第一章 解直角三角形章末复习课 课件 2023-2024学年 浙教版数学九年级下册

第1章 解直角三角形 章末复习课 画一画 研一研 全效学习 学案导学设计 全效学习 学案导学设计 画 一 画 画一画 研一研 研 一 研 类型之一　锐角三角函数的定义 锐角三角函数是一个比值，只有弄懂它的真实含义，并严格把握定义才能求出直角三角形中的各函数值或边之值，必要时画图寻找关系． A 画一画 研一研 【点悟】 解锐角三角函数有关的问题，首先是要理解其意义；其次是要根据题意画出示意图结合三角函数的关系式解题． 画一画 研一研 www.czsx.com.cn 1.下列叙述错误的是 (　 　) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ D 画一画 研一研 www.czsx.com.cn 画一画 研一研 画一画 研一研 类型之二　特殊三角函数值的计算 解决此类问题的关键是牢记特殊角的三角函数值． 画一画 研一研 画一画 研一研 类型之三　解非直角三角形 非直角三角形的有关计算要转化为直角三角形来解，这种化归思想是此章的灵魂． 例3　如图1－1所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，求BC和sin B. 图1－1 画一画 研一研 【点悟】 解题规律是把BC分成两个直角三角形的两条直角边的和．这种化整为零的思想必须重视． 画一画 研一研 已知，如图1－2所示，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400米到D处(即∠DCB＝30°，CD＝400米)，测得A的仰角为60°，求山的高度AB. 图1－2 画一画 研一研 画一画 研一研 【点悟】 解此题的关键是作出辅助线DF，DE，构造相应的直角三角形． 画一画 研一研 类型之四　解直角三角形的实际应用 把生活中的图形化归为直角三角形来解，同时用方程和函数的观点解决问题尤为重要． 画一画 研一研 图1－3 【解析】 本题实质是解三角形ABC，其中∠CAB＝30°，∠ABC＝120°.过C作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，得Rt△BCD，Rt△ACD，再利用三角函数求解． 画一画 研一研 解： 如图所示，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D点， 画一画 研一研 画一画 研一研 【点悟】 解非直角三角形的一般思路是通过作高，把非直角三形转化为直角三角形，再解直角三角形． 画一画 研一研 1.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图1－4所示)．已知立杆AB高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC的高度． 图1－4 画一画 研一研 画一画 研一研 图1－5 画一画 研一研 (2)已知距台风中心20 km的范围内均会受到台风的侵袭，如果某城市(设为点A)位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？ 【解析】(1)建立平面直角坐标系后即可写出所求点的坐标． 画一画 研一研 画一画 研一研 【点悟】 此题考查解直角三角形在生活中的实际应用，把求非直角三角形的边长转化为解直角三角形，同时体现了建模思想和数形结合的思想． 画一画 研一研 类型之五　解直角三角形与圆的有关知识的综合运用 因为圆的直径所对的圆周角为直角，所以利用锐角三角函数解决圆的有关问题，在各地近几年的中考中经常出现，旨在考查综合能力和解决问题的能力，其重要的思想是转化． 画一画 研一研 图1－6 (1)求弦AB的长； (2)求CD的长； (3)求劣弧AB的长(结果保留三个有效数字，sin 53.13°≈0.8，π≈3.142)． 画一画 研一研 画一画 研一研 画一画 研一研 (3)连结OA，∵sin ∠COD＝＝0.8， 【点悟】 本题考查垂径定理、弧长公式的综合运用，关键是利用圆中的直角三角形． 画一画 研一研 图1－7 画一画 研一研 画一画 研一研 例1　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则边AC的长是 (　 　) A.　　　　　　　B．3 C. D. 【解析】 由sin A＝得＝，∴AB＝3.∵∠C＝90°，∴AC＝＝＝. ①若sin α＝，则斜边为5； ②sin 30°＋sin 60°＝1； ③cos 43°－cos 45°＜0； ④Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，AC＝2， 则tan A＝2. 【解析】 ①sin α是一个比值，分母5不能表示斜边的具体值；②sin 30°＋sin 60°＝＋≠1；③当角度α为锐角时，余弦函数是随角度的增加而减少，应是cos 43°＞cos 45°；④tan A＝＝＝. 2．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sin A＝，则AC＝______. 