应顶点出发的线段。 面积公式记忆错误：三角形的面积公式是“底乘以高再除以二”，但有些学生可能会记成“底乘以高”，从而遗漏了关键的除以二部分。 易错知识点02：计算错误 单位不统一：在计算三角形面积时，如果底和高的单位不统一（如底用米，高用厘米），将导致计算结果错误。因此，计算前要确保底和高的单位一致。 数值计算错误：在进行乘法或除法运算时，学生可能会出现计算错误，如乘法口诀错误、除法运算出错等。这些基础计算能力的不足，会影响三角形面积的计算。 易错知识点03：应用问题 实际问题转化错误：在将实际问题转化为三角形面积计算问题时，学生可能会错误地理解题意，导致选择错误的底和高进行计算。例如，在计算房屋屋顶面积时，学生可能会选择错误的边长作为底或高。 面积单位理解不足：在解决实际问题时，学生可能会混淆面积单位和长度单位，如将平方米误认为是米等。这会导致计算结果与实际不符。 考点一：三角形面积的计算 【典例精讲】（2024五上·坪山期末）计算下面图形的面积。 【变式演练01】（2024五上·通河期末） 求组合图形的面积。（单位：米） 考点二：三角形面积公式的实际应用 【典例精讲】（2024五上·确山期末）一个三角形的广告牌，底是1.6米，高是1.5米，如果要油饰它的两面，每平方米用油漆0.7千克，至少要准备多少千克油漆? 【变式演练01】（2024五上·象山月考）一块三角形的指示牌，每平方分米大约要用油漆0.35千克，油漆工人带来了2.5千克油漆，要刷完这块指示牌，这些油漆够吗？ 【变式演练02】（2024五上·武昌期末）兰兰在一张边长1.7分米的正方形纸上设计了一个箭头标志(下图涂色部分)。算一算，这个箭头标志的面积是多少平方分米? 考点三：三角形的作图问题 【典例精讲】（2024五上·临平期末）按要求操作： （1）如图中点B的位置可以用数对（5，3）表示，那么点A的位置可以用数对 　 　表示。点C的位置可以用数对 　 　表示。 （2）图中小方格的边长为1厘米，三角形ABC的面积是 　 　平方厘米。 （3）在格子图上画一个以AB为底，面积与三角形ABC相等的平行四边形。 【变式演练01】（2024五上·丹江口期末） 小明要画一个平行四边形，他已经在方格纸上画出了两条边。 （1）用直尺将平行四边形ABCD画完整，其中点D的位置用数对表示是（ ，）。 （2）用直尺在平行四边形ABCD中画一个面积最大的三角形，涂上阴影。 【变式演练02】（2023五上·海曙期末）观察方格图，按要求完成题目。 （1）用数对表示点C的位置是　 　。 （2）请以AB为其中一条边，画一个与△ABC的面积相等，但形状不同的三角形。 （3）在方格图中，请找一点D，使点A、B、C、D四个点连接成为一个平行四边形，点D 可能在(，)，也可能在(，)。 考点四：求阴影部分面积问题 【典例精讲】（2024五上·坪山期末）在同一个长方形中，分别在A和B两个区域涂上阴影，阴影部分A和B面积的大小关系是（　　）。 A．A<B B．A>B C．A=B D．都有可能 【变式演练01】（2024五上·通河期末）两个完全一样的直角三角形重叠成下图形状，阴影部分A和阴影部分B形成两个梯形，这两个梯形的面积大小关系是（　　）。 A．A大 B．B大 C．相等 【变式演练02】（2024五上·黔江期末）如图平行四边形的底是0.4cm，底边上的高是0.2cm，它的面积是 　 　，阴影部分的面积是 　 　。 【变式演练03】（2024五上·丹江口期末） 计算阴影部分的面积。 （1） （2） 考点五：三角形与其他几何图形面积的关系 【典例精讲】（2024五上·光明期末） 一个直角三角形的三条边分别是6厘米、8厘米、10厘米，它斜边的高是　 　厘米，与它同底等高的平行四边形的面积是　 　平方厘米。 【变式演练01】（（2024五上·内乡县期末） 如图，梯形的上底AB在不停地变化。当AB的长等于零时，这个图形就变成了　 　形，这时该图形的面积是　 　cm2。当AB长和CD长相等时，这个图形就变成了　 　形，这时该图形的面积是　 　cm2。 【变式演练03】（（2020五上·龙泉驿期末）图形的面积。 如上图，一组平行线之间有4个图形，其中图A、图B、图C是平行四边形，图D是三角形。已知图C的面积是36平方厘米。 （1）图A的面积是　 　平方厘米。 （2）图D的面积是　 　平方厘米。 中档题真题训练 1．（2024五上·光明期末）下图中的3个正方形的边长相等，图形A的面积与图形B的面积相比，（　　）。 A．图形A的面积大 B．图形B的面积大 C．面积相等 D．无法比较 2．（2024五上·通河期末）三角形的底和高都扩大到原来的3倍，则面积（　　）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的9倍 3．（2024五上·盐都期末）下面推导三角形面积公式方法正确的有（　　）种。 A．2 B．3 C．4 4．