（新知衔接）专题07 组合图形的面积（新知讲练+高频易错点+五大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏教版小学数学四升五年级暑假衔接讲义（学生版+教师版）

专题07 组合图形的面积 （新知讲练+高频易错点+五大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：表格中不规则图形面积的计算 6 考点二：不规则组合图形面积的计算 7 考点三：实际问题中组合图形的面积 8 考点四：组合图形中动手操作问题 10 考点五：组合图形中求阴影部分面积 11 中档题真题训练 12 培优题真题训练 16 1.能够结合生活实际认识组合图形，会把组合图形分解成学过的平面图形并计算出面积。 2.能运用所学知识，解决生活中组合图形的实际问题。 3.自主探索，合作交流，培养学生认真思考，团结协作的能力。 重点：探索并掌握组合图形的面积计算方法。 难点：理解并掌握组合图形的组合及分解方法。 华丰小学校园里有一块草坪（如下图），它的面积是多少平方米？ 你准备怎样算？ 1.分割成两个简单的图形，分别算出面积，再求和。 2.补成一个简单的图形，从补成的图形中去掉一部分。 分割成一个长方形和一个梯形。 草坪的面积= 长方形的面积 + 梯形的面积 列式: 12 × 4 ＋ (12+15)× 6 ÷ 2 = 48 ＋ 81 = 129（m²） 分割成一个长方形和一个三角形。 草坪的面积 = 长方形的面积 ＋ 三角形的面积 列式: 12 × 10 ＋ 3 × 6 ÷ 2 = 120 ＋ 9 = 129（m²） 分割成一个梯形和一个三角形。 草坪的面积 = 梯形的面积 ＋ 三角形的面积 列式: （4 + 10）× 12 ÷ 2 ＋ 15 × 6 ÷ 2 = 84 ＋ 45 = 129（m2 ） 补成一个简单图形，再从补成的图形里去掉一部分。 草坪的面积 = 长方形的面积 － 梯形的面积 列式: 15 × 10 － （4 + 10 ）× 3 ÷ 2 =150 － 21 =129（m²） 你还能怎样计算它的面积？ ●在进行图形的割补时，要注意什么？ ●要根据原来图形的特点进行思考。 ●要便于利用已知条件计算简单图形的面积。 ●可以用不同的方法进行割补。 归 纳 小 结 计算组合图形的面积的方法： (1)分割法：把组合图形分割成几个基本图形，求出基本图形的面积和，就能得出组合图形的面积。 (2)添补法：用大图形的面积减去补的图形的面积，就是原组合图形的面积。 知识点01：组合图形的概念 组合图形是由两个或两个以上的基本图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等）组合而成的图形。 知识点02：组合图形面积的计算方法 分割法： 原理：将组合图形分割成几个基本图形，分别求出这几个 基本图形的面积，再将它们相加得到组合图形的总面积。 应用示例：一个房子侧面的形状可以看作是一个三角形和一个正方形的组合，可以先分别计算这两个图形的面积，再相加得到总面积。 拼补法： 原理：将组合图形通过添补或剪裁转化为一个基本图形，然后利用该基本图形的面积公式进行计算。 应用示例：在一张长方形纸的一角剪去一个等腰直角三角形，可以通过计算原长方形的面积再减去等腰直角三角形的面积来得到剩余部分的面积。 知识点03：不规则图形的面积估计 对于不规则图形，可以使用方格纸进行面积估计，先数出完整的方格数，再估算不满格的方格数（通常不满格按半格计算），最后将两者相加得到估计的面积。 知识点04：注意事项 在计算组合图形面积时，要注意分割图形时不能重叠或遗漏部分面积，数据使用要准确。 估计不规则图形面积时，要选择合适的测量标准，并尽量使估计结果接近真实值。 知识点05：公式回顾 长方形面积 = 长 × 宽 正方形面积 = 边长 × 边长 平行四边形面积 = 底 × 高 三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 易错知识点01：图形分割或添补的误解 分割不当： 错误理解：学生在分割组合图形时，可能会将图形分割成无法计算面积的形状，或者分割后的图形面积重叠，导致计算错误。 正确做法：应该将组合图形分割成可以计算面积的基本图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等），并确保分割后的图形面积不重叠。 添补错误： 错误理解：在通过添补方法将组合图形转化为基本图形时，学生可能会错误地添加或减去面积，导致最终计算结果不准确。 正确做法：通过添补或剪裁将组合图形转化为一个可以计算面积的基本图形，确保添补或剪裁的面积与组合图形中缺失或多余的面积相等。 易错知识点02：面积计算公式的混淆 公式记忆不准确： 错误理解：学生在计算不同图形的面积时，可能会混淆面积计算公式，如将三角形面积公式误用为平行四边形面积公式。 正确做法：熟练掌握不同图形的面积计算公式，并能够在解题时正确应用。 单位换算错误： 错误理解：在计算组合图形面积时，学生可能会忽略单位换算，导致计算结果的单位与题目要求不符。 正确做法：在计算过程中注意单位换算，确保最终计算结果的单位与题目要求一致。 易错知识点03：审题不清导致的错误 忽略题目条件： 错误理解：学生在解题时可能会忽略题目中的某些条件，如图形的边长、高、角度等，导致计算结果错误。 正确做法：仔细阅读题目，理解题目中的每一个条件，并在解题过程中充分利用这些条件。 误解题目意图： 错误理解：有时学生可能会误解题目的意图，将求组合图形的面积误解为求某个基本图形的面积，或者将求阴影部分的面积误解为求整个图形的面积。 