5.3一次函数 自主学案 2024—2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第5章　一次函数 5.3　一次函数 第1课时　一次函数的概念 教材的地位 和作用 　一次函数的概念、图象和表达式的学习是整个初中函数学习的基础,也是中考的考点之一,还是综合题命题的载体 教 学 目 标 知识与技能 　1.理解一次函数和正比例函数的概念以及它们之间的关系. 　2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. 　3.会求一次函数值 过程与方法 　经历一般规律的探索过程,进一步提升抽象思维能力.经历由已知信息写一次函数表达式的过程,进一步提升数学应用能力 情感、态度 与价值观 　通过用函数来表示一些实际问题,并解决实际问题,说明生活离不开数学,数学的发展源于社会的发展,并服务于生活 教学 重点 难点 重点 　一次函数、正比例函数的概念 难点 　会根据已知信息写出一次函数的表达式 易错点 　列一次函数表达式时易找错数量关系 知识点　一次函数(正比例函数)的概念 　　一般地,函数y=kx+b(k,b都是常数,且　k≠0　)叫做一次函数.当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k为常数,k≠0),叫做　正比例　函数,常数k叫做比例系数.  1.有下列函数:①y=x;②y=;③y=; ④y=2x+1;⑤y=3x2-1.其中是一次函数的有　①②④　,是正比例函数的有　①②　.(填序号)  2.在正比例函数y=kx(k≠0)中,当x=2时,y=1,则k= 　.  【例题探究】 类型一　一次函数与正比例函数的识别 例1 (教材补充例题)已知函数y=(m-10)x+1-2m. (1)当m为何值时,这个函数是一次函数? (2)当m为何值时,这个函数是正比例函数? 解:(1)根据一次函数的定义,可得m-10≠0, ∴m≠10. 即当m≠10时,这个函数是一次函数. (2)根据正比例函数的定义,可得m-10≠0且1-2m=0,∴m=. 即当m=时,这个函数是正比例函数. 【归纳总结】 辨别一次函数的三要领: (1)解析式是y=kx+b型,其中k,b为常数,k≠0; (2)解析式两边都是整式; (3)正比例函数也是一次函数. 类型二　根据一次函数的概念求字母系数的值 例2 (教材补充例题)(1)已知y=(m+1)x+m-1,当m　　　　时,它为一次函数;当m时,它为正比例函数.  (2)已知关于x的函数y=(a+1)xa-1+2是一次函数,求a的值. 解:(1)≠-1　=1 (2)由题意得a+1≠0且a-1=1, 所以a=2. 【归纳总结】 一次函数y=kx+b必须满足的条件: (1)一次项系数k≠0; (2)代数式kx+b必须是一次式,即自变量x的次数为1. 类型三　根据较复杂的问题情境列出一次函数表达式 例3 (教材例2针对训练)若某地打电话3分钟之内(包括3分钟)收费1.8元,3分钟以后每增加1分钟加收0.5元. (1)求当通话时间多于3分钟时,电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数表达式; (2)当通话时间为28分钟时,电话费是多少? 解:(1)y=1.8+0.5(t-3)=0.5t+0.3(t>3). (2)把t=28代入y=0.5t+0.3,得y=14.3,即当通话时间为28分钟时,电话费是14.3元. 【归纳总结】 从实际生活中建立一次函数模型的“三步法”: (1)根据题意,找出等量关系; (2)列出函数表达式,并明确自变量的取值范围; (3)利用一次函数解决问题. 【学以致用】 1．已知y＝(m－3)x|m|-2＋1是一次函数，则m的值为(　A　) A．－3 B．3 C．±3 D．±2 【解析】 由y＝(m－3)x|m|-2＋1是一次函数，得解得m＝－3. 2．嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了单价相同的x支笔，还买了两副单价为5元的三角尺．如果用y(元)表示琪琪花的总钱数，那么y关于x的函数表达式为(　A　) A．y＝1.5x＋10 B．y＝5x＋10 C．y＝1.5x＋5 D．y＝5x＋5 【解析】 ∵每支笔的价格为9÷6＝1.5(元)， ∴y关于x的函数表达式为y＝1.5x＋2×5＝1.5x＋10. 3．已知函数y＝2x2a＋3＋a＋2b是正比例函数，则a＝__－1__，b＝____. 【解析】 由题意，得 解得 4．