（2024五上·罗湖期末）如图，平行四边形的面积是30平方厘米，则阴影部分面积是 　 　平方厘米。 5．（2024五上·通河期末） 一个直角三角形，三条边分别长10cm，8cm和6cm，面积是　 　cm2。 6．（2024五上·惠来期末）一个三角形的面积是45平方厘米，底是9厘米，这个三角形这条边上的高是　 　厘米。 7．（2024五上·慈溪期末）求右面阴影部分的面积。（单位：dm） 8．（2024五上·黔江期末）求如图各个图形的面积。（单位：厘米） （1） （2） 9．（2024五上·泰州期末）求下图阴影部分的面积。 10．（2024五上·通榆期末） 2023年12月5日是第38个国际志愿者日。胜利小学在湿地公园开展了“志愿者服务，我们在行动”主题教育活动。为了方便游客，同学们给湿地公园的每个景点都添加了以下的指示牌。每个指示牌的面积是多少平方厘米？ 11．（2024五上·陆丰月考）一个平行四边形，底12厘米，高7厘米。如果在这个平行四边形里剪下一个底5厘米的三角形（如下图），那么剩下图形的面积是多少平方厘米？ 12． （2024五上·潮南期末）一块玻璃的形状是三角形，它的底是 12.5dm，高是6.8dm，每平方米玻璃的价格是 80元。买这块玻璃需要多少元？ 培优题真题训练 13．（2024五上·深圳期末）如图，梯形的下底是上底长度的 3 倍，阴影部分面积是梯形面积的（　　） A． B． C． D． 14．（2023五上·期末）如图1，一个长方形从等腰直角三角形的左侧向右侧移动，每秒平移2厘米；图2记录的是长方形平移过程中与三角形面积的重叠关系。这个等腰直角三角形的面积是（　　）平方厘米。 A．8 B．16 C．32 D．64 15．在平行四边形ABCD中，已知甲的面积是6cm2，丙的面积是14 cm2，那么乙的面积是（　　）cm2。 A．12 B．28 C．20 D．25 16．（2023五上·）在一个上底5厘米，下底8厘米的梯形中剪下一个最大的平行四边形，剩下的面积是9平方厘米。那么原来梯形的面积是　 　平方厘米。 17．（2023五上·钱塘期末）已知下边梯形ABCD上、下底分别是5厘米和10厘米，其中AE=4厘米，BE=3厘米，且AE⊥BE，那么该图形的高是　 　厘米，面积是　 　平方厘米。 18．（2023.3.16·北新巴蜀）直角三角形ACD中，阴影部分的面积为15cm2（如图）。已知AD＝7.5cm，AB＝BC，DE＝EC，AC长　 　cm。 19．（2024五上·弋江期末）计算阴影部分的面积。 20．（2023五上·玉环期末）图形计算。 （1）求组合图形面积。(单位：厘米) （2）下图三角形ABC底长30 cm，现在将BC延长6 cm到点D，面积就增加24 cm2。原来三角形ABC的面积是多少平方厘米？ 21．（2024五上·弋江期末）王叔叔家有一块面积是900平方米的三角形苗圃。 （1）如图，王叔叔想把三角形苗圃扩建成直角梯形，扩建后苗圃的面积增加了多少平方米? （2）如果每5平方米栽8棵树苗，那么直角梯形苗圃里一共可以栽多少棵树苗? 22．（2024五上·康巴什期末）如图：甲的面积比乙的面积大多少平方厘米？ 23． （2023五上·通许月考）王爷爷家有一块直角梯形的菜地，上底是10 m，下底是14 m。如果从其中隔开一块面积是12 m2的直角三角形菜地用来种植花草，剩下的菜地就变成了长方形，那么原来这块梯形菜地的面积是多少平方米？ 24．（2023五上·杭州期末）下图，AE为30厘米，BC垂直AE，其中BC为15厘米、BF为10厘米。如果两个直角三角形的面积总和为197.5平方厘米，那么，三角形BEF的面积是多少平方厘米？ 25．（2021五上·上城期末）下图中，长方形ABCF与长方形ACDE部分重叠。 （1）AE长　 　cm。 （2）如果三角形①的面积是8.64cm2，那么三角形②的面积是　 　cm2。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形的面积 （新知讲练+高频易错点+五大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：三角形面积的计算 6 考点二：三角形面积公式的实际应用 8 考点三：三角形的作图问题 9 考点四：求阴影部分面积问题 12 考点五：三角形与其他几何图形面积的关系 14 中档题真题训练 16 培优题真题训练 21 教学目标： 知识与技能目标：使学生在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能够正确地计算三角形的面积。 过程与方法目标：使学生通过操作和对图形的观察、比较、发展空间观念。使学生知道转化的思考方法在研究三角形的面积时的运用，培养学生的分析、综合、抽象、概括和运用转化方法解决实际问题的能力。 