精品解析：湖南省2020年普通高等学校对口招生考试数学试题

湖南省2020年普通高等学校对口招生考试 数学试卷（含答案） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分．共4页，时量120分钟，满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义，求解集合的参数. 【详解】∵，∴. 而，故得到. 故选：D. 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解. 【详解】 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念分析. 【详解】当时，成立，故“” “”. 当时，或，故“” “”. 即，“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 4. 过点，在函数的图象上，则t的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入函数求得k的值，再求解t的值即可. 【详解】因为点在函数的图像上， 所以，即， 因为点在函数的图像上， 所以. 故选：A. 5. 在平行四边形中，与交于点M，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形内向量的加法、数乘等性质进行运算. 【详解】 ∵平行四边形中，与交于点M， ∴, 而， 故. 故选：B. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数定义域求解即可. 【详解】因为函数. 所以即. 所以函数的定义域为. 故选：D. 7. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出二项式的通项公式，再分析常数项时取值，即可求解. 【详解】的通项公式是. 当时，. 此时. 故选：A. 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再根据不等式的性质和正弦函数的单调性比较大小. 【详解】根据诱导公式可得，. 而， ∵，故 而根据正弦函数的单调性可知，， ∴. 故选：C. 9. 函数，若，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数是偶函数，且在上单调增，从而得到，解之即可得解. 【详解】因为，定义域为， 又，所以是偶函数， 当时，，单调递增， 因为， 所以，则，解得. 所以a的取值范围是. 故选：B. 10. 如图是正方体平面展开图，则在这个正方体中 ①与平行 ②与成60°角 ③与垂直 ④与是异面直线 以上四个命题中，正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将展开图复原为几何体，如图所示，根据正方体的性质，逐个分析判断即可. 【详解】展开图复原的正方体如图所示，由正方体的性质可知 与是异面直线，故①错误. 连接，则与平行. 所以或其补角为异面直线与所成角. 因为三角形是等边三角形，所以 所以与所成角为角，故②正确. 与是平行直线，故③错误. 与是异面直线，故④正确. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知向量，，则________； 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标公式求解即可. 【详解】因为,. 所以. 故答案为：4. 12. 某校有男生300人，平均身高为173cm，女生200人，平均身高163cm，则该校所有学生的平均身高为________ 【答案】169 【解析】 【分析】先计算男生总身高，再计算女生总身高，得到全校总身高后，即可得到全校平均身高. 【详解】根据题意，男生总身高， 女生总身高为， 所以，全校学生的平均身高为. 故答案为：169. 13. 函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的值域，求得函数的最小值. 【详解】∵， 故函数取最小值时，，此时. 故答案为：. 14. 已知等差数列前和为，且，，则________ 【答案】49 【解析】 【分析】根据题干条件求出公差，进而利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为. 所以. 所以. 故答案为：49. 15. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则所在的直线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆的方程得到半径和圆心，再根据圆外的点与圆相切于A，B，得到一个切点的坐标，以及，再根据的斜率求得的斜率，即可得到直线方程. 【详解】∵圆的圆心为，半径， 而过点作圆的两条切线，交点为A，B， ∴， 且得到一条切线方程为，故切点坐标为. 根据点，得到， 即可得到. 令所在的直线方程为，代入， 即，得到. 所以，直线方程为，即. 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做题．满分60分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和，若，求n． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的首项和公比，得到通项公式. （2）根据等比数列的求和公式，计算时，的取值. 【小问1详解】 ∵数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴数列的通项公式为，. 【小问2详解】 ∵，故. 当时，即，此时，. 故，. 17. 如图，在四棱锥的底面为正方形，O为与的交点，底面． （1）若E，F分别为，的中点，求证：平面； （2）若求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）由四棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 因为分别为的中点. 所以. 因为不在平面内，在平面内. 所以平面. 【小问2详解】 因为底面是正方形.所以.得. 因为底面.平面.所以. 所以. 所以. 18. 