6.2.3 向量的数乘运算 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的运算 1 高中必修二第六章 准备好学案6.2.3 课本、笔记本、草稿纸 学习目标 1.掌握向量的数乘概念. 2.能运用向量数乘的运算律进行向量数乘的运算. 3.能说出向量共线定理并会运用定理判断向量是否共线. 复习巩固 思考：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ P O C A B Q M N 的方向与的方向相反， 的长度是的长度的倍， 即 的方向与的方向相同， 的长度是的长度的倍， 即． 向量的数乘运算 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 若，则 一定成立吗？ 向量的数乘运算 问题1：如果把非零向量的长度伸长到原来的倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量、之间的关系怎样？ 几何意义：将沿着相同或相反方向伸长或压缩到原来的倍． 注： 向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与以及有关； 实数和向量可以相乘，但不能相加减，无意义； 和向量方向相同的单位向量是什么？ 向量的数乘运算 思考：数的乘法满足结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 设为实数，那么 如何证明这些运算律呢？ (1) (2) (3) 向量的数乘运算 特别地，我们有： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有 . 辨析：判断正误. 1.若，则与共线. ( ) 2.若则. ( ) 3.. ( ) √ × × 向量的数乘运算 自学检测 自学检测 课堂探究 思考1：向量数乘运算后，实数与向量的积与原向量之间有怎样的位置关系？ 实数与向量的积与原向量共线. 思考2：反之，若两个非零向量，共线，是否存在，使得呢？ 若向量与共线，且，那么 当，同向，有； 当，向，有 思考3：这样的实数有几个? 有且只有一个 向量的数乘运算 向量共线定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 根据这一定理，设非零向量位于直线l上，那对于直线l上的任意一个向量都存在唯一的一个实数λ，使 向量的数乘运算 思考：为什么要是非零向量？ 若，，与共线，但此时，不存在实数，使得。 思考：可以是零向量吗？ 可以 练习1：，是两个不共线的非零向量，判断是否共线。 【答案】：(1)，共线； (2)，共线. 向量的数乘运算 例7：如图，已知任意两个非零向量 ，试作，，猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，不论向量怎样变化，点始终在直线上，猜想三点共线. 事实上，因为， ， 所以. 因此，，三点共线. 向量的数乘运算 设是平面内的四个点，，若，则三点共线，反之亦然。 你可以试着证明它吗？ 、、三点共线 向量的数乘运算 练习2：设是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：三点共线； 解：(1)证明：∵ ∴与共线，且有公共点， ∴三点共线. 向量的数乘运算 自学检测 课堂探究 课堂探究 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，方向相同；当时，方向相反. 结合律 第一分配律 第二分配律 特别地，有 小结 向量共线定理 定理内容 三点共线 应用 求相关参数的值 向量 共线的充要条件是： 存在唯一一个实数，使. 小结 作业 下课 24 $$