精品解析：江苏省南京市秦淮区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024 学年度第二学期第二阶段学业质量监测试卷 八年级数学 注意事项： 本试卷共6页.全卷满分 100分.考试时间为100分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效. 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2024年南京市有67011名初中毕业生参加升学考试，为了了解这67011 名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ） A. 67011名考生 B. 抽取的2000名考生 C. 67011名考生的数学成绩 D. 抽取的2000名考生的数学成绩 2. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（ ） A AB=AD B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BAC=∠ABD D. AC⊥BD 6. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到_____球的可能性最大（填球的颜色）． 8. 计算:=_________. 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 10. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表： 每批粒数 50 100 300 400 600 1000 发芽的频数 45 96 283 380 571 948 这种油菜籽发芽的概率约是_____________．（结果精确到0.01） 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是__． 12. 如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点___________． 13. 当m=____时，关于x的分式方程无解． 14. 对于函数，当时，取值范围是_________． 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形如此摆放，点A的坐标为，点B 的坐标为，点D在反比例函数上；将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点 C恰好落在该函数图象上，则m的值___________． 三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解分式方程:（1） （2） 19. 我们都知道，数学来源于生活，生活中处处有数学．例如：现有a克糖水，其中含有b克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）是，生活经验告诉我们，在糖水中加水，糖水会变淡．请运用所学知识证明这一道理． 20. 某校开设街舞、唱歌、吉他三项延时活动课程，随机抽取了部分学生对这三项活动课程的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题． （1）本次抽样调查的样本容量是__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢吉他的人数． 21. （1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD矩形； （2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 22. 已知，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线、上，求作； （2）如图②，点是内一点，求作线段，使P、Q分别在射线、上，且点O是的中点． 23. 某中学组织学生去离学校15千米的农场，先遣队比大队提前20分钟出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5小时，先遣队和大队的速度各是多少？ 24. 图①、图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图①，点P、M在小正方形的顶点上，在图①中作出点P关于点M的对称点Q，连接、、、，则四边形的周长为 ； （2）在图②中画出一个以线段为对角线，面积为6的矩形，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 25. 平行的思考． 【作平行】 （1）如图①，过P作．（限用圆规和没有刻度直尺，保留作图痕迹，不必写出作法和理由）． 【折平行】 现有一张长方形纸片，小明和小丽分别折平行线． 小明：如图②，折出，展平后再折叠纸片，使点A、C分别落在所在直线上的点、处，展平纸片，得到折痕、． 小丽：如图③， 将边折至处， 再将边折至处， 使得和在一条直线上，展平纸片，得到折痕、． 证平行】 （2）小明发现，小丽发现，请你选择其中一个发现进行证明． 26. 对于两个不同的函数，通过减法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“差函数”．例如：对于函数和，则函数，的“差函数”记为． （1）已知函数和，若将这两个函数的“差函数”记为； ①写出的表达式， ； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是 ； A． B． C． D． （2）已知函数：和，若将这两个函数的“差函数”为，判断下列关于“差函数”，描述的正确性，并对正确的描述进行证明： A. 的图象与x轴没有公共点； B. 的图象关于对称； C. 当时，随x的值增大而减小； D. 当时，随着x的值增大，的图象越来越接近的图象， 上述描述正确的为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024 学年度第二学期第二阶段学业质量监测试卷 八年级数学 注意事项： 本试卷共6页.全卷满分 100分.考试时间为100分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效. 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2024年南京市有67011名初中毕业生参加升学考试，为了了解这67011 名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ） A. 67011名考生 B. 抽取的2000名考生 C. 67011名考生的数学成绩 D. 抽取的2000名考生的数学成绩 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考查对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本进行解答即可． 【详解】从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计， ∴在这个问题中样本是抽取2000名考生的数学成绩． 故选：D． 2. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键． 直接得出，进而得出最接近的整数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与无理数最接近的整数是4． 故选：B． 3. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的约分化简，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项化简错误，不符合题意； B、，选项化简错误，不符合题意； C、，选项化简错误，不符合题意； D、，选项化简正确，符合题意； 故选D． 4. 