情感态度与价值观：在探索学习过程中，培养学生的实践能力、探索意识、合作精神与创新精神；同时使他们获得积极、成功的情感体验。 教学重点和难点： 1、掌握三角形面积的计算公式，会运用公式计算三角形的面积。 2、理解三角形面积计算公式的推导方法。 你能想办法算出下面涂色三角形的面积吗？（每个小方格表示1平方厘米） 你想怎样算？ 可以用数方格的方法求出三角形的面积。 任意一个平行四边形都能分成两个完全一样的三角形。 三角形面积是平行四边形的一半。 平行四边形的面积：4×4=16（cm²） 4×5=20（cm²） 8×3=24（cm²） 三角形的面积：16÷2=8（cm²） 20÷2=10（cm²） 24÷2=12（cm²） 想一想 有没有直接计算三角形面积的方法呢？ 把书本第 115 页的三角形剪下来，看看哪两个能拼成平行四边形。先拼一拼，求出拼成的平行四边形和每个三角形的面积，再在小组里交流，并完成下表。 讨论： （1）拼成平行四边形的两个三角形有什么关系？ （2）拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系？每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积呢？ （3）根据平行四边形的面积公式，怎样求三角形的面积？ 两个三角形的底和高都相等，但形状不一样，不能拼成平行四边形。 发现：两个完全一样的三角形，通过旋转和平移可以拼成一个平行四边形。两个底和高都相等但形状不一样的三角形不能拼成一个平行四边形。 ✮拼成的平行四边形的底等于三角形的底； ✮拼成的平行四边形的高等于三角形的高； ✮每个三角形的面积等于拼成的平行四边形的面积的一半 结论： 三角形的面积 = 底×高÷2 如果用 S 表示三角形的面积，用 a 和 h 分别表示三角形的底和高，上面的公式可以写成：S = a×h÷2 知识点01：三角形的基本概念 三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 三角形的分类： 根据角的特点：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。 根据边的特点：等腰三角形（两条边相等）、等边三角形（三条边都相等）、不等边三角形（三条边都不相等）。 知识点02：三角形面积的计算 面积公式：三角形的面积 = (底 × 高) ÷ 2 这里的“底”是三角形的一个边，而“高”则是从该边的对顶点垂直于该边所画的线段的长度。 面积公式的推导： 可以通过将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形来进行推导。这个平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。因为平行四边形的面积是底乘以高，所以三角形的面积就是平行四边形面积的一半，即(底 × 高) ÷ 2。 注意事项： 计算时要确保单位统一。 底和高要对应，即高的垂直点必须在底上。 知识点03：三角形的面积与其他图形的关系 与平行四边形的关系：一个平行四边形可以分割成两个完全相同的三角形；两个完全相同的三角形也可以拼成一个平行四边形。 与梯形的关系：虽然本节没有直接涉及梯形，但可以通过类似的方法（如分割和拼合）来推导梯形的面积公式。 知识点04：实际应用 三角形的面积公式在实际生活中有广泛的应用，如计算房屋的屋顶面积、计算三角形的土地面积等。通过理解和掌握三角形的面积公式，可以更好地解决这些实际问题。 易错知识点01：概念混淆 底和高的对应关系：学生往往容易忽略底和高的对应关系，导致计算错误。三角形的底和高是成对出现的，底对应的高是垂直于底并从对应顶点出发的线段。 面积公式记忆错误：三角形的面积公式是“底乘以高再除以二”，但有些学生可能会记成“底乘以高”，从而遗漏了关键的除以二部分。 易错知识点02：计算错误 单位不统一：在计算三角形面积时，如果底和高的单位不统一（如底用米，高用厘米），将导致计算结果错误。因此，计算前要确保底和高的单位一致。 数值计算错误：在进行乘法或除法运算时，学生可能会出现计算错误，如乘法口诀错误、除法运算出错等。这些基础计算能力的不足，会影响三角形面积的计算。 易错知识点03：应用问题 实际问题转化错误：在将实际问题转化为三角形面积计算问题时，学生可能会错误地理解题意，导致选择错误的底和高进行计算。例如，在计算房屋屋顶面积时，学生可能会选择错误的边长作为底或高。 面积单位理解不足：在解决实际问题时，学生可能会混淆面积单位和长度单位，如将平方米误认为是米等。这会导致计算结果与实际不符。 考点一：三角形面积的计算 【典例精讲】（2024五上·坪山期末）计算下面图形的面积。 