3.2.1.1 函数的单调性课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新课程标准 核心素养 1.根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念． 数学抽象 2.会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性． 直观想象 3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题． 数据分析 4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题． 数学建模 5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法． 数据分析 如图是某地国庆节的温度变化情况，甲在国庆节时想到此地旅游，你能结合天气预报给一些建议吗？ 最高气温(单位：度) 时间(10月/日) 如果把时间设为x，最高气温设为y，y是x的函数吗？ 如果y是x的函数，那么函数图象反应了哪些变化规律？ 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 下降 (-∞,0] 减小 f(x)=x2在(-∞,0]上是单调递减的 上升 (0,+∞) 增大 f(x)=x2在(0,+∞)上是单调递增的 观察函数 图象的变化规律： 1.在y轴左侧，从左到右函数图象___（上升/下降），在区间 _____ 上， 的值随x的增大而 _____． x y o x1 x2 2.在y轴右侧，从左到右函数图象___ （上升/下降）， 在区间 _____ 上， 的值随 x的增大而 _____ x1 x2 如何用符号语言描述函数的变化趋势？ 任意取x1 , x2∈(-∞,0]，当x1<x2时，有f(x1 )>f(x2 ). x≤0时,y随x的增大而减小 x≥0时,y随x的增大而增大 任意取x1 , x2∈[0,+∞)，当x1<x2时，有f(x1 )<f(x2 ). f(x)=x2在(-∞,0]上是单调递减的 f(x)=x2在[0,+∞)上是单调递增的 增函数与减函数的定义 1.增函数. 设函数y=f(x)的定义域为I：若对于定义域内某个区间D 上的任意两个自变量x1 , x2，当x1<x2时， 都有f(x1 )>f(x2 ) 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增， D称为f(x)的单调递增区间 如果函数f(x)在定义域上单调递增，则称f(x)为 增函数. 知识点1 O x y x1 x2 f(x1) f(x2) 2.减函数. 设函数y=f(x)的定义域为I：若对于定义域内某个区间D 上的任意两个自变量x1 , x2，当x1<x2时， 都有f(x1 )>f(x2 ) 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，D称为f(x)的单调递减区间 如果函数f(x)在定义域上单调递减，则称f(x)为 减函数. O y x1 x2 f(x1) f(x2) x 提醒　(1)函数的单调递增(单调递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的,显然D⊆I;(2)定义中x1,x2有三个特征:①x1,x2属于同一个区间;②任意性,x1与x2不能用D上的特殊值代替;③有序性,通常规定x1＜x2. 如果函数y=f(x)在某个区间上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 1.函数的单调性也叫函数的增减性 2.函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念. 知识点2 函数的单调性与单调区间 函数单调性定义的等价形式(对于任意的x1 , x2 ∈D且x1 ≠ x2)： ∀x1,x2∈(1,＋∞)且x1＞x2, 因为x1＞x2＞1 , 所以x2-x1＜0, x1-1＞0, x2-1＞0,所以 f(x1)＜ f(x2), 所以f(x)在区间(1,＋∞)上单调递减 题型一 例1 .试用函数单调性的定义证明f(x)＝ 在区间(1,＋∞)上单调递减 证明: 练习：根据定义，研究函数 在(-1,1)上的单调性 已知函数f(x)＝ , 判断并证明函数f(x)在(-2,＋∞)上的单调性. 利用定义证明函数单调性的4步骤 取值 设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2 作差 变形 定号 结论 作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式 确定差f(x1)-f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论 根据定义得出结论 例2.如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间． [解析]　函数的单调增区间为[－1,3)，[5,6)， 单调减区间为[－4，－1)，[3,5)，[6,7] (1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法 (2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并集，用和或“，”隔开. 题型二 x y o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 5 6 7 先作绝对值里面函数的图象,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去. 如图.由图象可知,其单调递增区间为 [-1,1]和[3,＋∞). x y o 1 3 2 -1 1.函数 的单调递减区间为( ) A.(0,1] B.[-1,1] C.[-1,0)∪(0,1] D. [-1,0),(0,1] 单调区间应为定义域的子集，A错 不能说定义域内，B错 不能用并集符号，D错 2.下列结论正确的是 角度一:已知函数的单调性求参数 1．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　) A．b＝3　　　B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3 题型三 x y o 1 3 2 2.若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________． 开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4. ①各段满足单调要求； ②衔接点满足单调要求. 3.若函数f(x)＝ 是定义在R上的减函数,则a的取值范围为( ) 角度二:利用单调性比较大小或解不等式 解析:因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(-4)＝f(4),又二次函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增,所以f(0)＜f(3)＜f(4),即f(0)＜f(3)＜f(-4). ∵a＋b≤0，∴a≤-b，b≤-a，∴f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) 变量的取值必须在单调区间内 因为f(x)在[-2,2]上单调递增,且f(x-2)＜f(1-x).所以x-2＜1-x, 解析:∵f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,＋∞)上单调递增,∴a＝-2.如图.∵f(m＋2)＜f(2),又∵f(0)＝f(2),则0＜m＋2＜2,∴-2＜m＜0,则实数m的取值范围为(-2,0). x y o 1 2 $$