17 对数 夯实基础篇讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修第一册 夯实基础篇 17对数 第四章 指数函数与对数函数 夯实基础篇---17对数 一、问题导学： 1. 已知如何求x？ 2. 什么是对数？指数与对数有何关系？ 3. 对数有哪些运算性质？什么是换底公式？ 二、知识构建 知识点1：对数概念 1.对数的概念：一般地,如果________ (,且),那么数叫做以为底的对数,记作________,其中叫做对数的________,叫做________. 2.常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为________ ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作________ 知识点2：指数式与对数式的相互转化 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔________ （2）对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有________________________ ③对数恒等式: ________（且） 知识点3：对数的运算性质 当且，, 1 _____________________ 2 _____________________ ③_____________________（） 知识点4：换底公式 (1)公式 (2)推论 ① _____________________②____________________③_____________________ 三、类型剖析 类型一　对数的概念 类型二　指数与对数互化 类型三 对数的运算 类型四 对数的运算性质 类型五 换底公式的应用 类型六 数学情境 三、类型应用 类型一　对数的概念 【例1】已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在中，实数a的取值范围是 A． B． C．D． 类型二　指数与对数互化 【例2】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【跟踪训练2-1】把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【跟踪训练2-2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练2-3】把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 类型三 对数的求值 【例3】求下列各式中x的值. ①；②logx8＝6；③lg 100＝x；④－ln e2＝x. 【跟踪训练3-1】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练3-2】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【例4】.求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【跟踪训练4】求下列各式的值： (1)； (2). 类型四 对数的运算性质 【例5】求下列各式的值： （1）； （2）. 【跟踪训练5-1】求下列各式的值： （1）；        （2）. 【跟踪训练5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【跟踪训练5-3】设，，用，分别表示，，，，． 类型五 换底公式的应用 【例6】用，，之表示下列各式： （1）；        （2）. 【跟踪训练6】用表示下列各式： （1）；（2）；（3）；（4）. 【例7】化简下列各式： （1）； （2）. 【跟踪训练7】化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 类型六 数学情境 1.（阅读题）对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过对数转换，可以简化运算过程.例如，1，10，100，1000，10000，…成10倍增长，取常用对数后就变为0，1，2，3，4，…我们再来看物理学中的一个例子.声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，和A分别是声波的频率和振幅，是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级.通常规定（相当于频率为1000时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强Ⅰ的量度，式中声强级的单位称为贝尔.实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位，这就是分贝（）：.当被测量的声强I为声强的100倍时，声强级L为多少分贝？ 2.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 五、素养提升 1.计算的值. 2.已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 3.求满足下列条件的x的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 4.求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 5.若且，则（ ） A． B． C． D． 六、随堂检测 1.已知与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，则x= . 3.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 5.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 6.求下列各式的值： (1) (2)； (3)； (4)； (5) (6). 7.已知，求的值． 8.用，，表示下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 9.计算： (1)； (2)（且）； (3)； (4)． 思维拓展： 1.已知，则的值为 ． 2.若，则 . 3.已知函数，则的值是 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$必修第一册 夯实基础篇 17对数 第四章 指数函数与对数函数 夯实基础篇---17对数 一、问题导学： 1. 已知如何求x？ 2. 什么是对数？指数与对数有何关系？ 3. 对数有哪些运算性质？什么是换底公式？ 二、知识构建 知识点1：对数概念 1.对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 2.常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 知识点2：指数式与对数式的相互转化 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. （2）对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有 ③对数恒等式: （且） 知识点3：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） 知识点4：换底公式 (1)公式 (2)推论 ① ② ③ 三、类型剖析 类型一　对数的概念 类型二　指数与对数互化 类型三 对数的运算 类型四 对数的运算性质 类型五 换底公式的应用 类型六 数学情境 三、类型应用 类型一　对数的概念 【例1】已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 【跟踪训练1】在中，实数a的取值范围是 A． B． C．D． 【答案】C 【详解】由对数的定义知， 解得 或 . 故选C． 类型二　指数与对数互化 【例2】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据指数式与对数式的相互转化，即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【跟踪训练2-1】把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据指数与对数的关系（且）计算可得； 【详解】（1）解：因为，所以； （2）解：因为，所以； （3）解：因为，所以； （4）解：因为，所以； （5）解：因为，所以； （6）解：因为，所以； 【跟踪训练2-2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由对数的定义改写； （2）由对数的定义改写； （3）由对数的定义改写； （4）由对数的定义改写． 【详解】（1）由对数定义得； （2）由对数定义得； （3）由对数定义得； （4）由对数定义得． 【跟踪训练2-3】把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）利用指数式与对数式的转化可得出结果； （2）利用指数式与对数式的转化可得出结果； （3）利用指数式与对数式的转化可得出结果； （4）利用指数式与对数式的转化可得出结果； （5）利用指数式与对数式的转化可得出结果； （6）利用指数式与对数式的转化可得出结果； （7）利用指数式与对数式的转化可得出结果； （8）利用指数式与对数式的转化可得出结果. 【详解】（1）解：因为，则. （2）解：因为，则. （3）解：因为，则. （4）解：因为，则. （5）解：因为，则. （6）解：因为，则. （7）解：因为，则. （8）解：因为，则. 类型三 对数的求值 【例3】求下列各式中x的值. ①；②logx8＝6；③lg 100＝x；④－ln e2＝x. 【答案】①x＝；②x＝；；③x＝2；④x＝－2. 【分析】根据对数式与指数式的转化，即可求解. 【详解】①由log64x＝得x＝； ②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝＝； ③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2； ④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2. 【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，对数的定义，属于容易题. 