【答案】解：12×9÷2 =108÷2 =54（平方米） 28×15=420（平方米） （16+30）×14÷2 =46×14÷2 =644÷2 =322（平方米） 【思路点拨】已知三角形的底和高，要求三角形的面积，三角形的面积=底×高÷2； 已知平行四边形的底和高，要求平行四边形的面积，平行四边形的面积=底×高； 已知梯形的上底、下底和高，要求梯形的面积，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。 【变式演练01】（2024五上·通河期末） 求组合图形的面积。（单位：米） 【答案】解：52×22÷2＋（20＋40）×48÷2 ＝1144÷2＋60×48÷2 ＝572＋2880÷2 ＝572＋1440 ＝2012（平方米） 【思路点拨】这个图形上面是三角形，下面是梯形，把两个图形的面积相加即可求出组合图形的面积。三角形面积=底×高÷2，梯形面积=（上底+下底）×高÷2。 考点二：三角形面积公式的实际应用 【典例精讲】（2024五上·确山期末）一个三角形的广告牌，底是1.6米，高是1.5米，如果要油饰它的两面，每平方米用油漆0.7千克，至少要准备多少千克油漆? 【答案】解：1.6×1.5÷2×0.7×2 =2.4÷2×0.7×2 =2.4×0.7 =1.68（千克） 答：至少要准备1.68千克油漆。 【思路点拨】至少要准备油漆的质量=三角形广告牌的底×高÷2×平均每平方米需要油漆的质量×粉刷的面数。 【变式演练01】（2024五上·象山月考）一块三角形的指示牌，每平方分米大约要用油漆0.35千克，油漆工人带来了2.5千克油漆，要刷完这块指示牌，这些油漆够吗？ 【答案】解：5×2.4÷2×0.35 =12÷2×0.35 =6×0.35 =2.1（千克） 2.1＜2.5 答：这些油漆够。 【思路点拨】 需要油漆的质量=三角形的指示牌的底×高÷2×平均每平方分米大约要用油漆的质量，然后和2.5千克比较大小。 【变式演练02】（2024五上·武昌期末）兰兰在一张边长1.7分米的正方形纸上设计了一个箭头标志(下图涂色部分)。算一算，这个箭头标志的面积是多少平方分米? 【答案】解：1.7分米=17厘米， 17×17=289（平方厘米） （17-8）×17÷2×2+8×8 =9×17÷2×2+8×8 =153+64 =217（平方厘米） 289-217=72（平方厘米）=0.72（平方分米） 答：这个箭头标志的面积是0.72平方分米。 【思路点拨】观察图可知，这个箭头标志的面积=大正方形的面积-空白部分的面积，正方形的面积=边长×边长，三角形的面积=底×高÷2。 考点三：三角形的作图问题 【典例精讲】（2024五上·临平期末）按要求操作： （1）如图中点B的位置可以用数对（5，3）表示，那么点A的位置可以用数对 　 　表示。点C的位置可以用数对 　 　表示。 （2）图中小方格的边长为1厘米，三角形ABC的面积是 　 　平方厘米。 （3）在格子图上画一个以AB为底，面积与三角形ABC相等的平行四边形。 【答案】（1）（2，3）；（1，7） （2）6 （3）解：3×2=6（平方厘米）。 【规范解答】解：（1）点A的位置可以用数对（2，3）表示。点C的位置可以用数对（1，7）表示； （2）3×4÷2 =12÷2 =6（平方厘米）。 故答案为：（1）2；3；1；7；（2）6。 【思路点拨】（1）用数对表示位置时，前面一个数表示第几列，后面一个数表示第几行；列数一般从左往右数，行数一般从前往后数； （2）三角形的面积=底×高÷2； （3）平行四边形的面积=底×高，依据面积相等，计算出底、高的格数，从而画出图形。 【变式演练01】（2024五上·丹江口期末） 小明要画一个平行四边形，他已经在方格纸上画出了两条边。 （1）用直尺将平行四边形ABCD画完整，其中点D的位置用数对表示是（ ，）。 （2）用直尺在平行四边形ABCD中画一个面积最大的三角形，涂上阴影。 【答案】（1）D（9，2） （2） 【思路点拨】（1）平行四边形的两组对边分别平行且相等，分别作两条边的平行线，两条平行线相交的点就是D点，找出D点的位置，用数对表示； （2）在平行四边形中画一个面积最大的三角形，三角形与平行四边形等底等高，据此作图。 【变式演练02】（2023五上·海曙期末）观察方格图，按要求完成题目。 （1）用数对表示点C的位置是　 　。 （2）请以AB为其中一条边，画一个与△ABC的面积相等，但形状不同的三角形。 （3）在方格图中，请找一点D，使点A、B、C、D四个点连接成为一个平行四边形，点D 可能在(，)，也可能在(，)。 【答案】（1）（5，4） （2）解： （3）解： 点D 可能在(0，4)，也可能在(10，4)。 【规范解答】解：（1）用数对表示点C（5，4）。 故答案为：（1）（5，4）。 【思路点拨】（1）用数对表示位置时，前面一个数表示第几列，后面一个数表示第几行；列数一般从左往右数，行数一般从前往后数； （2）三角形的面积=底×高÷2，所以要画的三角形以AB为底，高只要等于原来三角形的高就行； （3）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；则D点可能在(0，4)，也可能在(10，4)。 