已知函数y＝(m－10)x＋1－2m(x是自变量)． (1)当m为何值时，这个函数是一次函数． (2)当m为何值时，这个函数是正比例函数． 解：(1)根据一次函数的定义可得m－10≠0， ∴m≠10. (2)根据正比例函数的定义可得m－10≠0且1－2m＝0， ∴m＝. 5．已知y＋a与x＋b(a，b为常数)成正比例． (1)y是x的一次函数吗？请说明理由． (2)在什么条件下，y是x的正比例函数． 解：(1)y是x的一次函数．理由如下： ∵y＋a与x＋b成正比例， 设比例系数为k(k≠0)，则y＋a＝k(x＋b)， 整理，得y＝kx＋kb－a， ∴y是x的一次函数． (2)∵y＝kx＋kb－a， ∴若y是x的正比例函数， 6．[应用意识]为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过15吨时，水价为每吨2元；超过15吨时，超过的部分按每吨4元收费．该市某户居民12月用水x吨，应缴水费y元． (1)请写出y关于x的函数表达式． (2)如果该户居民当月缴水费34元，那么该户用了多少吨水？ 解：(1)当0≤x≤15时，y＝2x； 当x＞15时，y＝2×15＋(x－15)×4＝4x－30. 综上所述，y关于x的函数表达式为y＝ (2)∵2×15＝30＜34， ∴当月该户用水超过15吨． 令4x－30＝34，解得x＝16. 答：该户当月用了16吨水． 第2课时　待定系数法求一次函数表达式 教材的地位 和作用 　在上节课中我们学习了一次函数的定义,会根据所给条件写出简单的一次函数表达式.本节课我们要研究如何求一次函数的表达式 教 学 目 标 知识与技能 　1.通过实例进一步加深对一次函数的认识. 　2.会用待定系数法求一次函数的表达式,掌握用待定系数法求函数表达式的一般步骤. 　3.会通过已知自变量的值求相应一次函数的值,已知一次函数的值求相应自变量的值,解决一些简单的实际问题 过程与方法 　经历用待定系数法确定一次函数表达式的过程,把实际问题抽象为数学问题 情感、态度 与价值观 　能把所学知识运用于实际,进一步认识数学与人类生活之间的密切联系及对人类历史发展的作用 教学 重点 难点 重点 　用待定系数法求一次函数的表达式 难点 　根据所给信息确定一次函数的表达式 易错点 　在代入一对数值求一次函数表达式时,易混淆自变量和函数值 知识点　用待定系数法求一次函数表达式 　　一般地,已知一次函数的自变量与函数的两对对应值,可以按以下步骤求这个一次函数的表达式: (1)设所求的一次函数表达式为y=kx+b,其中k,b是待确定的常数,k≠0. (2)把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组. (3)解这个关于k,b的二元一次方程组,求出k,b的值. (4)把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求的一次函数表达式. 这种求函数表达式的方法叫做待定系数法. 1.写出满足下表关系的一次函数的表达式:　y=-x+7　.  x … -1 2 5 … y … 7.5 6 4.5 … 2.已知y是x的一次函数,当x=1时,y=-1;当x=4时,y=5.求这个一次函数的表达式. 解:∵y是x的一次函数,∴设y=kx+b(k≠0). 把x=1,y=-1;x=4,y=5分别代入, 得解得 ∴一次函数的表达式为y=2x-3. 【例题探究】 类型一　用待定系数法确定函数表达式 例1 (教材补充例题)已知y与2x+1成正比例,且当x=-1时,y=2,解答下列问题: (1)求y关于x的函数表达式; (2)当y=10时,求x的值. 解:(1)根据题意,可设y=k(2x+1)(k≠0), 则2=(-2+1)k, ∴k=-2,∴y=-4x-2. (2)当y=10时,10=-4x-2, 解得x=-3. 【归纳总结】 用待定系数法求一次函数表达式的“四步法”: (1)设出含有待定系数的函数表达式; (2)根据已知条件将自变量与函数的对应值代入表达式,得到关于待定系数的方程(组); (3)解方程(组),求出待定系数的值; (4)将求得的待定系数的值代回所设的表达式,就得到所求的一次函数表达式. 类型二　利用一次函数解决实际问题 例2 (教材补充例题)某天小明10:30从老家乘汽车前往上海.一路上,小明记下了如下数据(注:“上海90 km”表示汽车到上海的距离为90 km): 观察时间 10:30(t=0) 10:36(t=6) 10:48(t=18) 路牌内容 上海90 km 上海80 km 上海60 km 　　假设汽车到上海的距离s(km)是行驶时间t(min)的一次函数,求s关于t的函数表达式(不必写出自变量的取值范围). 