盒子里装有五个大小相同的球，其中两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3，从盒子里任取两个小球： （1）求取出的两个小球中，含有编号为3的小球的概率； （2）在取出的两相小球中，设编号的最大值为X，求随机变量X的分布列和数学期望率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率公式，结合组合的知识即可得解. （2）先写出随机变量X的所有可能取值，再由古典概型概率公式分别计算，最后由分布列求解期望即可. 【小问1详解】 根据题意可得，任取两个小球的方法数为种， 含有编号为3的方法数为种， 所以含有编号3的概率为. 【小问2详解】 编号最大值X可能取值为1，2，3，其中， ， ， ， X 1 2 3 P . 19. 已知抛物线经过点 （1）求抛物线的标准方程 （2）直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，即可求得参数，得到抛物线方程. （2）设立A，B的坐标，联立抛物线方程和直线方程，得到坐标的关系，再计算，即可证明. 【小问1详解】 ∵抛物线经过点， 故，将点代入方程，， 即，得到. 所以，抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设交点A，B的坐标分别为. 则 联立抛物线和直线方程，得到. 即，. ∴. 故，得到. 20. 已知函数. （1）若为偶函数，求不等式解集； （2）若在区间上的最大值为10，求b的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 函数的图像开口向上， 若为偶函数，则函数图像关于y轴对称，， 则有， 所以为偶函数时，不等式解集为. 【小问2详解】 函数图像开口向上，对称轴为， 当时， 函数在上的最大值为， 与不一致； 当时， 函数在上的最大值为或， 得或； 当时， 函数在上的最大值为， 与不一致. 综上所述，或. 选做题：请考生在第21题，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号． 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，且，， （1）求A； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）先根据三角形内角和为得到角，再根据两角和的余弦公式求解 【小问1详解】 ∵，，， 根据正弦定理，可知，代入得到， ，即. ∵，故， ∴得到. 【小问2详解】 ∵，，∴. . 22. 某服装工人加工上衣和裤子，加工一件上衣可获利50元，加工一条裤子可获利20元；加工一件上衣需要2小时，加工一条裤子需要1小时．由于布料限制，该工人每天最多加工3件上衣和4条裤子，且每天工作不超过8小时，问：该工人如何安排生产才能使每天获得的利润最大？利润最大值是多少？ 【答案】每天3件上衣2条裤子，最大利润190元 【解析】 【分析】根据所给题意，列出约束条件，求解目标函数，求解即可. 【详解】设每天生产x件上衣，y件裤子，可能获得的盈利额为z元， 则约束条件为，组成的点如图， 目标函数为， 由，解得， 所以生产3件上衣和2件裤子，可获得的盈利最大,最大为元. 综上，每天3件上衣2条裤子，最大利润190元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省2020年普通高等学校对口招生考试 数学试卷（含答案） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分．共4页，时量120分钟，满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过点，在函数的图象上，则t的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 5. 在平行四边形中，与交于点M，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 函数，若，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①与平行 ②与成60°角 ③与垂直 ④与是异面直线 以上四个命题中，正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知向量，，则________； 12. 某校有男生300人，平均身高为173cm，女生200人，平均身高163cm，则该校所有学生的平均身高为________ 13. 函数的最小值为________． 14. 已知等差数列的前和为，且，，则________ 15. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则所在的直线方程为________ 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做题．满分60分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和，若，求n． 17. 如图，在四棱锥的底面为正方形，O为与的交点，底面． （1）若E，F分别为，中点，求证：平面； （2）若求四棱锥的体积． 18. 盒子里装有五个大小相同的球，其中两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3，从盒子里任取两个小球： （1）求取出两个小球中，含有编号为3的小球的概率； （2）在取出的两相小球中，设编号的最大值为X，求随机变量X的分布列和数学期望率． 19. 已知抛物线经过点 （1）求抛物线的标准方程 （2）直线与抛物线交于A，B两点，O坐标原点，证明 20 已知函数. （1）若为偶函数，求不等式解集； （2）若在区间上最大值为10，求b的值. 选做题：请考生在第21题，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号． 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，且，， （1）求A； （2）求的值． 22. 某服装工人加工上衣和裤子，加工一件上衣可获利50元，加工一条裤子可获利20元；加工一件上衣需要2小时，加工一条裤子需要1小时．由于布料限制，该工人每天最多加工3件上衣和4条裤子，且每天工作不超过8小时，问：该工人如何安排生产才能使每天获得的利润最大？利润最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$