第十二章 全等三角形单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

第十二章 全等三角形重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·河南驻马店·期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(   ) A．全等三角形的定义 B．SSS C．ASA D．AAS 5．（22-23八年级上·广东惠州·期末）如图，，，要使，添加条件正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测量得，则工件内槽宽为（　　） A． B． C． D． 7．（2023·河南南阳·二模）作一个三角形与已知三角形全等： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（    ） A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS 8．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 t 秒． ①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项为（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． 若，的面积为18，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．27 10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级下·全国·课前预习）能够完全重合的两个图形叫做 ．如果两个图形全等．它们的形状和大小一定 ． 12．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，若，且，则 ．    13．（22-23八年级上·广东阳江·期中）如图，已知AD＝BC，∠1＝∠2，那么△ABC≌ ． 14．（22-23七年级·全国·假期作业）如图所示，求作一个角等于已知角． 作法：（1）作射线　　； （2）以　 　为圆心，以　 　为半径画弧，交于点，交于点； （3）以　 　为圆心，以　 　为半径画弧，交于点； （4）以点为圆心，以　 　为半径画弧，交前面的弧于点； （5）过　 　作射线．就是所求作的角． 15．（2023·四川广安·二模）如图，点P在内部，于点M，于点N，且．若，则 °． 16．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是 ； 17．（2023·山东淄博·一模）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．    18．（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，则点的运动速度为 ．    三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知．如果，，求的长． 20．（2023·四川乐山·三模）如图，已知：AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，求证：AE＝BF． 21．（22-23八年级下·福建福州·期中）在四边形中，，．请你添加一条线段把它分成两个全等三角形，并给出证明． 22．（22-23八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，，，．求的度数． 23．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，，，直线经过点，且于，于. (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， ①求证：△ADC≌△CEB． ②求证：DE=AD+BE. (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，判断和的关系，并说明理由. 24．（22-23八年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系第一象限中有一点B. 要求：用尺规作图作一条直线AC，使它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC全等. (1)小明的作法是：过B点分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足为A、C,连接A、C,则直线AC即为所求.请你帮助小明在图中完成作图（保留作图痕迹）； 图 （2）请在图中再画出另一条满足条件的直线AC，并说明理由. 图 25．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 26．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·河南驻马店·期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意； B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意； C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意； D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键． 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 4．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(   ) A．全等三角形的定义 B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案． 【详解】解：连接NC，MC， 在△ONC和△OMC中 ∵， ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 5．（22-23八年级上·广东惠州·期末）如图，，，要使，添加条件正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】∵， ∴， 即． ，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故A选项不符合题意； ，，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故B选项符合题意； ，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故C选项不符合题意； ，，，不符合全等三角形的判定定理．不能推出，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，灵活选择判定定理是解题的关键． 6．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测量得，则工件内槽宽为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．（2023·河南南阳·二模）作一个三角形与已知三角形全等： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（    ） A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS 【答案】D 【分析】根据SSS证明三角形全等即可． 【详解】解：根据傻得，A′B′=AB，A′C′=AC； 在△A′B′C′和△ABC中， ， ∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 8．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 t 秒． ①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项为（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，    当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴和不全等 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴与不垂直，故③错误； ④当时， ∴，即， ，即 解得，， 当时， ∴，即， ，即 解得，． ∴若与全等，则或，故④正确． 综上所述，正确的选项为①②④． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． 9．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． 若，的面积为18，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质及三角形面积公式的应用； 作，，根据作图过程可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，再根据的面积为18，求出的长，进而可得结果． 【详解】如图，过点作于点，于点 根据作图过程可知： 是的角平分线 ∵ 故选：D． 10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可． 【详解】解：（1）从作图可知：，， 根据“”可得：， 所以； （2）从操作可得：，，，根据“”得； （3）因为，，，根据“”得， 所以是的平分线； （4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得； 综上分析可知：判定方法不一样的是（4）． 故选：D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级下·全国·课前预习）能够完全重合的两个图形叫做 ．如果两个图形全等．它们的形状和大小一定 ． 【答案】 全等形 相等 【解析】略 12．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，若，且，则 ．    【答案】 【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 13．（22-23八年级上·广东阳江·期中）如图，已知AD＝BC，∠1＝∠2，那么△ABC≌ ． 【答案】△BAD 【分析】根据已知条件，结合两个三角形存在公共边即可证得，可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等时，要特别注意公共边和公共角． 14．（22-23七年级·全国·假期作业）如图所示，求作一个角等于已知角． 