精品解析：2023年内蒙古对口升学高考数学试题

2023年内蒙古自治区高等职业院校 对口招收中等职业学校毕业生单独考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共4页，满分150分． 2．作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案） 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在定义域上是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，若在区间上最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 6. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列中，，是等比数列，且，则值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 8. 已知的顶点B，C在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上．若的周长为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线经过点，，经过点，，若直线，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2或7 D. 0或5 10. 已知a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 11. 某省实验中学为预防流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有4个检查项目，需要安排在4间空教室进行检查．学校现有一排7间空教室供选择使用，但为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方案． A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 12. 已知点，F是抛物线的焦点，M是抛物线上的点，当的值最小时，点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案写在答题卡指定位置上） 13. 若函数的定义域是，则函数的定义域是________． 14. 在中，，则______. 15. 其学校五年级共有n个班，甲、乙两个人从外地转到该校五年级，学校让他们各自随机选择班级，若他们刚好选在同一个班级的概率为，则________． 16. 已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 17. 已知，为双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且P到，的距离之差为4，则双曲线的标准方程为________． 18. 已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_____ . 三、解答题（本大题共6小题，共60分．将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A大小； （2）若，，求的面积． 20. 平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 21. 已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 22. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别是BD，PB的中点. 求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PCD. 23. 对于函数，若存在，使成立，则称点为函数不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 24. 已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． （1）求圆C的标准方程； （2）求经过点且与圆C相切的直线l的方程； （3）已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年内蒙古自治区高等职业院校 对口招收中等职业学校毕业生单独考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共4页，满分150分． 2．作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案） 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个集合的范围，再根据交并补的混合运算计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以或， 所以 故选：C. 2. 已知函数在定义域上奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质分析，进而根据题意计算即可. 【详解】因为函数在定义域R上是奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：B. 3. 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与幂函数单调性，结合特值依次判断即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，即，， 因为，， 所以，即. 所以. 故选：D 4. 设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，所以在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 又因为最大值与最小值之差为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 5. 在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】用数量积定义计算即可得解. 【详解】因为在中，，， 所以. 故选：A 6. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程有两个相等的实数根求解判别式，再由与的关系求解即可. 【详解】因为方程有两个相等的实数根， 所以有， 即，所以有， 因为，所以， 所以，即， ， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 7. 等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列以及等比数列的上下标的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得， 代入可得， 解得或，从而或， 因为等比数列的各项不能为0， 所以舍， 则. 故选：B. 8. 已知的顶点B，C在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上．若的周长为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求得，再利用离心率的定义即可得解. 【详解】 如图所示：的周长为，所以， 又因为顶点是椭圆的一个焦点，所以， 所以. 故选：A. 9. 已知直线经过点，，经过点，，若直线，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2或7 D. 0或5 【答案】D 【解析】 【分析】当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解，若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0，求解两种情况即可. 【详解】由题意知的斜率一定存在， 的斜率可能不存在，当的斜率不存在时，点横坐标相同，即，即， 此时，则，满足题意. 当的斜率存在时，，由斜率公式得： ，， 由，知， 即，得到,解得. 综上所述，a的值为0或5. 故选：D. 10. 