考点四：求阴影部分面积问题 【典例精讲】（2024五上·坪山期末）在同一个长方形中，分别在A和B两个区域涂上阴影，阴影部分A和B面积的大小关系是（　　）。 A．A<B B．A>B C．A=B D．都有可能 【答案】C 【规范解答】解：阴影部分A和阴影部分B分别添加右上小三角形，得到的是同底等高的两个大三角形，且两个大三角形的面积相等，则阴影部分A和B的面积也相等。 故答案为：C。 【思路点拨】观察图可知，阴影部分A和阴影部分B分别添加右上小三角形，得到的是同底等高的两个大三角形，三角形的面积=底×高÷2，底是同一条底，高相等，都是长方形的长，则面积也相等，再减去相同的空白三角形，剩下的面积也相等。 【变式演练01】（2024五上·通河期末）两个完全一样的直角三角形重叠成下图形状，阴影部分A和阴影部分B形成两个梯形，这两个梯形的面积大小关系是（　　）。 A．A大 B．B大 C．相等 【答案】C 【规范解答】解：两个三角形的面积相等，同时减去重叠的部分，剩下部分两个梯形的面积是相等的。 故答案为：C。 【思路点拨】两个面积大小的三角形，同时减去一个面积相等的小三角形，两个三角形剩下部分的面积也是相等的。 【变式演练02】（2024五上·黔江期末）如图平行四边形的底是0.4cm，底边上的高是0.2cm，它的面积是 　 　，阴影部分的面积是 　 　。 【答案】0.08平方厘米；0.04平方厘米 【规范解答】解：0.4×0.2=0.08（平方厘米）； 0.08÷2=0.04（平方厘米）。 故答案为：0.08平方厘米；0.04平方厘米。 【思路点拨】平行四边形的面积=底×高；阴影部分的面积是平行四边形面积的一半。 【变式演练03】（2024五上·丹江口期末） 计算阴影部分的面积。 （1） （2） 【答案】（1）解：（18-15）×12÷2 =3×12÷2 =36÷2 =18（dm2） （2）（5×6÷2-5×2÷2）×2 =（15-5）×2 =10×2 =20（m2） 【思路点拨】（1）观察图可知，先求出阴影部分三角形的底，然后用公式：三角形的面积=底×高÷2，据此列式计算； （2）观察图可知，1个阴影部分三角形的面积=大钝角三角形的面积-小空白三角形的面积，然后乘2，即可得到阴影部分的面积。 考点五：三角形与其他几何图形面积的关系 【典例精讲】（2024五上·光明期末） 一个直角三角形的三条边分别是6厘米、8厘米、10厘米，它斜边的高是　 　厘米，与它同底等高的平行四边形的面积是　 　平方厘米。 【答案】4.8；48 【规范解答】解：三角形面积：6×8÷2=24(平方厘米)； 斜边上的高：24×2÷10=4.8(厘米)； 与它同底等高的平行四边形面积：24×2=48(平方厘米)。 故答案为：4.8；48。 【思路点拨】直角三角形斜边长大于两条直角边，所以这个直角三角形的底和高分别是6厘米和8厘米；三角形面积=底×高÷2，据此求出三角形面积，再根据三角形的高=三角形面积×2÷底即可求出斜边上的高。与三角形等底等高的平行四边形面积是三角形的2倍。 【变式演练01】（（2024五上·内乡县期末） 如图，梯形的上底AB在不停地变化。当AB的长等于零时，这个图形就变成了　 　形，这时该图形的面积是　 　cm2。当AB长和CD长相等时，这个图形就变成了　 　形，这时该图形的面积是　 　cm2。 【答案】三角；16；平行四边；32 【规范解答】解：梯形的上底AB在不停地变化。当AB的长等于零时，这个图形就变成了三角形； 8×4÷2 =32÷2 =16（平方厘米）； 当AB长和CD长相等时，这个图形就变成了平行四边形； 8×4=32（平方厘米）。 故答案为：三角；16；平行四边；32。 【思路点拨】梯形的上底AB在不停地变化。当AB的长等于零时，这个图形就变成了三角形，三角形的面积=底×高÷2；当AB长和CD长相等时，这个图形就变成了平行四边形，平行四边形的面积=底×高。 【变式演练03】（（2020五上·龙泉驿期末）图形的面积。 如上图，一组平行线之间有4个图形，其中图A、图B、图C是平行四边形，图D是三角形。已知图C的面积是36平方厘米。 （1）图A的面积是　 　平方厘米。 （2）图D的面积是　 　平方厘米。 【答案】（1）36 （2）36 【规范解答】解：（1）=36÷10=3.6（厘米） h=3.6×2=7.2（厘米） 5×7.2=36（平方厘米） （2）10×7.2÷2=36（平方厘米） 故答案为：（1）36；（2）36。 【思路点拨】（1）平行四边形面积÷底=平行四边形的高，平行四边形的高×2=h的长度，平行四边形的面积=底×高； （2）两条平行线间的距离处处相等，三角形面积=底×高÷2。 中档题真题训练 1．（2024五上·光明期末）下图中的3个正方形的边长相等，图形A的面积与图形B的面积相比，（　　）。 