3.2.1.2 函数的最大（小）值课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1.2函数的最大(小)值 安徽淮南第四中学 2024.6 新课程标准 核心素养 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义． 数学抽象 2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值． 数学运算 3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题． 数据分析 4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题． 数学建模 5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法． 数据分析 情 境 导 入 　　科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线. x y o 6 24 12 10 15 20 25 5 18 17 -5 问题　(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少? (2)设该天某时刻的气温为f(x),则f(x)在哪个范围内变化? (3)从函数图象上看,气温的最大值(最小值)在什么时刻取得?  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  知识点 ：函数的最大(小)值 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤ M; (2)存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数 y=f(x) 的最大值 2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥ M; (2)存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值 提醒 (1)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y＝x,x∈R; (2)一个函数至多有一个最大(小)值; (3)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性; (4)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)成立,那么M不一定是 函数f(x)的最大(小)值,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)＝M时,M才是函数的最大(小)值,否则不是.比如f(x)＝-x2≤3成立,但3不是f(x)的最大值,0才是它的最大值. 题型一 利用函数的图像求函数的最值(值域) 例1.已知函数f(x)＝ 求f(x)的最大值、最小值. 解 作出函数f(x)的图象,如图. x y o 1 -1 1 由图象可知,当x＝±1时,f(x)取最大值为f(1)＝f(-1)＝1. 当x＝0时,f(x)取最小值为f(0)＝0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0. x y o 1 -1 2 f(x)取最大值为f(2)＝-1.最小值为f(1)＝-2 题型二 利用单调性求函数的最值(值域) 例2：已知函数f(x)= (1)用定义证明f(x)在区间[1,＋∞)上单调递增; (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值. ∀x1,x2∈[1,＋∞),且x1＜x2,则 ∵1≤x1＜x2,∴x1-x2＜0,(x1＋1)(x2＋1)＞0, ∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2), 故函数f(x)在区间[1,＋∞)上单调递增. 同理f(x)在[2,4]上是增函数．∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5. 再次说明对勾函数的解析式特征及单调性 1.函数y＝x＋ 的值域是(　　) A.[0,＋∞) B.[2,＋∞) C.[4,＋∞) 在[2,＋∞)上是增函数,所以其最小值为2,其值域为[2,＋∞). 解析:由题意知a≠0,当a＞0时,有(2a＋1)-(a＋1)＝2,解得a＝2;当a＜0时,有(a＋1)-(2a＋1)＝2,解得a＝-2,综上知a＝±2. 题型三 二次函数的最值(值域) 例3.已知函数f(x)＝x2-2ax＋2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值. 解 f(x)＝x2-2ax＋2＝(x-a)2＋2-a2,x∈[-1,1]. 当a≥1时,函数f(x)的图象如图①中实线所示, x y o 1 -1 函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,最小值为f(1)＝3-2a; 图① 当-1＜a＜1时,函数f(x)的图象如图②中实线所示, x y o 1 -1 图② 函数f(x)在区间[-1,a)上单调递减,在区间(a,1]上单调递增,最小值为f(a)＝2-a2; 当a≤-1时,函数f(x)的图象如图③中实线所示, x y o 1 -1 图③ 函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,最小值为f(-1)＝3＋2a. 例4.求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)． x y o 1 2 1 2 -1 -2 x y o 1 2 1 2 -1 -2 x y o 1 2 1 2 -1 -2 t＋1 t＋1 t t t＋1 t 当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示， 函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以 最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 当t>1时，函数图象如图3所示， 函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数， 所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时， 函数图象如图所示，最小值为 g(t)＝f(1)＝1 2.已知函数y＝x2-2x＋3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( ) A.[1,＋∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] f(x)＝(x-1)2＋2,∵f(x)min＝2, f(x)max＝3,且f(1)＝2,f(0)＝ f(2)＝3,∴1≤m≤2. 题型四 实际应用中的最值问题 例5　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x＞20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润＝年销售总收入-年总投资) (1)求y(万元)与x(件)的函数解析式; (1)当0＜x≤20时,y＝(33x-x2)-x-100＝-x2＋32x-100;当x＞20时,y＝260-100-x＝160-x. (2)当该工厂的年产量为多少件时所得年利润最大?最大年利润是多少? 解　(2)当0＜x≤20时,y＝-x2＋32x-100＝-(x-16)2＋156,当x＝16时,ymax＝156.而当x＞20时,160-x＜140,故x＝16时所得年利润最大,最大年利润为156万元.即当该工厂年产量为16件时所得年利润最大,最大年利润为156万元. 求解实际问题的4步骤 审题 建模 求解 评价 把问题情境译为数学语言，找出问题的主 要关系 转化成函数关系，建立函数解析式 选择合适的方法求解 评估   （1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润x(万元)关于产量y(万盒)的函数 关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 当0≤ x≤50时, y≤20×50-300=700, 当 x＞50时, y=-x2+140x-3700=-(x-70)2+1200, x=70时取最大值为1200，所以为70万盒时利润最大 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． $$