安徽省安庆市示范高中2023届高三下学期3月联考数学试卷

2022-2023学年安徽省九师联盟高三下学期3月质量检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足，则在复平面内z的共轭复数所对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知全集Z，集合Z，，则集合为(    ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，则(    ) A. B. C. D. 4.将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥衔接处不重合，则该无底圆锥的体积为(    ) A. B. C. D. 5.计算机是20世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于工作和生活之中，在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．已知一个十进制数N可以表示成二进制数…N，且…，其中，…，记，，，…，中1的个数为，若，则满足的n的个数为(    ) A. 126 B. 84 C. 56 D. 36 6.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数称为Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流为15 A时，放电时间为30 h；当放电电流为50 A时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为参考数据：，(    ) A. B. C. D. 7.已知F是抛物线C：的焦点，过点F且斜率为2的直线l与C交于A，B两点，若，则(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8.已知函数的定义域D关于原点对称，且满足：①当时，；②，且，，则下列关于的判断错误的是(    ) A. 为奇函数 B. C. 是的一个周期 D. 在上单调递减 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是(    ) A. 甲城市日均气温的中位数与平均数相等 B. 甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定 C. 乙城市日均气温的极差为 D. 乙城市日均气温的众数为 10.已知函数，则(    ) A. 为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 11.设双曲线E：的焦距为2c，离心率为e，且a，c，成等比数列，A是E的一个顶点，F是与A不在y轴同侧的焦点，B是E的虚轴的一个端点，PQ为E的任意一条不过原点且斜率为的弦，M为PQ中点，O为坐标原点，则(    ) A. E的一条渐近线的斜率为 B. C. 分别为直线OM，PQ的斜率 D. 若，则恒成立 12.若，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若平面向量与满足：，，则与的夹角为__________. 14.已知直线l：与圆C：相切，则满足条件的直线l的条数为__________. 15.已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为__________. 16.在数列中，，，，对N，恒成立，则的通项公式为__________；若，则数列的前n项和__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 已知数列满足， 求的通项公式； 若，设数列的前n项和为，证明： 18.本小题12分 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 求B； 若，，延长AB到D，使得，当取得最大值时，求 19.本小题12分 2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩．某平台为了了解观众对该影片的评价情况评价结果仅有“好评”“差评”，从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示单位：人： 好评 差评 合计 男性 80 200 女性 90 合计 400 把列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验分析对该部影片的评价是否与性别有关； 若将频率视为概率，从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的女性观众的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中 参考数据： 20.本小题12分 在直四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，平面平面 求证：； 若，探索在棱上是否存在一点E，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21.本小题12分 已知F为椭圆C：的右焦点，M为右顶点，N为上顶点，离心率为，直线l与C相切于点A，与y轴相交于点异于点，为坐标原点，且的面积为 求； 求C的方程． 22.本小题12分 已知R 证明：当时，在上单调递增； 当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了复数的代数表示及其几何意义、共轭复数，属于基础题. 