正确做法：准确理解题目的意图，明确是求整个组合图形的面积还是求其中的某一部分（如阴影部分）的面积。 易错知识点04：计算过程中的错误 数据使用错误： 错误理解：在计算过程中，学生可能会错误地使用数据，如将图形的边长误用为高，或者将两个不同图形的边长混淆使用。 正确做法：在计算过程中仔细核对数据，确保使用的数据与题目中的条件一致。 计算步骤错误： 错误理解：学生在计算过程中可能会出现计算步骤错误，如乘法运算时忘记进位，或者除法运算时余数处理不当等。 正确做法：在计算过程中仔细核对每一步的计算步骤，确保计算过程准确无误。 考点一：表格中不规则图形面积的计算 【典例精讲】（2024五上·固原期末）下图中，每个小正方形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是（　　）。 A．8平方厘米 B．10平方厘米 C．16平方厘米 【变式演练01】（2023三下·新晃期末）比一比下面两个图形的面积。结果是（　　）。 A．①＞② B．①＜② C．①＝② 【变式演练02】（2023五上·海口期末）如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长1厘米的小正方形。 （1）如图方格纸中图形的面积是　 　平方厘米。 （2）在如图方格纸上分别画一个高是6厘米，面积是24平方厘米的平行四边形和三角形。 考点二：不规则组合图形面积的计算 【典例精讲】（2024五上·福田期末）甜甜在计算少先队中队旗的面积时，列出了算式“80×60-60×20÷2”，请你判断图（　　）可以表示甜甜的思路。 A． B． C． D． 【变式演练01】小丽在计算图①的面积时，画虚线表示自己的方法。用现有知识解决，方法（　　）不可行。 A． B． C． 【变式演练02】（2022五上·固镇月考）下图是一个机器零件的横截面，这个零件横截面的面积是　 　平方厘米。 【变式演练03】（2024五上·内乡县期末） 求图形的面积。 考点三：实际问题中组合图形的面积 【典例精讲】（2024五上·光明期末）学校航模社团的同学设计了一个火箭模型图（如图所示，单位：厘米），这个图形的面积是多少平方厘米? 【变式演练01】（2023五上·威县）2023年 是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，习近平总书记强调推进中国式现代化开局之年工作的关键。中国式现代化建设的是畅通中国，我国铁路技术也是走在世界前列。如图是某高铁预制箱梁的横截面(阴影部分，单位是米)，这个横截面的面积是多少平方米？ 【变式演练02】（2023五上·杭州）一个苗圃的形状如下图所示(单位：m)，若在苗圃中栽种菊花苗，每棵菊花苗占地0.2 m2，这块苗圃一共可以栽多少棵菊花苗？ 【变式演练03】张大伯家有一块长方形的玉米地(如图)，长120米，宽90米，其中有一个梯形的鱼塘，下底是20米，上底是16米，高是8米。预计每公顷可以收玉米6000千克。这块玉米地一共可以收玉米多少千克？按每千克玉米2.1元计算，这块玉米地预计可收入多少元? 考点四：组合图形中动手操作问题 【典例精讲】（2023五上·玉林期末）一张边长8厘米的正方形纸，从相邻两边的中点连一条线段，沿着这条线段剪去一个角，剩下的面积是多少？ （1）画一画：用虚线在图中画出两种不同求图形面积的方法。 （2）选择其中一种方法计算出“剩下的面积是多少？”。 【变式演练01】（2019五上·都江堰期末）画一画：用三种不同的方法把下面的组合图形转化成已学过的图形。 【变式演练02】（2020五上·龙泉驿期末）根据要求画一画。 （1）根据算式在图1里面画一画，表示出笑笑求这个组合图形面积的思路。笑笑是这样做的：10×11=110cm2，10-6=4cm，（6+11）×4÷2=34cm2，110-34=76cm2 （2）再在图2和图3中画出不同的求组合图形面积的思路。 考点五：组合图形中求阴影部分面积 【典例精讲】（2023五上·杭州）大、中、小三个正方形的边长都是大于1的整厘米数，把中、小、正方形放在大正 方形上(如下图)，大正方形露出部分( 图中阴影部分)的面积是28平方厘米。大正方形的面积是　 　平方厘米。 【变式演练01】（2023五上·李沧期末）如图，边长分别是3cm和4cm的两个正方形拼在一起，阴影部分的面积是　 　cm2。 【变式演练02】阴影部分的面积为　 　cm2。 【变式演练03】（2022五上·荔湾期末）下图中有两个正方形，小正方形的边长为2cm，大正方形的边长为3cm，那么阴影部分的面积是　 　cm2。 中档题真题训练 1．计算下面图形(单位：厘米)的面积，典典列出的算式是5×12＋(10－5)×(12－6)÷2。下面符合典典思考过程的是（　　）。 A． B． C． D． 2．（2023五上·平阳期末）如图是少先队中队旗。下面四个选项是计算中队旗面积的不同方法。其中图（　　）的方法的算式是“80×60﹣60×20÷2”。 A． B． C． D． 3．（2023五上·阳东期末）下图运用了“转化”思想方法的有（　　）。 A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 4．（2023五上·丰台期末）下图是少先队中队旗。下面四个选项是计算中队旗面积的不同方法。图（　　）的方法与算式“80×60-60×20÷2”相对应。 A． B． C． D． 5．（2024五上·泰州期末）下图钉子板中多边形的面积是　 　平方厘米。如果在这个钉子板上围出一个内部有3枚钉子，边上有7枚钉子的多边形，这个多边形的面积是　 　平方厘米。 6．