精品解析：上海市上海交通大学附属中学嘉定分校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

高一数学期末考试试卷 （本试卷共4页，满分150分，90分钟完成.答案一律写在答题纸上） 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意设圆的方程为，代入原点坐标求出，即可得解. 【详解】设圆的半径为，则圆的方程为， 又圆过点，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 2. 在复数范围内方程的解为________. 【答案】， 【解析】 【分析】配方可得，解得即可. 【详解】方程，即， 解得，. 故答案为：， 3. 若等差数列的前三项依次为，，，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项的性质计算可得. 【详解】因为，，为等差数列的前三项， 所以，解得. 故答案为： 4. 若数列的前项和，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由与之间的关系，代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得，. 故答案为： 5. 已知，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量夹角公式代入计算，即可求解. 【详解】因为，， 则，又， 所以. 故答案为： 6. 已知，，则在方向上的投影的坐标为____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影的坐标为. 故答案为： 7. 直线与的夹角为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，由两角差的正切公式可求出两直线的夹角. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则所以则两直线的夹角为， . 因为直线夹角的取值范围为，所以. 故答案为： 8. 将无限循环小数化为分数：______. 【答案】 【解析】 【分析】将设为，考虑即为，两式相减构造方程即可求解出的值，即可得到对应的最简分数. 【详解】设，则， 由，可知，解得. 故答案为：. 9. 已知外接圆的半径为，圆心为，且，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得为的中点，从而得到是以为斜边的直角三角形，再由求出，最后根据数量积的定义计算可得. 【详解】如图所示： 因为，所以为的中点，又为的外接圆的圆心， 所以是以为斜边的直角三角形， 又因为，所以，， 又外接圆的半径为， 所以，则， 所以. 故答案为： 10. 计算：_____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先分析余弦型函数的周期性与对称性，结合函数的周期性、对称性计算可得. 【详解】因为函数的最小正周期， 令，解得，所以函数关于对称， 即，，，， ，，，， ，， 所以， 又， 所以. 故答案为： 11. 当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为_________米（结果精确到0.1米）. 【答案】 【解析】 【分析】延长与直角过道的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解. 【详解】依题意设，，延长与直角过道的边相交于、，则， 所以，，， 又， 则，． 设， 因为，所以，所以， 则 ， 再令，， 则， 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 故当，即，时，取得最小值， 由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的家具的高度的最大值为米． 故答案为： 12. 已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为_____________.（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息，确定集合表示的平面区域，再结合三角形面积求解即得. 【详解】由，得点在线段的垂直平分线分平面含点一侧的区域， 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 照此进行，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 集合表示的平面区域是正边形及内部，其内切圆半径为， 显然，，， 所以集合表示的平面区域的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设信息，确定集合表示的平面区域对应的图形是求解本题的关键. 二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 已知复数满足，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为. 故选：A 14. 在同一平面直角坐标系内，将所有可以用两点式方程表示的直线组成的集合记为；将所有可以用点斜式方程表示的直线组成的集合记为；将所有可以用点法式方程表示的直线组成的集合记为.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在不同表现形式直线方程限制条件，找到集合间的关系. 【详解】直线的两点式方程不包括垂直于坐标轴的直线； 直线的点斜式方程不包括垂直于轴的直线； 直线的点法式方程可以表示平面内的所有直线， 所以. 故选：C. 15. 已知向量满足，且，则、、中最小的值是（ ） A. B. C. D. 不能确定的 【答案】B 【解析】 【分析】可在的两边分别乘，，可得出，，，再根据，即可判断. 【详解】解：∵， ∴，，. ∴，，. ∵， ∴，. ∴， ∴． 故选：B． 16. 若无穷数列满足：，当，时，（其中表示，，，中的最大项），有以下结论： ①若数列是常数列，则； ②若数列是等差数列，则公差； ③若数列是等比数列，则公比； ④若存在正整数，对任意，，都有，则是数列的最大项. 则其中的正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给定义得到，即可判断①；结合等差数列的定义推导出有最大值，则不可能递增，即可判断②；求出公比，即可判断③；结合周期数列及所给定义判断④. 【详解】对于①：若数列是常数列，则，所以（），故①正确； ②若数列是等差数列，则，所以有最大值，因此不可能递增，所以，故②错误； ③若数列是公比为的等比数列，则，且， 所以，所以或，又因为，所以，所以，故③正确； ④若存在正整数，对任意，，都有， 假设在中最大，则中都是最大，则且， 即，所以，所以是数列的最大项，故④正确. 所以正确的有①③④，共个. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，再结合等差、等比数列的通项公式一一判断. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）0或2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解； （2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证. 【小问1详解】 若，则 ，解得或2； 【小问2详解】 若，则 ，解得或1. 时，，满足， 时，，此时与重合， 所以. 18. 