利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】 解：由， 得， 所以，在复平面内其所对应的点为，位于第一象限. 故选 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了集合的交并补混合运算，属于基础题. 先化简集合U，A，再运用交集以及补集运算即可求解. 【解答】 解：由题意知， ， 又， 所以， 故选 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查三角函数的定义，二倍角公式，诱导公式. 根据题意得出，再由诱导公式及二倍角公式化简求解即可. 【解答】 解：因为的终边与圆相交于点， 所以， 所以 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查圆锥的体积，主要考查学生的空间想象能力和数学运算能力. 由题得半圆的半径即为圆锥的母线，半圆弧长即为圆锥的底面圆周长，进而求出圆锥的底面圆半径，再由勾股定理求出高，然后求体积即可. 【解答】 解：由题意知所卷成的无底圆锥母线长为6，设该无底圆锥的底面半径为r，高为h， 则，所以，所以， 所以 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查进位制之间的转化、组合数公式，属于基础题． 根据题意得出n的个数为，即可求出结果. 【解答】 解：由题意得，，，，中1的个数为6， 因为，所以，，，中1的个数为5， 所以满足的n的个数为 故选 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了对数知识解决实际问题的应用，是基础题， 由题意知，两边取对数，结合，计算即可； 【解答】 解：由题意知， 所以，两边取以10为底的对数，得， 所以 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线间的位置关系，属于中档题. 设直线l的方程为，联立直线与抛物线方程得到一元二次方程，根据韦达定理和抛物线的定义，代入已知条件，即可解决. 【解答】 解：由题意知，设直线l的方程为， 与C的方程联立，得，显然， 设，， 则，， 所以，， 又，， 所以， 所以 故选 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了判断或证明函数的奇偶性、周期函数和判断或证明函数的单调性，是中档题. 根据函数的奇偶性、单调性和周期性逐一判定即可. 【解答】 解：因为，，， 所以为D上的奇函数， 因为，所以， 所以， ， 所以， 所以是的一个周期， ，，且，则， 因为当时，， 对于任意的， 所以，，均小于0， 又， 所以，所以， 所以在上单调递增，故ABC正确，D错误. 故选 9.【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查折线图的性质、中位数、平均数、极差、众数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用折线图的性质、中位数、平均数、极差、众数的定义直接求解． 【解答】 解：由甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据得： 对于A ，甲城市日均气温从小到大为单位：： 3，3，5，5，6，6，7， 中位数为， 平均数为， 甲城市日均气温的中位数与平均数相等，故A正确； 对于B，由图可知乙城市的日均气温的波动幅度比甲城市的日均气温波动幅度要小，所以乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，故B错误； 对于C，乙城市日均气温的极差为，故C错误； 对于D，乙城市日均气温从小到大为单位：： 4，4，5，5，5，6，6， 乙城市日均气温的众数为，故D正确． 故选 10.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查判断余弦型函数的单调性或求解单调区间，求余弦型函数的值域或最值，函数的对称性，函数周期性定义，属于中档题. 计算可判断计算可判断将化简为，结合余弦函数的性质可判断C， 【解答】 解：因为 ， 所以为的一个周期，故A正确; 因为 ， 所以的图象关于直线对称，故B正确; 因为当时， ， 故在上单调递减，故C错误; 因为在上单调递减， 所以在上的取值范围为， 因为关于直线对称， 所以在上的取值范围为， 又的一个周期为，所以在整个定义域上的值域为，故D正确. 故选 11.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查了双曲线中的定值问题，直线与双曲线的位置关系及其应用，涉及等比数列的性质，与双曲线离心率有关的参数问题，过两点的斜率公式，属于较难题. 由a，c，成等比数列可得a，b，c之间的关系求出离心率的值可判断选项A，再结合直线与双曲线的位置关系及其应用判断选项B、C、D即可. 【解答】 解：因为a，c，成等比数列，所以，所以且， 解得负根舍，又，所以， 所以，即E的一条渐近线的斜率为，故A正确; 不妨设F为左焦点，B为虚轴的上端点，则A为右顶点， 则BF的斜率，AB的斜率， 所以， 所以，故B正确; 设，，， 则，作差后整理得， 所以，故C正确; 设直线，则直线， 将代入双曲线方程， 得，则， ， 将k换成得， 则 与b的值有关，故D错误. 故选： 12.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小，属于较难题. 