点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的增减性和图象的中心对称性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意； B、值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意； C、反比例函数是中心对称图形，若，则，正确，符合题意； D、若则有，即，选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（ ） A. AB=AD B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BAC=∠ABD D. AC⊥BD 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】由邻边相等的平行四边形是菱形，A选项可以判断这个平行四边形是菱形 由AB//CD可得∠BAC=∠DCA，及∠BAC=∠DAC可得∠DAC=∠DCA，可得AD=CD，由邻边相等的平行四边形是菱形，B选项可以判断这个平行四边形是菱形 由∠BAC=∠ABD可得OA=OB，则AC=BD，可得这个四边形是矩形，C选项不可以判断这个平行四边形是菱形 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，D选项可以判断这个平行四边形是菱形 故答案选：C 【点睛】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键. 6. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 【答案】B 【解析】 【详解】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误, 故选B. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到_____球的可能性最大（填球的颜色）． 【答案】红 【解析】 【分析】哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可． 【详解】解：因为红球数量最多，所以摸到红球的可能性最大 故答案为：红． 【点睛】考查了可能性大小知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大． 8. 计算:=_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，先计算乘法，最后合并同类二次根式即可． 【详解】原式=2-= 故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，，解不等式即可． 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表： 每批粒数 50 100 300 400 600 1000 发芽的频数 45 96 283 380 571 948 这种油菜籽发芽的概率约是_____________．（结果精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意及频率估计概率可直接进行求解． 【详解】解：由表格得： 当每批粒数为50时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为100时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为300时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为400时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为500时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为1000时，则种子发芽的频率为； ∴该植物种子发芽的概率的估计值是； 故答案为∶ 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，则四边形是矩形，得到，勾股定理得到，则，得到，在中，由勾股定理得到，求出，则，即可得到点B的坐标． 【详解】解：过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F， ∵点A的坐标是 ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∵顶点B在第一象限的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（不合题意舍去） ∴， ∴， ∴点 B的坐标为， 故答案为： 12. 如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点___________． 【答案】H 【解析】 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键． 根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，进而求解即可． 【详解】根据网格结构作、的垂直平分线，交点为H，所以旋转中心一定是H点． 故答案为：H． 13. 当m=____时，关于x的分式方程无解． 【答案】-6 【解析】 【详解】把原方程去分母得，2x+m=-(x-3)①，把x=3代入方程①得，m=-6，故答案为-6. 14. 对于函数，当时，的取值范围是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】令，得出，根据比函数的性质得反比例函数的图象在第一、三象限内，在每一象限内随着x的增大，函数值逐渐减小，即可求解． 【详解】解：由函数， 令，得出， ∵反比例函数，经过一、三象限， ∴当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，，得到，，根据平行四边形的性质得到，推出四边形与四边形都是平行四边形，推出，，根据角平分线的定义得到，，推出，得到，推出，根据，推出，推出，得到，根据勾股定理得到． 【详解】过点E作，， 则，， ∵中， ， ∴四边形与四边形都是平行四边形， ∴，， ∵BE平分，CF平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，角平分线，等腰三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握平行四边形性质和判定，角平分线定义，等角对等边，勾股定理解直角三角形． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形如此摆放，点A的坐标为，点B 的坐标为，点D在反比例函数上；将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点 C恰好落在该函数图象上，则m的值___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 作轴于E，轴于F，如图，先证明得到，，则，用同样方法可得，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，再计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后确定平移的距离． 【详解】作轴于E，轴于F，如图， ∵四边形为正方形， ， ， 而， ， 在和中 ， ， ， ， 同理可得， ， ， ∵点在反比例函数图象上， ，即反比例函数解析式是， 点的纵坐标为3， 而时，则，解得， ∴点平移到点时恰好落在该函数图象上， 即点向右平移1个单位， ． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法，同分母分式的加减运算． （1）化简二次根式，计算二次根式的乘法； （2）根据同分母分式的加减运算法则求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 解分式方程:（1） （2） 【答案】（1）x=-3;（2）无解； 【解析】 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】(1)去分母得：3x−3=6x+6， 移项合并得：3x=−9， 解得：x=−3， 经检验x=−3是分式方程的解； (2)去分母得：1−x=−1−2x+4， 移项合并得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解. 【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则. 19. 我们都知道，数学来源于生活，生活中处处有数学．例如：现有a克糖水，其中含有b克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）是，生活经验告诉我们，在糖水中加水，糖水会变淡．请运用所学知识证明这一道理． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本运算，解题的关键用作差法比较分式大小． 