（2023五上·瑞安期末）下图是一间房子其中一面墙的示意图，这面墙的面积是　 　m2。如果给这面墙涂上油漆，每平方米用油漆0.75kg。这面墙至少需要　 　kg油漆。 7．下面图形　 　的面积与图形①一样大。 8．（2024五上·临平期末）一张边长4cm的正方形纸，沿相邻两边中点的连线剪去一个角（如图），剩下的面积是多少？ 9．（2024五上·南昌期末） 王师傅从一张正方形的白铁皮上剪掉一个三角形。求剩下的白铁皮（如图）的面积？ 10．（2024五上·罗湖期末）求出如图形中涂色部分面积。（单位：cm） 11．（2024五上·永定期末） 赵小军在一张平行四边形的硬纸板上剪下了一个三角形（如下图），剩下图形的面积是多少平方分米？ 12．（2023五上·期末）计算下面组合图形的面积。（单位：m） 13．粉刷一间教室的一面墙(如图)，除去窗户，需粉刷多少平方米的面积?如果每平方米涂料花费4元，共需多少元? 培优题真题训练 14．（2023五上·期末）下面（　　）图中阴影部分的面积与其他图中阴影部分的面积不相等。 A． B． C． D． 15．（2023五上·深圳期末）如图，已知大正方形的边长是40cm，小正方形的边长是20cm，则阴影部分的面积是（　　）cm2。 A．2000 B．1400 C．600 D．800 16．（2020五上·汝阳期中）如图，梯形的上底是8cm，下底是12cm，高为4cm。阴影部分的面积是（　　）cm2。 A．64 B．32 C．16 D．8 17．（2020五上·建湖期末）在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米。如果围出的多边形边上有n枚钉子，内有2枚钉子，这个多边形的面积用含有字母的式子表示是　 　平方厘米。 18．（2020五上·惠山期中）求出下面图形的面积算式是　 　 19．（2020五上·碑林期末）下图中大正方形边长是10厘米，小正方形边长是8厘米。图中阴影部分的面积是　 　平方厘米。 20．（2024五上·象山月考）如图，阴影部分的两个三角形面积之和是多少？（单位：厘米） 21．（2022五上·余杭期末）计算 （1）量出相关数据标在图上，保留一位小数到厘米，求出图形面积。 （2）三角形ABC和三角形DEF是两个完全一样的等腰直角三角形，求阴影部分面积。（单位：m） 22．（2023五上·嵊州期末） 学校有一块梯形空地(如图)，上底13米，下底19米，高8米，学校打算在空地上修一条宽1.5米的平行四边形小路，其余地方铺满草皮，每平方米草皮14元，买草皮一共需要多少元钱？ 23．（2023五上·西安期末）李大爷家要盖一间新房，新房一面墙的平面图如图所示。如果每平方米要用90块砖，砌这面墙至少要用多少块砖？ 24．（2023五上·潮南期末）求阴影部分的面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 组合图形的面积 （新知讲练+高频易错点+五大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：表格中不规则图形面积的计算 6 考点二：不规则组合图形面积的计算 8 考点三：实际问题中组合图形的面积 10 考点四：组合图形中动手操作问题 12 考点五：组合图形中求阴影部分面积 14 中档题真题训练 16 培优题真题训练 24 1.能够结合生活实际认识组合图形，会把组合图形分解成学过的平面图形并计算出面积。 2.能运用所学知识，解决生活中组合图形的实际问题。 3.自主探索，合作交流，培养学生认真思考，团结协作的能力。 重点：探索并掌握组合图形的面积计算方法。 难点：理解并掌握组合图形的组合及分解方法。 华丰小学校园里有一块草坪（如下图），它的面积是多少平方米？ 你准备怎样算？ 1.分割成两个简单的图形，分别算出面积，再求和。 2.补成一个简单的图形，从补成的图形中去掉一部分。 分割成一个长方形和一个梯形。 草坪的面积= 长方形的面积 + 梯形的面积 列式: 12 × 4 ＋ (12+15)× 6 ÷ 2 = 48 ＋ 81 = 129（m²） 分割成一个长方形和一个三角形。 草坪的面积 = 长方形的面积 ＋ 三角形的面积 列式: 12 × 10 ＋ 3 × 6 ÷ 2 = 120 ＋ 9 = 129（m²） 分割成一个梯形和一个三角形。 草坪的面积 = 梯形的面积 ＋ 三角形的面积 列式: （4 + 10）× 12 ÷ 2 ＋ 15 × 6 ÷ 2 = 84 ＋ 45 = 129（m2 ） 补成一个简单图形，再从补成的图形里去掉一部分。 草坪的面积 = 长方形的面积 － 梯形的面积 列式: 15 × 10 － （4 + 10 ）× 3 ÷ 2 =150 － 21 =129（m²） 你还能怎样计算它的面积？ ●在进行图形的割补时，要注意什么？ ●要根据原来图形的特点进行思考。 ●要便于利用已知条件计算简单图形的面积。 ●可以用不同的方法进行割补。 归 纳 小 结 计算组合图形的面积的方法： (1)分割法：把组合图形分割成几个基本图形，求出基本图形的面积和，就能得出组合图形的面积。 (2)添补法：用大图形的面积减去补的图形的面积，就是原组合图形的面积。 知识点01：组合图形的概念 组合图形是由两个或两个以上的基本图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等）组合而成的图形。 知识点02：组合图形面积的计算方法 分割法： 原理：将组合图形分割成几个基本图形，分别求出这几个 基本图形的面积，再将它们相加得到组合图形的总面积。 