A．图形A的面积大 B．图形B的面积大 C．面积相等 D．无法比较 【答案】C 【规范解答】解：图形A和图形B等底等高，所以图形A的面积与图形B的面积相等。 故答案为：C。 【思路点拨】可以看出，图形A的底和高都等于正方形的边长，图形B的底和高也等于正方形的边长，因此图形A和图形B等底等高；三角形面积=底×高÷2，据此解答。 2．（2024五上·通河期末）三角形的底和高都扩大到原来的3倍，则面积（　　）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的9倍 【答案】C 【规范解答】解：三角形的底和高都扩大到原来的3倍，则面积扩大到原来的3×3=9倍。 故答案为：C。 【思路点拨】三角形面积=底×高÷2，三角形的底和高都扩大到原来的3倍，那么面积扩大到原来的（3×3）倍。 3．（2024五上·盐都期末）下面推导三角形面积公式方法正确的有（　　）种。 A．2 B．3 C．4 【答案】C 【规范解答】解：（1）沿着三角形两个腰中点的连线剪下一个小三角形，把它拼到剩下部分的一侧，变成一个平行四边形，高变为原来的一半，通过平行四边形面积推导出三角形面积公式； （2）用两个相同的三角形拼成平行四边形，得出三角形面积是平行四边形面积的一半； （3）将三角形的3个角分别沿中点的连线折叠，得到一个长方形，长方形的长和宽分别为三角形底和高的一半，通过长方形面积推导出三角形面积公式； （4）沿着三角形两个腰中点的连线剪下一个小三角形，再把小三角形沿着高剪开，得到两个小三角形，分别拼到剩下部分的两侧，得到一个长方形，长方形的宽为原来三角形高的一半，通过长方形面积推导出三角形面积公式。 所以4种方法都可以推导三角形面积公式。 故答案为：C。 【思路点拨】在推导三角形的面积计算公式时，可以用割补法、拼摆法、折叠法等方法，推导出三角形的面积计算公式。 4．（2024五上·罗湖期末）如图，平行四边形的面积是30平方厘米，则阴影部分面积是 　 　平方厘米。 【答案】15 【规范解答】解：30÷2=15（平方厘米）。 故答案为：15。 【思路点拨】阴影部分与平行四边形是等底等高的图形，则阴影部分的面积=平行四边形的面积÷2。 5．（2024五上·通河期末） 一个直角三角形，三条边分别长10cm，8cm和6cm，面积是　 　cm2。 【答案】24 【规范解答】解：8×6÷2=24（cm2） 故答案为：24。 【思路点拨】三角形面积=底×高÷2，直角三角形斜边最长，一条直角边为底，另一条直角边就是高，根据三角形面积公式计算面积即可。 6．（2024五上·惠来期末）一个三角形的面积是45平方厘米，底是9厘米，这个三角形这条边上的高是　 　厘米。 【答案】10 【规范解答】解：45×2÷9 =90÷9 =10（厘米）。 故答案为：10。 【思路点拨】这个三角形这条边上的高=三角形的面积×2÷底。 7．（2024五上·慈溪期末）求右面阴影部分的面积。（单位：dm） 【答案】解：5×5+3×3-（5+3）×3÷2 =25+9-8×3÷2 =34-12 =22（dm2） 【思路点拨】用两个正方形的面积和减去空白部分三角形的面积即可求出阴影部分的面积。空白部分三角形底是（5+3）dm，高是3dm。 8．（2024五上·黔江期末）求如图各个图形的面积。（单位：厘米） （1） （2） 【答案】（1）解：8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 答：这个三角形的面积是24平方厘米。 （2）解： 25×18-20×15÷2 ＝450-150 ＝300（平方厘米） 答：它的面积是300平方厘米。 【思路点拨】（1）这个三角形的面积=底×高÷2，底8厘米对应的高是6厘米； （2）图形的面积=整个长方形的长×宽-三角形的底×高÷2。 9．（2024五上·泰州期末）求下图阴影部分的面积。 【答案】解：（14+6）×5÷2-5×6÷2 =20×5÷2-15 =50-15 =35（平方分米） 【思路点拨】用梯形面积减去空白部分三角形面积即可求出阴影部分的面积。梯形面积=（上底+下底）×高÷2，三角形面积=底×高÷2。 10．（2024五上·通榆期末） 2023年12月5日是第38个国际志愿者日。胜利小学在湿地公园开展了“志愿者服务，我们在行动”主题教育活动。为了方便游客，同学们给湿地公园的每个景点都添加了以下的指示牌。每个指示牌的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：30×15＋40×6＋30×15÷2 ＝450＋240＋450÷2 ＝450＋240＋225 ＝690＋225 ＝915（平方厘米） 答：每个指示牌的面积是915平方厘米。 【思路点拨】长方形的面积=长×宽，三角形的面积=底×高÷2，两个长方形的面积和+三角形的面积=每个指示牌的面积。 