根据加水后浓度下降即得到糖水加水后会变淡． 【详解】设加入克水，糖水的浓度为， ∵， ∴ ∴加入水后，糖水的浓度变小， ∴在糖水中加水，糖水会变淡． 20. 某校开设街舞、唱歌、吉他三项延时活动课程，随机抽取了部分学生对这三项活动课程的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题． （1）本次抽样调查的样本容量是__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢吉他的人数． 【答案】（1）100 （2）见解析 （3）360 【解析】 【分析】（1）结合扇形统计图和条形统计图中选择街舞的人数和百分比即可求得女生总人数，再由条形统计图得出男生总人数，即可求得本次抽样调查的样本容量； （2）由（1）计算出的女生总人数求出选择唱歌的女生人数，即可补全统计图； （3）用全校人数乘以抽查中的学生选择吉他的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：由图可得，女生总人数为：（人）， 男生总人数为：（人）， 本次调查的总人数为（人）， 即样本容量为100， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：选择唱歌的女生人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 （人）， ∴全校学生中喜欢吉他的人数约为360人． 【点睛】本题考查了样本容量、条形统计图和扇形统计图的信息关联以及样本估计总体，找到图中的有用信息是解题的关键． 21. （1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB得AD＝CB，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个是直角的平行四边形是矩形可得结论； （2）分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，证明△ABE≌△CDF，进而证明四边形EBFD是矩形，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，连接BD， ∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中， AB＝CD，BD＝DB， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）． ∴AD＝CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． （2）如图②，分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CFD＝90°，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF，AE＝CF， 由（1）可得四边形EBFD是矩形， ∴ED＝BF， ∴AD＝BC， ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行四边形的判定，熟练运用矩形的判定和平行四边形的判定是解答此题的关键． 22. 已知，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线、上，求作； （2）如图②，点是内一点，求作线段，使P、Q分别在射线、上，且点O是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质． （1）分别以、点为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件； （2）连接，以点O为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，再作，交于，连接并延长交于，则满足条件． 【小问1详解】 解：如图①，平行四边形为所作； ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 图②，为所作． ∵，，， ∴， ∴，即点是的中点． 23. 某中学组织学生去离学校15千米的农场，先遣队比大队提前20分钟出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5小时，先遣队和大队的速度各是多少？ 【答案】大队的速度为，先遣队的速度是． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键． 设大队的速度为，则先遣队的速度为，根据先遣队比大队提前20分钟出发，先遣队比大队早到列出分式方程求解即可． 【详解】解：设大队的速度为，则先遣队的速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， 答：大队的速度为，先遣队的速度是． 24. 图①、图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图①，点P、M在小正方形的顶点上，在图①中作出点P关于点M的对称点Q，连接、、、，则四边形的周长为 ； （2）在图②中画出一个以线段为对角线，面积为6的矩形，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称变换以及矩形的性质、勾股定理等知识，正确掌握中心对称变换的性质是解题关键． （1）根据中心对称的 可得到点P关于M的对称点，再利用勾股定理可得到周长； （2）利用网格结合矩形的性质以及勾股定理可画出矩形． 【小问1详解】 如图所示：点Q即为所求， 它的周长为：； 【小问2详解】 如图2所示：四边形ABCD即为所求． 25. 平行的思考． 【作平行】 （1）如图①，过P作．（限用圆规和没有刻度的直尺，保留作图痕迹，不必写出作法和理由）． 【折平行】 现有一张长方形纸片，小明和小丽分别折平行线． 小明：如图②，折出，展平后再折叠纸片，使点A、C分别落在所在直线上的点、处，展平纸片，得到折痕、． 小丽：如图③， 将边折至处， 再将边折至处， 使得和在一条直线上，展平纸片，得到折痕、． 【证平行】 （2）小明发现，小丽发现，请你选择其中一个发现进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）作直线，利用尺规作，直线即为所求． （2）利用平行线的性质来证明即可． 【详解】（1）如图所示，直线即为所求． （2）小明：∵ ∴ 由折叠可得，， ∴ ∴； 小丽：如图，设， ∵将边折至处，再将边折至处， ∴，，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，平行线的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26. 对于两个不同函数，通过减法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“差函数”．例如：对于函数和，则函数，的“差函数”记为． （1）已知函数和，若将这两个函数的“差函数”记为； ①写出的表达式， ； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是 ； A． B． C． D． （2）已知函数：和，若将这两个函数的“差函数”为，判断下列关于“差函数”，描述的正确性，并对正确的描述进行证明： A. 的图象与x轴没有公共点； B. 的图象关于对称； C. 当时，随x的值增大而减小； D. 当时，随着x值增大，的图象越来越接近的图象， 上述描述正确的为 ． 【答案】（1）①；②D （2）BD 【解析】 【分析】本题考查新定义问题，函数的图象性质，正确理解题意是解题关键． （1）①根据差函数的概念求解即可； ②根据题意判断出的增减性，然后求出与x轴的交点坐标，进而求解即可； （2）根据函数图象逐项求解即可． 【小问1详解】 解：①； ②∵， ∵当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小 ∴随x的增大而增大， 同理可得，当时，随x的增大而增大， ∵当时，， ∴， ∴综上所述，的大致图象是D． 故选：D； 【小问2详解】 ∵，， ∴， A．当时，， ∴的图象与x轴有公共点，故错误； B．任选上的一点，， 点P关于点的对称点， 代入得，成立， ∴点在上， ∴的图象关于对称，故正确； C．画出函数图象如图， 由图象可得，当时，随x的值增大而增大，故错误； D．，随着x的增大，趋近于0，即和的图象越接近，故正确． 故选：BD． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$