应用示例：一个房子侧面的形状可以看作是一个三角形和一个正方形的组合，可以先分别计算这两个图形的面积，再相加得到总面积。 拼补法： 原理：将组合图形通过添补或剪裁转化为一个基本图形，然后利用该基本图形的面积公式进行计算。 应用示例：在一张长方形纸的一角剪去一个等腰直角三角形，可以通过计算原长方形的面积再减去等腰直角三角形的面积来得到剩余部分的面积。 知识点03：不规则图形的面积估计 对于不规则图形，可以使用方格纸进行面积估计，先数出完整的方格数，再估算不满格的方格数（通常不满格按半格计算），最后将两者相加得到估计的面积。 知识点04：注意事项 在计算组合图形面积时，要注意分割图形时不能重叠或遗漏部分面积，数据使用要准确。 估计不规则图形面积时，要选择合适的测量标准，并尽量使估计结果接近真实值。 知识点05：公式回顾 长方形面积 = 长 × 宽 正方形面积 = 边长 × 边长 平行四边形面积 = 底 × 高 三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 易错知识点01：图形分割或添补的误解 分割不当： 错误理解：学生在分割组合图形时，可能会将图形分割成无法计算面积的形状，或者分割后的图形面积重叠，导致计算错误。 正确做法：应该将组合图形分割成可以计算面积的基本图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等），并确保分割后的图形面积不重叠。 添补错误： 错误理解：在通过添补方法将组合图形转化为基本图形时，学生可能会错误地添加或减去面积，导致最终计算结果不准确。 正确做法：通过添补或剪裁将组合图形转化为一个可以计算面积的基本图形，确保添补或剪裁的面积与组合图形中缺失或多余的面积相等。 易错知识点02：面积计算公式的混淆 公式记忆不准确： 错误理解：学生在计算不同图形的面积时，可能会混淆面积计算公式，如将三角形面积公式误用为平行四边形面积公式。 正确做法：熟练掌握不同图形的面积计算公式，并能够在解题时正确应用。 单位换算错误： 错误理解：在计算组合图形面积时，学生可能会忽略单位换算，导致计算结果的单位与题目要求不符。 正确做法：在计算过程中注意单位换算，确保最终计算结果的单位与题目要求一致。 易错知识点03：审题不清导致的错误 忽略题目条件： 错误理解：学生在解题时可能会忽略题目中的某些条件，如图形的边长、高、角度等，导致计算结果错误。 正确做法：仔细阅读题目，理解题目中的每一个条件，并在解题过程中充分利用这些条件。 误解题目意图： 错误理解：有时学生可能会误解题目的意图，将求组合图形的面积误解为求某个基本图形的面积，或者将求阴影部分的面积误解为求整个图形的面积。 正确做法：准确理解题目的意图，明确是求整个组合图形的面积还是求其中的某一部分（如阴影部分）的面积。 易错知识点04：计算过程中的错误 数据使用错误： 错误理解：在计算过程中，学生可能会错误地使用数据，如将图形的边长误用为高，或者将两个不同图形的边长混淆使用。 正确做法：在计算过程中仔细核对数据，确保使用的数据与题目中的条件一致。 计算步骤错误： 错误理解：学生在计算过程中可能会出现计算步骤错误，如乘法运算时忘记进位，或者除法运算时余数处理不当等。 正确做法：在计算过程中仔细核对每一步的计算步骤，确保计算过程准确无误。 考点一：表格中不规则图形面积的计算 【典例精讲】（2024五上·固原期末）下图中，每个小正方形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是（　　）。 A．8平方厘米 B．10平方厘米 C．16平方厘米 【答案】A 【规范解答】解：8×1=8（平方厘米）。 故答案为：A。 【思路点拨】如图 把1和2两个三角形剪下来拼到上面去，如图 ，那么阴影部分就一共由8个小正方形组成，1个小正方形的面积是1平方厘米，那么阴影部分的面积=8×每个小正方形的面积。 【变式演练01】（2023三下·新晃期末）比一比下面两个图形的面积。结果是（　　）。 A．①＞② B．①＜② C．①＝② 【答案】C 【规范解答】解：①和②占的格子数相同，是面积相等。 故答案为：C。 【思路点拨】①占了2个整格和4个半格，也就是4个整格；②占了4个整格。所以它们的面积相等。 【变式演练02】（2023五上·海口期末）如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长1厘米的小正方形。 （1）如图方格纸中图形的面积是　 　平方厘米。 （2）在如图方格纸上分别画一个高是6厘米，面积是24平方厘米的平行四边形和三角形。 【答案】（1）18 （2）解：平行四边形的底：24÷6=4（厘米） 三角形的底：24×2÷6=48÷6=8（厘米） 【规范解答】解：（1）4×5-2×2÷2 =20-2 =18（平方厘米） 故答案为：（1）18。 【思路点拨】（1）图形的面积=长方形面积-右上角三角形面积； （2）平行四边形面积÷高=底，三角形面积×2÷高=底，据此作图。 考点二：不规则组合图形面积的计算 【典例精讲】（2024五上·福田期末）甜甜在计算少先队中队旗的面积时，列出了算式“80×60-60×20÷2”，请你判断图（　　）可以表示甜甜的思路。 A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：80×60-60×20÷2是整个长方形的面积-右边三角形的面积，即 。 故答案为：B。 【思路点拨】少先队中队旗的面积=长方形的长×宽-三角形的底×高÷2。 【变式演练01】小丽在计算图①的面积时，画虚线表示自己的方法。用现有知识解决，方法（　　）不可行。 A． B． C． 