已知a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、线面垂直的性质可证. 【详解】已知a、b、c表示三条不同的直线，β表示平面， 若，，则，根据平行线的传递性可证，故①正确， 若，，则a与c相交、平行或异面，故②不正确； 若，，则a与b相交、平行或异面，故③不正确， 若，，根据线面垂直的性质可证，故④正确. 故选：C 11. 某省实验中学为预防流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有4个检查项目，需要安排在4间空教室进行检查．学校现有一排7间的空教室供选择使用，但为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方案． A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由插空法求解即可. 【详解】由题意可知，有三个空教室不需要安排检查项目， 则可以看成三个空教室会产生四个空位， 则将四个检查项目安排在四个空位全排列即可，即有种安排方案. 故选：C. 12. 已知点，F是抛物线的焦点，M是抛物线上的点，当的值最小时，点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解. 【详解】经检验点在抛物线内部， 所以等于M到准线的距离 所以当M在A到准线的垂线上时，为最小值. 即时，M为. 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案写在答题卡指定位置上） 13. 若函数定义域是，则函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的定义域，再代入由指数函数的单调性求解不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， 解得， 则函数的定义域. 故答案为：. 14. 在中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 15. 其学校五年级共有n个班，甲、乙两个人从外地转到该校五年级，学校让他们各自随机选择班级，若他们刚好选在同一个班级的概率为，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】两人随机选择班级就读的选法共有（种）， 两人恰好选择同一班级的选法有种， 则两人恰好选择同一班级的概率是． 所以. 故答案为：6 16. 已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 【答案】16 【解析】 【分析】利用二项式系数的增减性，与二展展开式中项的系数即可得解. 【详解】因为， 所以二项式系数的最大值为，则， 含项为，则， 所以. 故答案为：16 17. 已知，为双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且P到，的距离之差为4，则双曲线的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义直接求解. 【详解】∵双曲线焦点在y轴上， ， 又因为点P到两焦点的距离之差为4， 所以， 所以 ∴所求双曲线的标准方程为. 故答案为： 18. 已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_____ . 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期，最值性质求解即可. 【详解】不妨设函数解析式为：，. 由图可知，该函数最小正周期为， 即，解得， 且该函数值域为，则， 当时，，则有， 则，即. 则函数解析式为：. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分．将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【小问1详解】 因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 20. 平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先由向量的坐标运算表示出，再联立向量垂直和相等向量求解t的值即可. （2）设出的坐标，由向量的线性坐标运算和共线向量坐标运算，以及模长公式联立求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为， 解得，. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 设， ，， 因为， 所以， 所以， 所以①， 又因为，且， 所以②， 将①代入②中有，，可解或， ，或. 则或. 21. 已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）根据等比数列的通项公式和前n项和公式可求出，再由对数的运算性质求出，从而利用等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为成等比，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 有数列的公比，因此， 由等比数列的前n项和公式有，故， 又， 因此为等差数列，所以由等差数列前n项和公式有. 22. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别是BD，PB的中点. 求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PCD. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质，由线线平行证明线面平行即可. （2）先由面面垂直证明线面垂直，再由线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为E，F分别是BD，PB的中点， 所以， 因为平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD. 【小问2详解】 因为底面ABCD为矩形，， 平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面， 因为平面PCD，所以， 又因为，，平面PAB， 所以平面PAB， 因为平面PCD，所以平面平面PCD. 23. 对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不定点的定义，将两个定点代入函数即可求解 （2）根据两个相异的不动点转换成，由此构造成不等式，结合函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意， 即， 解得． 所以，. 【小问2详解】 函数总有两个相异的不动点， 即关于x的方程有两个不等根， 化简得到， 所以，即， 由题意，关于b的不等式恒成立，所以． 解得：． 24. 已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． （1）求圆C的标准方程； （2）求经过点且与圆C相切的直线l的方程； （3）已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小，即可求出圆心C的坐标和半径r，故可得出圆C的标准方程. （2）分两种情况进行讨论:直线l的斜率不存在以及直线l的斜率存在，由圆心到直线的距离即可求解斜率. （3）易知点O，M，圆心C都在y轴上，以及OM的长，所以可判断出当轴时，的面积取得最大值，故可求出答案. 【小问1详解】 当AB为圆C直径时，圆C的周长最小， 所以圆心C的坐标为，即， 半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时:， 与圆C相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设:，即. 由题意得圆心到直线距离为，，即， 解得. 所以， 综上，直线l的方程为或. 【小问3详解】 由题意知， 点O，M，圆心C都在y轴上，点P是圆C上的动点，所以当轴时， 的面积取得最大值，此时. 故，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$