第一单元 长方体和正方体（复习课件）-2024-2025学年六年级上册数学单元速记•巧练系列（苏教版）

第一单元 长方体和正方体 六年级上册 苏教版 一、知识网络 二、知识梳理 知识点01 长方体和正方体的认识 1.长方体的特征：长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的 立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 二、知识梳理 知识点01 长方体和正方体的认识 2. 长方体的长、宽、高的含义：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫 作它的长、宽、高。 二、知识梳理 知识点02 长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个 平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 二、知识梳理 知识点02 长方体和正方体的展开图 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同 （长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 二、知识梳理 知识点03 长方体、正方体的表面积 1.意义：长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法： （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽 ×高×2=（长×宽+长×高+宽× 高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 3.稍复杂的长方体和正方体表面积的计算：在运用长方体和正方体的表面积解决生 活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。 二、知识梳理 知识点04 体积和容积的意义 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 3.相邻体积单位间的进率：体积单位常用到，相邻进率是1000；立方分米立方米， 它们进率是1000；立方分米立方厘米，它们进率是1000。 二、知识梳理 知识点05 长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.长方体、正方体体积的统一公式 ①底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 ②体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面 积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。 二、知识梳理 知识点06 表面涂色的正方体 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小 正方体。 （1）3面涂色的小正方体有8个。 （2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数）， 用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12， b=(n-2)2×6。 三、精讲精练 考点01 长方体、正方体的特征和展开图 分析 典例01 由第一个图、第二个图可以看出与4相邻的四个数字，从而推出4的对面数字；由第二个图形、 第三个图形可以看出与1相邻的四个数字，从而推出1的对面数字；进而推出2的对面数字。 一个正方体骰子，六个面上分别写着1～6，根据如图摆放的三种情况，判断每个数字相对面上的 数字分别是几？ 三、精讲精练 考点01 长方体、正方体的特征和展开图 知识点 解答 关键是根据三个图形，首先弄清1的对面数字、3的对面数字，进而再推出2的对面数字。 解：由第一个图、第二个图可知，与4相邻的四个数字分别是1、2、5、6，由此推出4的对面是3； 由第二个图、第三图可知，与1相邻的四个数字分别是2、3、4、6，由此推出1的对面是5；进而 推出2的对面是6。 答：1的对面是5；2的对面是6；3的对面是4。 三、精讲精练 考点01 长方体、正方体的特征和展开图 分析 变式01 所需彩带的长度等于长方体2条长加2条宽加4条高的长度，再加上打结用的15厘米，据此解答。 如图所示，捆扎这个礼品盒（打结处有15cm）需要多长的彩带？ 三、精讲精练 考点01 长方体、正方体的特征和展开图 知识点 解答 本题考查的目的是理解掌握长方体的特征以及棱长和公式的灵活运用。 解：12×2+14×2+6×4+15 ＝24+28+24+15 ＝91（厘米） 答：捆扎这个礼品盒需要91厘米的彩带。 三、精讲精练 考点01 长方体、正方体的特征和展开图 分析 变式02 根据图形可得，第一个图形从下向上数，第二层缺3个；第二个图形从下向上数，第一层缺1个； 第二层缺2个；然后解答即可。 选一选能补成正方体的部分。 三、精讲精练 考点01 长方体、正方体的特征和展开图 知识点 解答 本题要结合图形的正面观测到的形状，确定各层所缺的小立方体的个数是解答的突破口。 解： 三、精讲精练 考点01 长方体、正方体的特征和展开图 分析 变式03 （1）展开图中，左右两个小的面，分别是左侧面和右侧面；上面的第一个面是上面，第二个面是前面，第三个面是下面，第四个面是后面，由此标注； （2）长方体上、下两个面的面积相等，左、右两个面的面积相等，前、后两个面的面积相等。 （3）前、后两个面的长和宽分别是长方体的长和高，上、下两个面的长和宽分别是长方体的长和宽，左、右两个面的长和宽分别是长方体的宽和高。 看一看、想一想。 把一个长方体的6个面分别展开，如图所示。 （1）在展开图中，分别用“上、下、前、后、左、右”标注6个面。 （2）哪些面的面积相等？ （3）前面、上面、左侧面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？ 三、精讲精练 考点01 长方体、正方体的特征和展开图 知识点 解答 本题考查了长方体展开图的特点。 解：（1）标注如下： （2）长方体上、下两个面的面积相等，左、右两个面的面积相等，前、后两个面的面积相等。 （3）前面的长和宽分别是长方体的长和高，上面的长和宽分别是长方体的长和宽，左侧面的长和宽分别是长方体的宽和高。 三、精讲精练 考点02 长方体和正方体的表面积 分析 典例02 （1）以4厘米、3厘米为边长的面最大，长方形面积＝长×宽，代入数据计算即可解答。 （2）以3厘米、2厘米为边长的面最小，长方形面积＝长×宽，代入数据计算即可解答。 （3）长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数据计算即可求出表面积。 计算如图所示立体图形最大面、最小面的面积和表面积。 （1）最大面的面积： （2）最小面的面积： （3）表面积： 三、精讲精练 考点02 长方体和正方体的表面积 知识点 解答 解答此题的关键是掌握长方形面积计算公式和长方体表面积的计算公式。 解：（1）4×3＝12（平方厘米）答：最大面的面积是12平方厘米。 （2）3×2＝6（平方厘米）答：最小面的面积是6平方厘米。 （3）（4×3+4×2+3×2）×2 ＝（12+8+6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米）答：它的表面积是52平方厘米。 三、精讲精练 考点02 长方体和正方体的表面积 分析 变式01 这个木块的表面积相当于原长方体木块的表面积加2个边长为4厘米的正方形面积，再减一个长10 厘米，宽4厘米的长方形面积。根据长方体的表面积计算公式“S＝2（ah+bh+ab）”、正方形的 面积计算公式“S＝a2”、长方形的面积计算公式“S＝ab”即可求出它的表面积。 如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘 米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 三、精讲精练 考点02 长方体和正方体的表面积 知识点 解答 此题主要考查了正方体、长方体表面积的计算。记住并会灵活运用相关计算公式是关键。 解：（10×8+4×8+10×4）×2+42×2﹣10×4 ＝（80+32+40）×2+16×2﹣40 ＝152×2+16×2﹣40 ＝304+32﹣40 ＝296（cm2） 答：它的表面积是296平方厘米。 三、精讲精练 考点02 长方体和正方体的表面积 分析 变式02 长方体表面积＝2ab+2ah+2bh（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高），据此计算。 根据展开图，求长方体的表面积。（单位：cm） 三、精讲精练 考点02 长方体和正方体的表面积 知识点 解答 本题主要考查长方体表面积的计算方法。 解：2×10×6+2×10×4+2×6×4 ＝120+80+48 ＝248（cm2） 答：长方体的表面积是248cm2。 三、精讲精练 考点02 长方体和正方体的表面积 分析 变式03 （1）利用长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，结合图中数据计算即可； （2）利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6，结合图中数据计算即可。 计算如图长方体和正方体的表面积。 （1） （2） 三、精讲精练 考点02 长方体和正方体的表面积 知识点 解答 本题考查的是长方体、正方体的表面积公式的应用。 解：（1）（10×5+10×6+6×5）×2 ＝140×2 ＝280（平方分米） 答：长方体的表面积是280平方分米。 （2）8×8×6＝384（平方厘米） 答：正方体的表面积是384平方厘米。 三、精讲精练 考点03 长方体和正方体的体积 分析 典例03 （1）先将单位换算为立方厘米，1毫升＝1立方厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，则长方 体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算即可； （2）先根据长方体的体积（容积）公式计算出容器的容积，即玉米油的体积（单位换算为毫 升），再乘1毫升玉米油的重量，即可算出如果将容器内倒满玉米油，油有多重。 一个长方体玻璃容器（如图）。 （1）如果向容器内注入300毫升的水，水面有多高？ （2）如果将容器内倒满玉米油，油有多重？（1毫升玉米油重0.86克） 三、精讲精练 考点03 长方体和正方体的体积 知识点 解答 此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 解：（1）300毫升＝300立方厘米 300÷（10×8）＝300÷80＝3.75（厘米） 答：水面高3.75厘米。 （2）10×8×12＝960（立方厘米） 960立方厘米＝960毫升 960×0.86＝825.6（克） 答：油有825.6克。 