【答案】A 【规范解答】解：第一个方法不知道三角形的底和梯形的上底，无法求出图①的面积，方法不可行。 故答案为：A。 【思路点拨】三角形面积=底×高÷2，梯形面积=（上底+下底）×高÷2，据此解答。 【变式演练02】（2022五上·固镇月考）下图是一个机器零件的横截面，这个零件横截面的面积是　 　平方厘米。 【答案】120 【规范解答】15×6+（12-6）×5÷2×2 =15×6+6×5÷2×2 =90+30 =120（平方厘米） 故答案为：120。 【思路点拨】观察图可知，这个组合图形可以分成一个长方形和两个三角形，组合图形的面积=长方形的面积+三角形的面积×2，据此列式解答。 【变式演练03】（2024五上·内乡县期末） 求图形的面积。 【答案】解：4×0.9÷2 ＝3.6÷2 ＝1.8（dm2） 80×（30＋30）－（30＋30）×20÷2 ＝80×60－60×20÷2 ＝4800－600 ＝4200（cm2） 【思路点拨】三角形的面积=底×高÷2； 组合图形的面积=长方形的长×宽-右边三角形的底×高÷2。 考点三：实际问题中组合图形的面积 【典例精讲】（2024五上·光明期末）学校航模社团的同学设计了一个火箭模型图（如图所示，单位：厘米），这个图形的面积是多少平方厘米? 【答案】解：梯形面积：（10+5）×6÷2=45（平方厘米） 长方形面积：16×5=80（平方厘米） 三角形面积：10×8÷2=40（平方厘米） 组合面积：45+80+40=165（平方厘米） 答：这个图形的面积是165平方厘米。 【思路点拨】这个图形由梯形、长方形和三角形三部分组成，因此分别求出三部分面积，再相加即可。梯形面积=(上底+下底)×高÷2，长方形面积=长×宽，三角形面积=底×高÷2，据此解答。 【变式演练01】（2023五上·威县）2023年 是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，习近平总书记强调推进中国式现代化开局之年工作的关键。中国式现代化建设的是畅通中国，我国铁路技术也是走在世界前列。如图是某高铁预制箱梁的横截面(阴影部分，单位是米)，这个横截面的面积是多少平方米？ 【答案】解：(13+10)×5÷2-(11+9)×4÷2+16×1 =23×5÷2-20×4÷2+16 =57.5-40+16 =33.5 (平方米) 答：这个横截面的面积是33.5平方米。 【规范解答】用上底是13、下底是10、高是5的梯形面积减去中间空白部分梯形的面积求出下部U型的面积，再加上上部长方形的面积九十横截面的面积。 【变式演练02】（2023五上·杭州）一个苗圃的形状如下图所示(单位：m)，若在苗圃中栽种菊花苗，每棵菊花苗占地0.2 m2，这块苗圃一共可以栽多少棵菊花苗？ 【答案】解：(16+42) ×25÷2 =58×25÷2 =725 (平方米) 25×10.8÷2 =270÷2 =135 (平方米) 725+135=860 (平方米) 860÷0.2=4300 (棵) 答：这块苗圃一共可以栽4300棵菊花苗。 【思路点拨】这块苗圃的面积是左边梯形面积加上右边三角形面积，先计算出总面积，然后用总面积除以每棵菊花的占地面积即可求出栽菊花的棵数。梯形面积=（上底+下底）×高÷2，三角形面积=底×高÷2。 【变式演练03】张大伯家有一块长方形的玉米地(如图)，长120米，宽90米，其中有一个梯形的鱼塘，下底是20米，上底是16米，高是8米。预计每公顷可以收玉米6000千克。这块玉米地一共可以收玉米多少千克？按每千克玉米2.1元计算，这块玉米地预计可收入多少元? 【答案】解：120×90=10800(平方米) (16+20)×8÷2=144(平方米) 10800-144=10656(平方米) 10656÷10000×6000=6393.6(千克) 6393.6×2.1=13426.56(元) 答：这块玉米地一共可以收玉米6393.6千克，按每千克玉米2.1元计算，这块玉米地预计可收入13426.56元。 【思路点拨】长方形面积-梯形面积=这块地的面积；平方米÷10000=公顷；这块地的公顷数×每公顷收玉米的质量=这块地收玉米的质量；这块地收玉米的质量×玉米的单价=一共能卖的钱数。 考点四：组合图形中动手操作问题 【典例精讲】（2023五上·玉林期末）一张边长8厘米的正方形纸，从相邻两边的中点连一条线段，沿着这条线段剪去一个角，剩下的面积是多少？ （1）画一画：用虚线在图中画出两种不同求图形面积的方法。 （2）选择其中一种方法计算出“剩下的面积是多少？”。 【答案】（1）解： （2）解：第二个图形的面积： 8×8-（8÷2）×（8÷2）÷2 =64-4×4÷2 =64-8 =56（平方厘米） 答：剩下的面积是56平方厘米。 【思路点拨】（1）左边的图形面积=长方形面积+梯形面积，右边的图形面积=正方形面积-三角形面积； （2）正方形面积=边长×边长，三角形面积=底×高÷2。 【变式演练01】（2019五上·都江堰期末）画一画：用三种不同的方法把下面的组合图形转化成已学过的图形。 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了平面图像的切拼，观察图可知，可以把这个图形分成一个长方形与一个正方形，还可以分成两个梯形，据此解答。 【变式演练02】（2020五上·龙泉驿期末）根据要求画一画。 （1）根据算式在图1里面画一画，表示出笑笑求这个组合图形面积的思路。笑笑是这样做的：10×11=110cm2，10-6=4cm，（6+11）×4÷2=34cm2，110-34=76cm2 （2）再在图2和图3中画出不同的求组合图形面积的思路。 