【跟踪训练3-1】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)125 (2) (3) (4) 【分析】将对数式化为指数式，从而可得出答案. 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以，解得 （3）解：因为， 所以，所以； （4）解：因为， 所以，所以. 【跟踪训练3-2】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数与对数的关系（且）计算可得； 【详解】（1）解：因为，所以； （2）解：因为，所以，所以，因为且，所以； （3）解：因为，所以，所以； （4）解：因为，所以，即，所以，所以 【例4】.求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）2；（2）0；（3）；（4） 【解析】将对数式化为指数式,结合指数幂的运算即可求解. 【详解】（1）设 则 即 （2）根据对数的性质可知； （3）设 则 即 （4）设 则 即 【点睛】本题考查了对数式与指数式的转化,指数幂的运算化简与求值,属于基础题. 【跟踪训练4】求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】根据对数的定义及指对数式的互化即可求得答案. 【详解】（1）设，则，即. （2）设，则，即. 类型四 对数的运算性质 【例5】求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）19 【解析】根据对数的运算性质,化简即可得解. 【详解】（1）由对数的运算性质,化简可得 （2）由对数的运算性质,展开化简可得 【点睛】本题考查了对数的运算性质及简单应用,属于基础题. 【跟踪训练5-1】求下列各式的值： （1）；        （2）. 【答案】（1）13；（2）3. 【分析】（1）由，根据对数运算性质可得答案. （2）由，根据对数运算性质可得答案. 【详解】解：（1）因为.所以； （2）因为，所以. 【跟踪训练5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)10 (2)5 (3)18 (4)1 (5) (6)2 【分析】根据对数运算法则与性质即可得到答案. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【跟踪训练5-3】设，，用，分别表示，，，，． 【答案】见解析 【分析】根据对数的运算性质计算即可得解. 【详解】解：因为，， 所以， ， ， ， . 类型五 换底公式的应用 【例6】用，，之表示下列各式： （1）；        （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）. （2） 【跟踪训练6】用表示下列各式： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）由对数运算法则：，即可得出表达式； （2）由对数运算法则：和，即可得出表达式； （3）由对数运算法则：和，即可得出表达式； （4）由对数运算法则：和，即可得出表达式； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）. 【点睛】本题主要考查对数的运算，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于基础题型. 【例7】化简下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1）1；（2） 【解析】根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简即可得解. 【详解】（1）根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简可得 （2）根据对数的运算性质,化简可得 【点睛】本题考查了对数的运算性质及简单应用,换底公式的用法,属于基础题. 【跟踪训练7】化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：B 类型六 数学情境 1.（阅读题）对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过对数转换，可以简化运算过程.例如，1，10，100，1000，10000，…成10倍增长，取常用对数后就变为0，1，2，3，4，…我们再来看物理学中的一个例子.声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，和A分别是声波的频率和振幅，是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级.通常规定（相当于频率为1000时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强Ⅰ的量度，式中声强级的单位称为贝尔.实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位，这就是分贝（）：.当被测量的声强I为声强的100倍时，声强级L为多少分贝？ 【答案】 【分析】由对数的运算求解即可. 【详解】当被测量的声强I为声强的100倍时， 当被测量的声强I为声强的100倍时，声强级L为分贝 2.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 【答案】32倍 【解析】根据题意,结合对数的运算性质,结合指数与对数的转化,可求得,即可求得两次能量释放的倍数关系. 【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和. 由,可得,. 于是, 则 利用计算工具可得, 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍 【点睛】本题考查了指数与对数的相互转化,对数的运算性质及简单应用,属于基础题. 五、素养提升 1.计算的值. 【答案】1 【解析】利用对数运算公式，化简求得表达式的值. 【详解】原式 . 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2.已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】利用对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】， 解：（1）. （2） （3）. （4）. 3.求满足下列条件的x的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】解：（1） ， （2）， （3）， （4），，， 【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质的应用，属于基础题. 4.求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）首先解方程求出的值，再根据对数恒等式计算可得； （2）根据对数恒等式计算可得. 【详解】解：（1） ， ； （2），. 【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题. 5.若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且，所以，且，所以，且， 且有，，所以，，， 所以，，则， 又因为且，解得. 故选：B. 六、随堂检测 1.已知与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的概念以及对数运算法则得出结果. 【详解】由已知得，即，所以. 故选：C. 2.已知，则x= . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系直接得解. 【详解】由，得. 故答案为： 3.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】可化为，由此化简各个小问。 【详解】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 4.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：由对数的运算法则，因为，可得. （2）解：由对数的运算法则，因为，可得. （3）解：由对数的运算法则，因为，可得. （4）解：由对数的运算法则，可得. 5.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)7 (2)1 (3)0 (4)-1 【分析】利用对数的运算求解. 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）. 6.求下列各式的值： (1) (2)； (3)； (4)； (5) (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用对数运算法则可计算出（1）~（5）题，再利用换底公式可计算出（6）的结果. 【详解】（1）根据对数运算法则可得； （2）根据对数运算法则可得； （3）根据对数运算法则可得 （4）根据对数运算法则可得； （5）根据对数运算法则可得； （6）利用换底公式可得 7.已知，求的值． 【答案】 【分析】根据，先求出，再求出，从而可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以. 8.用，，表示下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的运算法则和性质即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 9.计算： (1)； (2)（且）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的运算法则及运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：由对数的运算法则，可得. （2）解：由对数的运算法则，可得. （3）解：由对数的运算法则， 可得. （4）解：由对数的运算法则，可得 思维拓展： 1.已知，则的值为 ． 【答案】9 【详解】因为， 所以，. 故答案为：9. 2.若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 3.已知函数，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据分段函数的定义域，将代入解析式求，进而求的值. 【详解】由， 所以. 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$