2 【解析】 ∵sin A＝＝，BC＝4， ∴AB＝6，∴AC＝＝＝2. 例2　 计算：(－1)－2＋2sin 245°－(1－)0. 【解析】 sin 245°＝()2，(－1)－2＝＝1. 解：(－1)－2＋2sin 245°－(1－)0＝1＋2×－1＝1. 【点悟】注意特殊三角函数值的记忆以及a－p＝(a≠0，p为正整数)，a0＝1(a≠0)． 计算：(1)cos 30°＋sin 45°； (2)6tan 230°－sin 60°－2sin 45°. 解：(1)把cos30°＝，sin 45°＝，代入得：原式＝×＋×＝； (2)把tan 30°＝，sin 60°＝，sin 45°＝代入得：原式＝6×－×－2×＝－. 解： 过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于D， ∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°， 在Rt△ACD中，AD＝AC·cos 60°＝2×＝1. CD＝AC·sin 60°＝2×＝， 在Rt△BCD中，BD＝BA＋AD＝3＋1＝4， BC＝＝＝， ∴sin B＝＝＝. 解： 如图所示，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CF＝CD·cos 30°＝400×＝200(米)，DF＝CD·sin 30°＝400×＝200(米)． 在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，设DE＝x 米， ∴AE＝tan 60°·x＝x(米)． 在矩形DEBF中，BE＝DF＝200米． 在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC， 即x＋200＝200＋x，∴x＝200， ∴AB＝(200＋200)米． 例4　某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°，如图1－3所示，试确定生命所在点C的深度．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73) ∵探测线与地面的夹角为30°，60°， ∴∠CAD＝30°，∠CBD＝60°. 解： 在Rt△ABD中，AB＝3，∠ADB＝45°，所以AD＝＝＝＝3. 在Rt△ACD中，AD＝3，∠ADC＝60°，所以AC＝AD·tan ∠ADC＝3×tan 60°＝3×＝3. 所以路况显示牌BC的高度为(3－3)m. 2．气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45°方向的B点生成，测得OB＝100 km.台风中心从点B以40 km/h的速度向正北方向移动，经5 h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30 km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图1－5所示的直角坐标系． (1)台风中心生成点B的坐标为_________________，台风中心转折点C的坐标为______________________ (结果保留根号)； (100，－100) (100，200－100) (2)过点C作CD⊥OA于点D，在Rt△ACD中，由∠ACD＝30°，CD＝100，根据三角函数求出CA的长后，用距离与速度的关系便可以求出台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间． 解：(1)B(100，－100)，C(100，200－100)； (2)过点C作CD⊥OA于点D，如图，则CD＝100. 在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，CD＝100，∴＝cos 30°＝.∴CA＝200. ∵＝6，5＋6＝11， ∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时． 例5　如图1－6所示，CD⊥OD于点D，连结OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin ∠COD＝. 【解析】(1)在Rt△OBE中利用三角函数求解； (2)在Rt△ODC中，由sin ∠COD＝＝， 设CD＝4x，OC＝5x，由勾股定理求出x的值即可求出CD的值； (3)由弧长公式l＝求解． 解：(1)∵CD⊥OD，又AB⊥OD，∴AB＝2BE. 在Rt△OBE中，BE＝OB·sin ∠COD＝10×＝8， ∴AB＝2BE＝2×8＝16. ∴∠DOB≈53.13°， ∴∠AOB＝2×53.13°＝106.26°， ∴的长约为×10≈18.5. 如图1－7所示，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BC＝1，那么sin ∠ABD的值是 _______. 【解析】 ∵∠ABD＝∠ABC， 又AB＝＝＝3， ∴sin ∠ABD＝sin ∠ABC＝＝. $$