【答案】（1）解： （2）解：；； 【思路点拨】（1）从解题思路来看，笑笑是用一个长为11厘米、宽为10厘米的一个长方形面积减去一个上底为11厘米、下底为6厘米、高为10-6=4厘米的一个梯形的面积； （2）可以把图2分成一个上底为6厘米、下底为10厘米、高为11-6=5厘米的一个梯形和一个边长为6厘米的一个正方形，利用梯形的面积公式：梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，正方形的面积=边长×边长，求出它们的面积，再相加； 可以把图3分成一个底为11-6=5厘米、高为10-6=4厘米的一个三角形形和一个长为11厘米、宽为6厘米的一个长方形，利用三角形的面积公式：三角形的面积=底×高÷2，长方形的面积=长×宽，求出它们的面积，再相加。 考点五：组合图形中求阴影部分面积 【典例精讲】（2023五上·杭州）大、中、小三个正方形的边长都是大于1的整厘米数，把中、小、正方形放在大正 方形上(如下图)，大正方形露出部分( 图中阴影部分)的面积是28平方厘米。大正方形的面积是　 　平方厘米。 【答案】81 【规范解答】解：如图：，移动小正方形，则两个阴影部分的面积相等； 28÷2=14（平方厘米） 14=1×14=2×7 2＋7=9（厘米） 9×9=81（平方厘米）。 故答案为：81。 【思路点拨】因为大、中、小三个正方形的边长都是大于1的整厘米数，所以小正方形的边长是2厘米，大正方形的边长是2＋7=9（厘米），面积=边长×边长。 【变式演练01】（2023五上·李沧期末）如图，边长分别是3cm和4cm的两个正方形拼在一起，阴影部分的面积是　 　cm2。 【答案】6.5 【规范解答】解：3×3＋4×4-（3＋4）×4÷2-3×3÷2 =9＋16-7×4÷2-9÷2 =9＋16-28÷2-9÷2 =9＋16-14-4.5 =25-14-4.5 =11-4.5 =6.5（平方厘米）。 故答案为：6.5。 【思路点拨】阴影部分的面积=大正方形的面积＋小正方形的面积-大空白三角形的面积-小空白三角形的面积；其中，正方形的面积=边长×边长，三角形的面积=底×高÷2。 【变式演练02】阴影部分的面积为　 　cm2。 【答案】37 【规范解答】解：8×8+5×5-（8+5）×8÷2 =64+25-52 =37（平方厘米） 故答案为：37。 【思路点拨】大正方形面积+小正方形面积-三角形面积=阴影部分的面积。 【变式演练03】（2022五上·荔湾期末）下图中有两个正方形，小正方形的边长为2cm，大正方形的边长为3cm，那么阴影部分的面积是　 　cm2。 【答案】5 【规范解答】解：（2+3）×2÷2 =5×2÷2 =5（平方厘米） 故答案为：5。 【思路点拨】阴影部分是一个梯形，上底是2厘米，下底是3厘米，高是2厘米，阴影部分的面积=（上底+下底）×高÷2。 中档题真题训练 1．计算下面图形(单位：厘米)的面积，典典列出的算式是5×12＋(10－5)×(12－6)÷2。下面符合典典思考过程的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：符合典典思考过程的是。 故答案为：D。 【思路点拨】这个图形的面积=下面长方形的面积＋上面三角形的面积；其中，长方形的面积=长×宽，三角形的面积=底×高÷2。 2．（2023五上·平阳期末）如图是少先队中队旗。下面四个选项是计算中队旗面积的不同方法。其中图（　　）的方法的算式是“80×60﹣60×20÷2”。 A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：A：算式是：（80+60）×30÷2×2； B：算式是：（80+40）×60÷2+40×30÷2； C：算式是：60×60+30×20÷2×2； D：算式是：80×60﹣60×20÷2。 故答案为：D。 【思路点拨】A：把图形分成两个相同的梯形，用一个梯形面积乘2就是图形的面积； B：用左边梯形面积加上右下角三角形面积即可； C：用左边正方形面积加上右边两个三角形面积即可； D：用长方形面积减去右边缺少部分小三角形面积即可。 3．（2023五上·阳东期末）下图运用了“转化”思想方法的有（　　）。 A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【规范解答】解：①用了转化思想，把多边形的内角和的问题转化为三角形内角和的问题； ②用了转化思想，根据积的变化规律把小数乘法转化为整数乘法； ③用了转化思想，把不规则图形的周长通过平移转化为规则图形的周长； ④用了转化思想，把不规则图形转化为规则的图形。 故答案为：D。 【思路点拨】转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳 等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决。 4．（2023五上·丰台期末）下图是少先队中队旗。下面四个选项是计算中队旗面积的不同方法。图（　　）的方法与算式“80×60-60×20÷2”相对应。 A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：与“80×60-60×20÷2”相对应的是第二个图形。 故答案为：B。 【思路点拨】80×60表示最大的长方形的面积，60×20÷2表示右边空白三角形的面积，80×60-60×20÷2长方形面积-空白三角形的面积=中队旗的面积。 5．（2024五上·泰州期末）下图钉子板中多边形的面积是　 　平方厘米。