11．（2024五上·陆丰月考）一个平行四边形，底12厘米，高7厘米。如果在这个平行四边形里剪下一个底5厘米的三角形（如下图），那么剩下图形的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：12×7-5×7÷2 =84-17.5 =66.5（平方厘米） 答：剩下图形的面积是66.5平方厘米。 【思路点拨】剩下图形的面积=平行四边形的面积-空白三角形的面积；其中，平行四边形的面积=底×高，空白三角形的面积=底×高÷2。 12．（2024五上·潮南期末）一块玻璃的形状是三角形，它的底是 12.5dm，高是6.8dm，每平方米玻璃的价格是 80元。买这块玻璃需要多少元？ 【答案】解：12.5dm=1.25m，6.8dm=0.68m 1.25×0.68÷2×80 =0.85÷2×80 =0.425×80 =34（元） 答：买这块玻璃需要34元。 【思路点拨】根据“每平方米玻璃的价格是80元”可知本题需要计算玻璃的面积，并且单位是平方米。因此先将底和高的单位统一成米，也可以计算出面积后再转化成平方米。小单位转化成大单位除以进率，1m=10dm，1m2=100dm2。 三角形的面积=底×高÷2，底×高÷2×单价=这块玻璃的总价。 培优题真题训练 13．（2024五上·深圳期末）如图，梯形的下底是上底长度的 3 倍，阴影部分面积是梯形面积的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：1÷（1＋3） =1÷4 =。 故答案为：C。 【思路点拨】阴影部分三角形和空白三角形是等底等高的三角形，并且梯形的下底是上底长度的3倍，则阴影部分面积是梯形面积的分率= 1÷（1＋3）。 14．（2023五上·期末）如图1，一个长方形从等腰直角三角形的左侧向右侧移动，每秒平移2厘米；图2记录的是长方形平移过程中与三角形面积的重叠关系。这个等腰直角三角形的面积是（　　）平方厘米。 A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【规范解答】解：2×4=8（厘米） 8×8÷2 =64÷2 =32（平方厘米）。 故答案为：C。 【思路点拨】这个等腰直角三角形的面积=底×高÷2；其中，等腰直角三角形的底=高=平均每秒移动的长度×移动的秒数。 15．在平行四边形ABCD中，已知甲的面积是6cm2，丙的面积是14 cm2，那么乙的面积是（　　）cm2。 A．12 B．28 C．20 D．25 【答案】C 【规范解答】解：6＋14=20（平方厘米）。 故答案为：C。 【思路点拨】，乙的面积＋1的面积＋2的面积=甲的面积＋1的面积＋丙的面积＋2的面积=平行四边形面积的一半，所以乙的面积=甲的面积＋丙的面积。 16．（2023五上·）在一个上底5厘米，下底8厘米的梯形中剪下一个最大的平行四边形，剩下的面积是9平方厘米。那么原来梯形的面积是　 　平方厘米。 【答案】39 【规范解答】解：9×2÷（8-5） =18÷3 =6（厘米） （5＋8）×6÷2 =78÷2 =39（平方厘米）。 故答案为：39。 【思路点拨】原来梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2；其中，高=剩下部分的面积×2÷（下底-上底）。 17．（2023五上·钱塘期末）已知下边梯形ABCD上、下底分别是5厘米和10厘米，其中AE=4厘米，BE=3厘米，且AE⊥BE，那么该图形的高是　 　厘米，面积是　 　平方厘米。 【答案】2.4；18 【规范解答】解：4×3÷2×2÷5 =12÷5 =2.4（厘米） （5＋10）×2.4÷2 =15×2.4÷2 =36÷2 =18（平方厘米）。 故答案为：2.4；18。 【思路点拨】该图形的高=三角形的高=三角形的底×高÷2×2÷三角形的斜边；梯形的面积=（上底＋下底） ×高÷2。 18．（2023.3.16·北新巴蜀）直角三角形ACD中，阴影部分的面积为15cm2（如图）。已知AD＝7.5cm，AB＝BC，DE＝EC，AC长　 　cm。 【答案】16 【规范解答】解：15×2×2×2÷7.5 =120÷7.5 =16（cm） 故答案为：16。 【思路点拨】因为AB=BC，所以三角形ABD的面积和三角形BCD的面积相等；因为DE=EC，所以三角形BDE和三角形BCE的面积相等。所以用阴影部分的面积乘2就是三角形BCD的面积，用三角形BCD的面积乘2就是三角形ACD的面积。根据三角形面积公式，用ACD的面积乘2再除以AD的长即可求出AC的长。 19．（2024五上·弋江期末）计算阴影部分的面积。 【答案】解：（37-12）×18÷2 =25×18÷2 =450÷2 =225（平方分米） 【思路点拨】阴影部分的面积=三角形的底×高÷2；其中，底=梯形的下底-上底。 