作法：（1）作射线　　； （2）以　 　为圆心，以　 　为半径画弧，交于点，交于点； （3）以　 　为圆心，以　 　为半径画弧，交于点； （4）以点为圆心，以　 　为半径画弧，交前面的弧于点； （5）过　 　作射线．就是所求作的角． 【答案】（1）；（2），任意长；（3），的长（或的长）；（4）；（5）点． 【分析】用三边对应相等的两个三角全等作一个角等于已知角即可；作射线；以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点构造△OCD；以点为圆心，以的长（或的长）为半径画弧，交于点，OD=OD′；以点为圆心，以的长为半径画弧，交前面的弧于点，C′D′=CD；过点作射线，OC′=OC；△OCD≌△O′C′D′（SSS），则∠COD=∠C′O′D′；则就是所求作的角． 【详解】解：作法如下： （1）作射线； （2）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点； （3）以点为圆心，以的长（或的长）为半径画弧，交于点； （4）以点为圆心，以的长为半径画弧，交前面的弧于点； （5）过点作射线， 则就是所求作的角． 故答案为：（1），（2）O，任意长，（3），的长（或OD的长），（4），（5）点． 【点睛】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，掌握尺规作图作一个角等于已知角的步骤与理论依据是解题关键． 15．（2023·四川广安·二模）如图，点P在内部，于点M，于点N，且．若，则 °． 【答案】40 【分析】根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；再由全等的性质即可解答； 【详解】解：Rt△OPM中，∠OPM=70°，则∠POM=20°， Rt△OPM和Rt△OPN中：OP=OP，PM=PN， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠POM=∠PON=20°， ∴∠AOB=40°， 故答案为：40； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，掌握全等的判定和性质是解题关键． 16．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是 ； 【答案】 SAS HL 【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ． 由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ． 【详解】小刘同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理； 小赵同学画了后，再截取BC,AC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL定理． 故答案为：①SAS；②HL． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键． 17．（2023·山东淄博·一模）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．    【答案】； 【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算． 【详解】    如图：延长至使，连接 在和中： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ 【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键． 18．（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，则点的运动速度为 ．    【答案】 【分析】根据题意分两种情况讨论，然后根据全等三角形对应边相等分别列出方程求解即可． 【详解】设点的运动速度为， 则，，， ∵， ∴当，时， ∵， ∴根据“”判断， 即，， 解得：，（此时CF=9不符合题意）； 当，时， ∵， ∴根据“”判断， 即，， 解得：，， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质，几何动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论，分别根据全等三角形的性质列出方程求解． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知．如果，，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，再由已知条件，利用，即可求得的长，解题关键是掌握全等三角形的性质． 【详解】解：， ， 又， ， ． 20．（2023·四川乐山·三模）如图，已知：AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，求证：AE＝BF． 【答案】见解析 【分析】证明△ADE≌△BCF（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BF． 【详解】证明：∵AC＝BD， ∴AC+CD＝DB+CD， 即AD＝BC， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE≌△BCF是解题的关键． 21．（22-23八年级下·福建福州·期中）在四边形中，，．请你添加一条线段把它分成两个全等三角形，并给出证明． 【答案】见解析 【分析】连接AC，根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】解： 连接，则，证明如下： 在与中， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用，关键是推出证两三角形全等的三个条件，题目比较典型， 难度不大． 22．（22-23八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，，，．求的度数． 【答案】90° 【分析】 先证，，再由全等三角形的性质，可得，最后用等量代换求得 【详解】 解：∵，， ∴，     在和中 ∵， ∴，     ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定，全等三角形的性质，灵活运用以上知识是解题的关键． 23．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，，，直线经过点，且于，于. (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， ①求证：△ADC≌△CEB． ②求证：DE=AD+BE. (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，判断和的关系，并说明理由. 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）△ADC≌△CEB；理由见解析 【分析】（1）①要证△ADC≌△CEB，已知一直角∠ADC=∠CEB=90°和一边AC=CB对应相等，由题意根据同角的余角相等，可得另一内角∠ECB=∠DAC，再由AAS即可判定； ②由①得出AD=CE，BE=CD，而DE=CD+CE，故DE=AD+BE； （2）同理，根据上一小题的解题思路，易得△ADC≌△CEB. 【详解】（1）①∵∠ACB=90° ∴∠DCA+∠ECB=90° 又∵AD⊥MN ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠ECB=∠DAC 又∵AD⊥MN，BE⊥MN ∴∠ADC=∠CEB=90° 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS） ②∵△ADC≌△CEB ∴AD=CE，BE=CD 又∵DE=CD+CE ∴DE=AD+BE （2）△ADC≌△CEB； ∵∠ACB=90° ∴∠DCA+∠ECB=90° 又∵AD⊥MN ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠ECB=∠DAC 又∵AD⊥MN，BE⊥MN ∴∠ADC=∠CEB=90° 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS） 【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题. 24．（22-23八年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系第一象限中有一点B. 要求：用尺规作图作一条直线AC，使它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC全等. (1)小明的作法是：过B点分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足为A、C,连接A、C,则直线AC即为所求.请你帮助小明在图中完成作图（保留作图痕迹）； 图 （2）请在图中再画出另一条满足条件的直线AC，并说明理由. 图 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）根据题干要求尺规作图即可. （2）利用三角形全等的性质，作OB的垂直平分线即可解答. 【详解】解：（1） (2) 如图所示，直线AC即为所求 由作图知：直线AC是线段OB的垂直平分线， ∴CO=CB,AO=AB 又∵ AC=AC,   ∴△COA≌△CBA (SSS) ∴ ∠CBA=∠COA=90° 【点睛】本题为考查尺规作图与三角形全等的综合题，难度较小，熟练掌握三角形全等的性质和判定是解题关键. 25．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 【答案】(1)图见解析； (2)（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． （1）按照题目中的已知作法作图即可； （2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：连接、 在和中 （三边对应相等的两个三角形全等）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （）（角平分线上的点到角两边的距离相等）（填推理的依据）． 故答案为：（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等． 26．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解； 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3），理由如下： 过点作于，如图： 由（2）得：，，， ， ，， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$