如果在这个钉子板上围出一个内部有3枚钉子，边上有7枚钉子的多边形，这个多边形的面积是　 　平方厘米。 【答案】3.5；5.5 【规范解答】解：第一问：多边形的面积共3.5个正方形，所以面积是3.5平方厘米； 第二问：这个多边形的面积是5.5平方厘米。 故答案为：3.5；5.5。 【思路点拨】每个小正方形的边长是1厘米，面积就是1平方厘米。根据图形的格数确定图形的面积。第二问中要根据要求先确定图形，再确定面积。 6．（2023五上·瑞安期末）下图是一间房子其中一面墙的示意图，这面墙的面积是　 　m2。如果给这面墙涂上油漆，每平方米用油漆0.75kg。这面墙至少需要　 　kg油漆。 【答案】80；60 【规范解答】解：10×（9-7）÷2+10×7 =10+70 =80（平方米） 80×0.75=60（千克） 故答案为：80；60。 【思路点拨】三角形面积+长方形面积=这面墙的面积，这面墙的面积×每平方米用油漆质量=这面墙至少需要油漆的质量。 7．下面图形　 　的面积与图形①一样大。 【答案】②⑤⑥⑦⑧⑩ 【规范解答】解：假设每个小正方形的边长是1 ①的面积：3×2=6； ②的面积：3×2=6； ③的面积：2×3÷2 =6÷2 =3； ④的面积：2×2=4； ⑤的面积：6×1=6； ⑥的面积：3×4÷2 =12÷2 =6； ⑦的面积：2×2＋2×2 =4＋2 =6； ⑧的面积：4×2-2×2÷2 =8-4÷2 =8-2 =6 ⑨的面积：4×1＋1×0.5 =4＋0.5 =4.5 ⑩的面积：（2＋4）×2÷2 =6×2÷2 =12÷2 =6，②、⑤、⑥、⑦、⑧、⑩的面积与图形①一样大。 故答案为：②、⑤、⑥、⑦、⑧、⑩。 【思路点拨】长方形的面积=长×宽，平行四边形的面积=底×高，正方形的面积=边长×边长，三角形的面积=底×高÷2，梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2等，分别计算出面积后再比较大小。 8．（2024五上·临平期末）一张边长4cm的正方形纸，沿相邻两边中点的连线剪去一个角（如图），剩下的面积是多少？ 【答案】解：4×4-（4÷2）×（4÷2）÷2 ＝16-2 ＝14（平方厘米） 答：剩下的面积是14平方厘米。 【思路点拨】剩下的面积=正方形的边长×边长-剪去三角形的底×高÷2；其中，剪去三角形的底=高=正方形的边长÷2。 9．（2024五上·南昌期末） 王师傅从一张正方形的白铁皮上剪掉一个三角形。求剩下的白铁皮（如图）的面积？ 【答案】解：如图： 12×6＝72（dm2） （6＋12）×（12－6）÷2 ＝18×6÷2 ＝108÷2 ＝54（dm2） 72＋54＝126（dm2） 答：剩下的白铁皮的面积是126dm2。 【思路点拨】观察图可知，这个组合图形可以分成一个梯形和一个长方形，组合梯形的面积=梯形的面积+长方形的面积，据此列式解答。 10．（2024五上·罗湖期末）求出如图形中涂色部分面积。（单位：cm） 【答案】解：10×10+6×6 ＝100+36 ＝136（平方厘米） 10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方厘米） （10+6）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝48（平方厘米） 136-50-48 =86-48 ＝38（平方厘米） 答：阴影部分的面积是38平方厘米。 【思路点拨】涂色部分的面积=大正方形的边长×边长＋小正方形的边长×边长-左边空白三角形的底×高÷2-右边空白三角形的底×高÷2。 11．（2024五上·永定期末） 赵小军在一张平行四边形的硬纸板上剪下了一个三角形（如下图），剩下图形的面积是多少平方分米？ 【答案】解：8×6－（8－3－2）×4÷2 ＝48－3×4÷2 ＝48－6 ＝42（平方分米） 答：剩下图形的面积是42平方分米。 【思路点拨】剩下图形的面积=平行四边形的底×高-空白三角形的底×高÷2；其中，空白三角形的底=平行四边形的底-3-2。 12．（2023五上·期末）计算下面组合图形的面积。（单位：m） 【答案】解：（12+14）×6÷2+12×6÷2 =26×6÷2+12×6÷2 =78+36 =114（平方米） 答：组合图形的面积是114平方米。 【思路点拨】观察图可知，组合图形的面积=梯形的面积+三角形的面积，据此列式解答。 13．粉刷一间教室的一面墙(如图)，除去窗户，需粉刷多少平方米的面积?如果每平方米涂料花费4元，共需多少元? 【答案】解：8×6+8×1.2÷2-1.2×2.4 =48+4.8-2.88 =49.92(平方米) 4×49.92=199.68(元) 答：需粉刷49.92平方米的面积?如果每平方米涂料花费4元，共需199.68元。 【思路点拨】长方形面积+三角形面积-窗户面积=需粉刷的面积；需粉刷的面积×每平方米涂料花费=一共需要的钱数。 培优题真题训练 14．（2023五上·期末）下面（　　）图中阴影部分的面积与其他图中阴影部分的面积不相等。 A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：A、B、C项：阴影部分的面积=ab÷2； D项：阴影部分的面积＜ab÷2。 故答案为：D。 【思路点拨】A、B、C项：阴影部分的面积=三角形的面积=底×高÷2=ab÷2； D项：阴影部分的面积=三角形的面积=底×高÷2，但是底=b，高＜a，则面积＜ab÷2。 15．（2023五上·深圳期末）如图，已知大正方形的边长是40cm，小正方形的边长是20cm，则阴影部分的面积是（　　）cm2。 A．2000 B．1400 C．600 D．