三、精讲精练 考点03 长方体和正方体的体积 分析 变式01 （1）长方体体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 （2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可解答。 计算如图所示立体图形的体积。 （1） （2） 三、精讲精练 考点03 长方体和正方体的体积 知识点 解答 掌握长、正方体体积计算公式是解答的关键。 解：（1）6×6×2 ＝36×2 ＝72（立方厘米） 答：它的体积是72立方厘米。 （2）4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 答：它的体积是64立方分米。 三、精讲精练 考点03 长方体和正方体的体积 分析 变式02 根据题意可知：所焊接的长方体盒子的长是40﹣4×2＝32厘米，宽是30﹣4×2＝22厘米，高 是4厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答． 有一块长方形铁皮，长40厘米，宽30厘米，在这块铁皮的四角各剪去一个边长是4厘米的小正方 形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的容积是多少？ 三、精讲精练 考点03 长方体和正方体的体积 知识点 解答 此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式． 解：（40﹣4×2）×（30﹣4×2）×4 ＝32×22×4 ＝704×4 ＝2816（立方厘米）， 答：这个长方体盒子的容积是2816立方厘米． 三、精讲精练 考点03 长方体和正方体的体积 变式03 学校要挖一个长方形状沙坑，长4米，宽2米，深0.4米，需要多少立方米的黄沙才能填满？ 分析 长方体的体积公式V＝abh，已知长方形状沙坑，长4米，宽2米，深0.4米．据此解答． 三、精讲精练 考点03 长方体和正方体的体积 知识点 解答 此题主要考查长方体的体积（容积）的计算，能够利用长方体的体积公式解决有关的实际问 题． 解：4×2×0.4＝3.2（立方米）； 答：需要3.2立方米的黄沙才能填满． 三、精讲精练 考点04 简单的立方体切拼问题 分析 典例04 （1）我们可以用大正方体的体积除以小正方体的体积就是得到小正方体的个数． （2）我们可以把正方体看做是棱长6厘米豆腐，6÷3切2块要1刀，就多出2个面，这样要沿着长 宽高各切2刀共6刀，增加了12个面．每个面的面积是6×6＝36平方厘米，进一步求出增加的面 积． 把一个棱长6cm的正方体切成棱长2cm的小正方体，可以得到多少个小正方体？它们的表面积之 和比原来大正方体的表面积增加了多少？ 三、精讲精练 考点04 简单的立方体切拼问题 知识点 解答 运用大正方体体积除以小正方体的体积得到小正方体的个数；一刀出现2个面，同理沿着宽、高 切又各多出4个面，所以共多出12个面，由此可以求得增加的面积． 解：（1）6×6×6÷（2×2×2） ＝216÷8 ＝27（个） （2）6×6×12 ＝36×12 ＝432（平方厘米） 答：可以得到27个小正方体．表面积增加了432平方厘米． 三、精讲精练 考点04 简单的立方体切拼问题 分析 变式01 通过观察图形可知，把3个棱长是5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比3个正方 体的表面积和减少了正方体的4个面的面积，据此解答即可。 将3个棱长5厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积变不变？如果变，有什么变化？ 三、精讲精练 考点04 简单的立方体切拼问题 知识点 解答 本题考查了立体图形的拼切知识，结合题意分析解答即可。 解：分析可知，将3个棱长5厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积会发生变化。这个长方体 的表面积比3个正方体的表面积和减少了正方体的4个面的面积。 三、精讲精练 考点04 简单的立方体切拼问题 分析 变式02 根据长方体内最大的正方体的棱长是长方体的最短边长，可得正方体的棱长是50厘米，则削去 部分的体积＝长方体的体积﹣正方体的体积，由此利用长方体和正方体的体积公式即可解答． 把一个长70厘米、宽50厘米、高50厘米的长方体木块削成一个体积最大的正方体，削去部分的 体积是多少立方厘米？ 三、精讲精练 考点04 简单的立方体切拼问题 知识点 解答 此题考查了长方体、正方体的体积公式的应用，抓住长方体内最大的正方体的棱长特点是解决 本题的关键． 解：70×50×50﹣50×50×50， ＝175000﹣125000， ＝50000（立方厘米）， 答：削去部分的体积是50000立方厘米． 三、精讲精练 考点04 简单的立方体切拼问题 变式03 一个圆柱橡皮的底面直径与高都是6厘米，把它切成一个最大的长方体，这个长方体的体积是多 少立方厘米？ 分析 利用圆内接四边形的性质，我们可知当圆内接四边形为正方形时面积最大，故我们可将底面直 径与高都是6厘米的圆柱锯成底面为正方形的长方体，则底面直径6厘米就是这个底面正方形的 对角线长，所以它的底面积是6×6÷2＝18平方厘米，再利用底面积×高即可求出它的体积． 三、精讲精练 考点04 简单的立方体切拼问题 知识点 解答 本题考查的知识点是长方体的体积，其中根据已知条件及圆内接图形为正方形时面积最大，解 答此题的难点在于推导出方木的底面积为对角线长×对角线长÷2． 解：根据题干分析可得：6×6÷2×6 ＝18×6 ＝108（立方厘米） 答：长方体的体积是108立方厘米． 谢谢观看~ $$