20．（2023五上·玉环期末）图形计算。 （1）求组合图形面积。(单位：厘米) （2）下图三角形ABC底长30 cm，现在将BC延长6 cm到点D，面积就增加24 cm2。原来三角形ABC的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）解：3×1.2÷2＋3×1.6 =1.8＋4.8 =6.6（平方厘米） （2）解：24×2÷6 =48÷6 =8（厘米） 30×8÷2 =240÷2 =120（平方厘米） 答：原来三角形ABC的面积是120平方厘米。 【思路点拨】（1）组合图形面积=三角形的底×高÷2＋平行四边形的底×高； （2）原来三角形ABC的面积=BC的长×三角形的高；其中，三角形的高=增加的面积×2÷增加的底。 21．（2024五上·弋江期末）王叔叔家有一块面积是900平方米的三角形苗圃。 （1）如图，王叔叔想把三角形苗圃扩建成直角梯形，扩建后苗圃的面积增加了多少平方米? （2）如果每5平方米栽8棵树苗，那么直角梯形苗圃里一共可以栽多少棵树苗? 【答案】（1）解：900×2÷60×15÷2 =1800÷60×15÷2 =450÷2 =225（平方米） 答：扩建后苗圃的面积增加了225平方米。 （2）解：（900＋225）÷5×8 =1125÷5×8 =225×8 =1800（棵） 答：直角梯形苗圃里一共可以栽1800棵树苗。 【思路点拨】（1）扩建后苗圃的面积增加的面积=空白三角形的底×高÷2；其中，空白三角形的高=阴影部分三角形的高=阴影部分三角形的面积×2÷阴影部分三角形的底； （2）直角梯形苗圃里一共可以栽树苗的棵数=（阴影部分三角形的面积＋空白部分三角形的面积）÷5×8。 22．（2024五上·康巴什期末）如图：甲的面积比乙的面积大多少平方厘米？ 【答案】解：（6+8）×6÷2 =14×6÷2 =84÷2 =42（平方厘米） 6×6=36（平方厘米） 42-36=6（平方厘米） 答：甲的面积比乙的面积大6平方厘米。 【思路点拨】从图中可以看出，甲的面积-乙的面积=（甲的面积+空白部分的面积）-（乙的面积+空白部分的面积）=大三角形的面积-正方形的面积。大三角形的底=正方形的边长+甲的底边长，大三角形的高=正方形的边长。 23．（2023五上·通许月考）王爷爷家有一块直角梯形的菜地，上底是10 m，下底是14 m。如果从其中隔开一块面积是12 m2的直角三角形菜地用来种植花草，剩下的菜地就变成了长方形，那么原来这块梯形菜地的面积是多少平方米？ 【答案】解：12×2÷(14－10) =12×2÷4 =24÷4 ＝6(m) (10＋14)×6÷2 =24×6÷2 =144÷2 ＝72(m2) 答：原来这块梯形菜地的面积是72平方米。 【思路点拨】根据题意可知，在一个直角梯形中，从其中隔开一块直角三角形，则直角三角形的高与梯形的高相等，已知直角三角形的面积和底，直角三角形的面积×2÷底=高；要求梯形的面积，应用公式：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。 24．（2023五上·杭州期末）下图，AE为30厘米，BC垂直AE，其中BC为15厘米、BF为10厘米。如果两个直角三角形的面积总和为197.5平方厘米，那么，三角形BEF的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：设AB是x厘米，则BE是（30-x）厘米。 x×15÷2+（30-x）×10÷2=197.5 7.5x+150-5x=197.5 2.5x=197.5-150 x=47.5÷2.5 x=19 （30-19）×10÷2 =11×10÷2 =55（平方厘米） 答：三角形BEF的面积是55平方厘米。 【思路点拨】设AB是x厘米，则BE是（30-x）厘米。分别表示出两个三角形的面积，然后根据三角形的面积和是197.5平方厘米列出方程，解方程求出AB的长度，进而起初BE的长度，然后根据三角形面积公式计算出三角形BEF的面积即可。 25．（2021五上·上城期末）下图中，长方形ABCF与长方形ACDE部分重叠。 （1）AE长　 　cm。 （2）如果三角形①的面积是8.64cm2，那么三角形②的面积是　 　cm2。 【答案】（1）4.8 （2）15.36 【规范解答】解：（1）8×6÷2×2÷10 =48÷2×2÷10 =48÷10 =4.8（厘米） （2）8×6÷2-8.64 =48÷2-8.64 =24-8.64 =15.36（平方厘米）。 故答案为：（1）4.8；（2）15.36。 【思路点拨】（1）AE的长度=三角形ABC的底×高÷2×2÷三角形ACF中AC的长； （2）三角形②的面积=长方形ABCF的面积÷2-①的面积。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$