800 【答案】C 【规范解答】解：40×40+20×20-40×40÷2-（40+20）×20÷2 =1600+400-800-600 =2000-1400 =600（cm2） 故答案为：C。 【思路点拨】图中阴影部分的面积是两个正方形的面积之和减去图中空白部分两个三角形的面积，根据图中的数据结合面积公式计算即可。 16．（2020五上·汝阳期中）如图，梯形的上底是8cm，下底是12cm，高为4cm。阴影部分的面积是（　　）cm2。 A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【规范解答】解：（8+12）×4÷2-12×4÷2 =20×4÷2-48÷2 =40-24 =16（cm2） 故答案为：C。 【思路点拨】阴影部分的面积是梯形面积减去空白部分两个三角形面积，把这两个三角形的高相等，可以看作一个底是12cm、高是4cm的三角形来计算总面积。 17．（2020五上·建湖期末）在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米。如果围出的多边形边上有n枚钉子，内有2枚钉子，这个多边形的面积用含有字母的式子表示是　 　平方厘米。 【答案】n+1 【规范解答】n+2-1=n+1（平方厘米） 故答案为：n+1。 【思路点拨】此题主要考查了格点多边形的面积计算，这个多边形的面积=边上的钉子数量÷2+内部的钉子数量-1，据此解答。 18．（2020五上·惠山期中）求出下面图形的面积算式是　 　 【答案】12×4+（15+12）×（10-4）÷2 【规范解答】求出下面图形的面积算式是：12×4+（15+12）×（10-4）÷2 故答案为：12×4+（15+12）×（10-4）÷2。 【思路点拨】图形的面积=长方形的面积+梯形的面积，长方形的面积=长×宽，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。 19．（2020五上·碑林期末）下图中大正方形边长是10厘米，小正方形边长是8厘米。图中阴影部分的面积是　 　平方厘米。 【答案】74 【规范解答】解：10×10＋8×8 =100＋64 =164（平方厘米） 164-（10＋8）×10÷2 =164-18×10÷2 =164-180÷2 =164-90 =74（平方厘米） 故答案为：74。 【思路点拨】阴影部分的面积=大正方形的面积＋小正方形的面积-空白三角形的面积即可。 20．（2024五上·象山月考）如图，阴影部分的两个三角形面积之和是多少？（单位：厘米） 【答案】解：4×5÷2×2-4×2÷2×2 =20-8 =12（平方厘米） 答：阴影部分的两个三角形面积之和是12平方厘米。 【思路点拨】阴影部分的两个三角形是等底等高的三角形，等底等高的三角形面积相等，阴影部分的两个三角形面积和=其中一个阴影部分三角形的底×高÷2×2-空白三角形的底×高÷2×2。 21．（2022五上·余杭期末）计算 （1）量出相关数据标在图上，保留一位小数到厘米，求出图形面积。 （2）三角形ABC和三角形DEF是两个完全一样的等腰直角三角形，求阴影部分面积。（单位：m） 【答案】（1）解： 0.6＋0.8=1.4（厘米） 0.8×0.6＋1.4×0.8÷2 =0.48＋1.12÷2 =0.48＋0.56 =1.04（平方厘米） （2）解：20-6=14（米） （14＋20）×6÷2 =34×6÷2 =204÷2 =102（平方米） 【思路点拨】（1）组合图形的面积=长方形的面积＋三角形的面积；其中，长方形的面积=长×宽，三角形的面积=底×高÷2； （2）因为三角形ABC和三角形DEF是两个完全一样的等腰直角三角形，所以DE=EF=20米，MB=BF=EF-BE=20-6=14米，阴影部分面积=S△ABC-S△MBF，梯形DEBM的面积=S△DEF-S△MBF，则阴影部分面积=梯形DEBM的面积=（上底＋下底）×高÷2。 22．（2023五上·嵊州期末） 学校有一块梯形空地(如图)，上底13米，下底19米，高8米，学校打算在空地上修一条宽1.5米的平行四边形小路，其余地方铺满草皮，每平方米草皮14元，买草皮一共需要多少元钱？ 【答案】解：（13＋19）×8÷2-1.5×8 =256÷2-12 =128-12 =116（平方米） 116×14=1624（元） 答：买草皮一共需要1624元钱。 【思路点拨】买草皮一共需要的总价=单价×铺的面积；其中，铺的面积=（梯形的上底＋下底）×高÷2-平行四边形小路的底×高。 23．（2023五上·西安期末）李大爷家要盖一间新房，新房一面墙的平面图如图所示。如果每平方米要用90块砖，砌这面墙至少要用多少块砖？ 【答案】解：（8×2.5÷2+8×6）×90 ＝（10+48）×90 ＝58×90 ＝5220（块） 答：砌这面墙至少要用5220块砖。 【思路点拨】三角形面积+长方形面积=一面墙的的面积，一面墙的的面积×每平方米要用砖的块数=砌这面墙至少要用砖的块数。 24．（2023五上·潮南期末）求阴影部分的面积 【答案】解：5×5＋4×4＝41（cm2） 5×（5＋4）÷2＋4×4÷2＋（5－4）×5÷2 =5×9÷2＋16÷2＋5÷2 =45÷2＋8＋2.5 =22.5＋8＋2.5 =30.5＋2.5 ＝33（cm2） 41－33＝8（cm2） 【思路点拨】阴影部分的面积=左边大正方形的面积＋右边小正方形的面积-三个空白三角形的面积；其中，正方形的面积=边长×边长；三角形的面积=底×高÷2。 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