第04讲【几何图形初步】初中数学暑假同步专题提升复习讲义 2023-2024学年人教版七年级数学上册

第04讲【几何图形初步】初中数学暑假同步专题提升复习讲义（人教版） 【核心考点】 一、线段、直线、射线 1．线段 （1）线段有两个端点； （2）两点之间，线段最短； （3）两点间的距离：连结两点的线段的长度； （4）线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点，就是线段的中点； 2．射线 （1）线段向一方无限延伸，形成射线； （2）射线有一个端点； 3．直线 （1）线段向两方无限延伸，形成直线； （2）直线没有端点； （3）两点确定一条直线； 二、角 （1）有公共端点的两条射线形成的图形，叫做角； （2）一条射线绕着它的端点旋转形成的图形，叫做角； （3）角度的换算：； （4）余角：两个互余的角的和为90°，同角的余角相等； （5）补角：两个互补的角的和为180°，同角的补角相等； （6）角平分线：从角的顶点出发，把一个角分成两个相等的角的射线，就是角的平分线； 【专项练习】 一、单选题 1．如图1，在中，，动点D 从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿到点A运动停止，设点D运动的时间为x秒，线段的长为y个单位长度，其中y随x的变化情况如图2所示．则的周长为（　）    A．10.5 B．18 C．21 D．23 2．如图， 已知，， 点在同一条直线上，则的度数为 （     ） A． B． C． D． 3．如图是正方体的一个表面展开图，原正方体上“祝”“你”两个字所在面的位置关系是（    ） A．相对 B．相邻 C．重合 D．无法确定 4．如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 6．如图，点在直线上，，， 平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．下列结论：①互余且相等的两个角都是；②同角的余角相等；③若，则，，互为补角；④钝角没有补角；⑤锐角的补角比其余角大．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，直线与相交于点O，是直角，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线相交于点，过点作射线，，平分，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 10．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知，，那么的度数是 ． 12．如图，已知点是直线上的一点，，．当比的余角大时，的度数为 ． 13．如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 14．一个棱长的正方体容器中装有一些水，将一个高的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）．这个铁块的体积是 ． 15．如图，点在直线上，，，那么的度数是 ． 16．如图，点在同一直线上，．若，则 ， ，和互余的角是 ． 三、解答题 17．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．    (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示） ②在旋转过程中，若，则此时的值． 18．如图，在中，，D是的中点，点E在边上． (1)若的周长与四边形的周长相等，求线段的长． (2)连接，若的面积与的面积之间存在2倍关系，求线段的长． 19．如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 21．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求和的度数． 22．如图，直线与相交于点O，，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，平分． (1)求的度数； (2)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（）． ①当t为何值时，直线平分； ②若直线平分，直接写出t的值． 23．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． (1)若，求的度数． (2)请写出与的数量关系，并说明理由． 24．新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)若，请直接写出的倍角的度数； (2)如图1所示，若，请直接写出图中所有的倍角； (3)如图2所示，若是的倍角，是的倍角，且，求的度数． 25．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【参考答案】 1．B 【解答】由图可知，从点B运动到点A的时间为秒， 所以， 所以的周长为． 故选：B． 2．C 【解答】由题意可得，， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴． 故选：． 3．B 【解答】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“你”与“试”是相对面，“祝”与“顺”是相对面，“考”与“利”是相对面． 故原正方体上“祝”与“你”两字所在面的位置关系是相邻． 故选B． 4．A 【解答】这个角的度数是， 这个角的余角的度数是． 故选：A． 5．C 【解答】方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 6．A 【解答】， ， 又， ， ∵平分， ∴． 故选：A． 7．B 【解答】设互余且相等的两个角均为，则有， 解得，即互余且相等的两个角都是， 故结论①正确； 同角的余角相等，结论正确，故②正确； 根据补角的定义：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角， ∴“若，则，，互为补角”不成立，故结论③错误； ∵钝角为大于，小于的角，而和等于的两个角互为补角， ∴钝角有补角，故结论④错误； 设某一锐角为，则其补角为，其余角为， ∵， ∴该锐角的补角比其余角大，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的是①②⑤，共3个． 故选：B． 8．A 【解答】是直角，， ， ， 又∵平分， ， ∵， ， 故选：A． 9．A 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设，则，再由角平分线的定义得到，由平角的定义得到，则可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．A 【解答】∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 11．或 【解答】由题意知，， 分在内部，在外部，两种情况求解； 当在内部， ∴； 当在外部， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 12．/10度 【解答】设， ， ， ， ， 点是直线上的一点， ， ， 即， 的余角为：， 比的余角大， ， 解得：， 的度数为． 故答案为：． 13． 【解答】∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 14． 【解答】容器的容积：，     水的体积：， 铁块被淹没的体积：， 铁块的底面积：， 铁块的体积：， 故答案为：． 15．/120度 【解答】∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 16． /55度 /35度 与 【解答】∵点在同一直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴互余的角是与． 故答案为：；；与． 17．(1)； (2)；或 【解答】（1）解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； ②当旋转到左侧时，如图所示：    ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示：    设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为：或． 故答案为：或． 18．(1)线段的长为 (2)线段的长为或 【解答】（1）解：由图，可知的周长， 四边形的周长． 的周长与四边形的周长相等，点D为中点， ，， 即． ， ， ∵， ， ∴线段的长为； （2）解：如图， 连接， 是的中点， 若的面积与的面积之间存在2倍关系，可分两种情况进行讨论： ①如图1，当时， ， ； ②如图2，当时， 同理可得 综上所述，线段的长为或． 19．(1) (2) 【解答】（1）解： 平分 ； （2）解： 设 平分 ， 解得 ． 20．（1）；（2）猜想：，理由见解析；（3），理由见解析 【解答】（1） 是直角，，． ， 平分， ， ∵点A，O，B在同一条直线上， ； （2）猜想：，理由如下： 是直角， ，． 平分， ， 点A，O，B在同一条直线上， ； （3），理由如下： 设， 平分， ，， 点A，O，B在同一条直线上， ， 是直角， ， ， ． 21．(1)，理由见解析 (2)， 【解答】（1）解：， 理由如下：∵直线与相交于点O， ∴， ，分别是，的平分线， ，， ， ； （2）平分，， ， ，． 22．(1) (2)①或；②或 【解答】（1）解：，平分， ， 又， ； （2）解：①分两种情况： ①当平分时，， 即， 解得； ②当平分时，， 即， 解得； 综上所述，当或时，直线平分； ②的值为或． 分两种情况： ①当平分时，， 即， 解得； ②当平分时，， 即， 解得； 综上所述，若直线平分，的值为或． 23．(1) (2)，理由见解析 【解答】（1）解：， ； （2）解： ， ． 24．(1) (2)、 (3) 【解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ∴图中的所有2倍角有：； （3）∵是的3倍角，是的4倍角， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．(1) (2) (3)或 【解答】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． $$