已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. （1）求数列的通项公式： （2）若是数列的前项和，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式； （2）由裂项相消法求和即可得，根据数列单调性可求得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意， 即，解得， 所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由， 因为，即， 所以为严格增数列， 所以时，有最小值. 19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量. （1）计算的值， （2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知 ①求的值； ②求的面积： 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）直接根据数量积定义求解； （2）①根据数量积定义求的值；②求出各边长，再求其面积. 【小问1详解】 同理， 所以. 【小问2详解】 ①， ， 所以 ②， 同理， ， ， 等腰三角形中，可计算得边上的高为， 所以的面积为. 四、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤） 20. 已知复数，其中为虚数单位， （1）若，求实数的值； （2）求的最小值，并指出取到最小值时实数的值. 【答案】（1） （2）最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）化简得到，求出； （2），从而得到时，取得最小值，最小值为. 【小问1详解】 ，， 解得， 经检验，满足要求； 【小问2详解】 ， 当时，取得最小值，最小值为， 故最小值为，此时. 21. 已知函数，其中，（，） （1）若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 （2）若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 （3）若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【答案】（1）答案见详解 （2）；， （3） 【解析】 分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表； （2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间； （3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解. 【小问1详解】 若，，则，，五点法列表如下： 0 0 1 0 0 【小问2详解】 若，，则，所以最小正周期， 由的单调性可知，，即， 所以的单调增区间为，. 【小问3详解】 由题意可得的周期，则， 所以，又恒成立， 所以，即，即， 又，所以， 所以. 22. 如图，某地有三家工厂分别位于矩形的两个顶点及的中点处.，.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（不含边界）且与等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道.记排污管道的总长度为. （1）设，将表示成的函数并求其定义域； （2）确定污水处理厂的位置，使排污管道的总长度最短，并求出此时的值. 【答案】（1），定义域为 （2）点位于线段中垂线上,且距离边处.. 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中,利用,可以求得,从而可得,然后可得,并求出定义域. （2）结合两点斜率公式，利用数形结合方法可求得函数的最值. 【小问1详解】 如图所示，过作的延长线交于点, 根据题意当点重合时，最小； 当点重合时，最大，在中，； 当点，不重合时，在中 所以 函数的定义域为 【小问2详解】 法一： 因为可看作点和点的连线的斜率， 由单位圆知，当，所以，所以. 此时点位于线段的中垂线上,且距离边处. 所以三条排污管管道总长最短为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学期末考试试卷 （本试卷共4页，满分150分，90分钟完成.答案一律写在答题纸上） 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为___________. 2. 在复数范围内方程的解为________. 3. 若等差数列的前三项依次为，，，则实数的值为______. 4. 若数列的前项和，则_____. 5. 已知，，则__________. 6. 已知，，则在方向上的投影的坐标为____. 7. 直线与的夹角为_____________. 8. 将无限循环小数化为分数：______. 9. 已知外接圆的半径为，圆心为，且，，则_______. 10 计算：_____________. 11. 当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为_________米（结果精确到0.1米）. 12. 已知是大于3正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为_____________.（结果用表示） 二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 已知复数满足，取值范围为（ ） A. B. C. D. 14. 在同一平面直角坐标系内，将所有可以用两点式方程表示的直线组成的集合记为；将所有可以用点斜式方程表示的直线组成的集合记为；将所有可以用点法式方程表示的直线组成的集合记为.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知向量满足，且，则、、中最小的值是（ ） A. B. C. D. 不能确定的 16. 若无穷数列满足：，当，时，（其中表示，，，中的最大项），有以下结论： ①若数列是常数列，则； ②若数列是等差数列，则公差； ③若数列是等比数列，则公比； ④若存在正整数，对任意，，都有，则是数列的最大项. 则其中的正确结论的个数是（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 18. 已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. （1）求数列的通项公式： （2）若是数列的前项和，求的最小值. 19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量. （1）计算的值， （2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知 ①求的值； ②求的面积： 四、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤） 20. 已知复数，其中为虚数单位， （1）若，求实数的值； （2）求的最小值，并指出取到最小值时实数的值. 21. 已知函数，其中，（，） （1）若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 （2）若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 （3）若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 22. 如图，某地有三家工厂分别位于矩形的两个顶点及的中点处.，.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（不含边界）且与等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道.记排污管道的总长度为. （1）设，将表示成的函数并求其定义域； （2）确定污水处理厂位置，使排污管道的总长度最短，并求出此时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$