解:设s关于t的函数表达式为s=kt+b(k≠0). ∵当t=6时,s=80;当t=18时,s=60, ∴解得 ∴s关于t的函数表达式为s=-t+90. 【归纳总结】 根据实际问题列一次函数表达式: (1)用待定系数法确定函数表达式的前提是确定函数的类型. (2)根据实际问题列一次函数表达式和列方程解应用题的思路相同,只是书写格式不同. (3)首先要认真审题,找出等量关系,用字母表示问题中的变量,然后根据题意列出一次函数表达式. 【学以致用】 1．已知y＋3与x成正比例，且当x＝2时，y＝7，则y关于x的函数表达式为__y＝5x－3__. 【解析】 设y＋3＝kx， 把x＝2，y＝7代入，得7＋3＝2k，解得k＝5，∴y＋3＝5x，∴y＝5x－3. 2．鞋子的“鞋码”(号)和鞋长(cm)存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值(注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码)： 鞋长(cm) 16 19 21 24 鞋码(号) 22 28 32 38 (1)设鞋长为x(cm)，“鞋码”为y(号)，试判断x和y满足何种函数关系． (2)求y与x之间的函数表达式． (3)如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长为多少？ 解：(1)x和y满足一次函数关系． (2)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意，得 解得 ∴y与x之间的函数表达式为y＝2x－10. (3)当y＝44时，44＝2x－10，解得x＝27. 答：他的鞋长为27 cm. 3．为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格y(元/人)是原来价格x(元/人)的一次函数．现知道其中两条旅游线路原来的价格分别为每人2 100元和2 800元，而现在旅游的价格分别为每人1 800元和2 300元． (1)求y 与x 之间的函数表达式(不要求写出x 的取值范围)． (2)王老师想参加该旅行社原来的价格为5 600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路现在的价格． 解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意，得 解得 ∴y与x之间的函数表达式为y＝x＋300. (2)当x＝5 600时， y＝×5 600＋300＝4 300. 答：这条线路现在的价格是4 300元． 4．已知y是x的一次函数． (1)当x＝－2时，该函数的值为0，请写出两个符合条件的函数表达式． (2)当x＝m时，该函数的值为n(m，n是常数)，请用一个函数表达式表示所有符合条件的函数． 解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)， 把x＝－2，y＝0代入， 得－2k＋b＝0，即b＝2k. 令k＝1，则b＝2，此时函数表达式为y＝x＋2； 令k＝－1，则b＝－2，此时函数表达式为y＝－x－2.(答案不唯一) (2)把x＝m，y＝n代入y＝kx＋b， 得km＋b＝n，即b＝n－km， ∴函数表达式为y＝kx＋n－km，即y＝k(x－m)＋n. 5．[抽象能力]小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如图所示的操作． 第5题图 请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)求无水溢出时量筒中水面的高度y(cm)与放入小球个数x之间的函数表达式(不要求写出x的取值范围)． (2)每放入一个小球(假设放入小球后无水溢出)，量筒中的水面升高__2__cm. (3)当量筒中的水面上升至距离量筒顶部3 cm 时，在量筒中放入了几个小球？ 解：(1)设水面的高度y(cm)与放入小球个数x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)． 将x＝0，y＝30及x＝3，y＝36分别代入， 得解得 ∴所求的函数表达式为y＝2x＋30. (3)由题意，得2x＋30＝49－3， 解得x＝8. 答：在量筒中放入了8个小球． 学科网（北京）股份有限公司 $$