对A，B，C选项中的式子移项，分别构造函数，对函数求导判断出函数的单调性，进而比较大小，即可求解.对D选项中的式子移项，再根据三角函数的性质比较大小，即可求解. 【解答】 解：A：要证，即证，即证 ，即证， 令，， ，所以函数在上单调递增. 因为所以，所以，故A正确； B：要证，即证， 令，，因为，， 则，所以在上单调递增. 因为所以，所以，故B错误； C：要证，即证 ，即证  ，即证 ， 令，，，， 设，，，所以在上单调递减. 故，即，则，所以在上单调递增. 因为所以，所以，故C正确; D：由于要证， 即证， 因为所以， ，即，故D错误. 故选 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 对两边平方，计算，代入夹角公式得出向量的夹角． 【解答】 解：，， ，， ， ， 故答案为： 14.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，主要考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力. 根据原点到l距离得出l与圆相切，将本题化为求两个相交圆的公切线即可. 【解答】 解：原点到l的距离，C到l的距离为4， 故满足条件的l既与圆相切，又与圆C相切， 故l是圆和圆C的公切线， 易知两圆相交，故公切线的条数为2， 即符合条件的直线l有2条. 故答案为 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数求函数的最值，是中档题. 对函数求导，根据导数的几何意义及切线与垂直求出a的值，然后得出函数的单调性，进而求解即可. 【解答】 解：由题意得，所以， 因为切线与直线垂直，所以切线斜率为2， 即，解得， 所以， 且，显然是增函数， 当时，， 所以在上单调递增， 故 故答案为 16.【答案】 ；   【解析】【分析】 本题考查了根据数列的递推公式求通项公式，考查了裂项相消法求和，属于中档题. 由数列的递推公式可得成等差数列，故可求得，再求得，由裂项相消法求和得答案 【解答】 解：因为对，， 所以成等差数列，设等差数列的公差为d， 又，， 所以的公差， 所以， 又，所以 所以 ， 所以 故答案为 17.【答案】解：由及，得， 所以， 当时， 有 当时，，符合上式， 所以 证明：由得， 所以， 所以， 所以， 两式相减，得 ， 所以 因为， 所以  【解析】本题考查根据数列的递推公式求数列的通项公式，错位相减法求和，是中档题. 利用累乘法即可求解; 利用错位相减法求出，再利用数列的性质即可证明. 18.【答案】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以，所以， 又，所以 在中， 在中，， 所以 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 故当取得最大值时，  【解析】本题考查了三角函数的化简和余弦定理，以及基本不等式的应用，属于中档题． 利用正弦定理及三角恒等变换可求得，故得B； 由余弦定理可求得再结合基本不等式可求得取得最大值时c的值. 19.【答案】解：列联表补充完整如下：  好评  差评  合计  男性  120  80 200  女性  90 110 200  合计  210 190 400 零假设为对该影片的评价与性别无关. 根据列联表中数据，经计算得 ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对该影片的评价与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为女性的概率， 且各次抽取之间互相独立，故， 所以， ， ， ， 故X的分布列为：  X  0  1  2  3  P 所以 或  【解析】本题考查了独立性检验、二项分布列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 补充列联表，通过计算，即可得出结论． 根据独立重复试验的概率公式求出概率并列出分布列，即可求出期望或利用二项分布期望公式计算期望. 20.【答案】证明：由题意知平面ABCD，平面ABCD， 所以 过D在平面内作直线，交于点G， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 又平面， 所以 因为，，平面， 所以平面， 又平面， 所以 解：由知，因为，所以， 又平面ABCD，且DA，平面ABCD， 所以，， 故以D为坐标原点，直线DA，DB，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设， 则，， 故， 设平面BDE的一个法向量， 则即 令，则，，所以， 显然平面的一个法向量， 所以， 解得负根舍， 此时二面角的大小为， 所以在棱存在点E，使得二面角的大小为，且   【解析】本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质以及平面与平面所成角的向量求法，是中档题. 过D在平面内作直线交于点G，先得出平面，所以，从而可得平面，由线面垂直的性质即可得证； 建立空间直角坐标系，设，得出平面BDE的一个法向量和平面的一个法向量，由空间向量的夹角公式求解得出，可得的值. 21.【答案】解：因为C的离心率为，所以， 所以， 所以 由题意知直线l的斜率存在且不为0，设其方程为， 由知C的方程为， 联立得， 由题意知， 所以① 设，则， ， 因为， 所以，化简得② 又的面积为， 所以③ 由①②③得，，从而， 所以C的方程为  【解析】本题主要考查的是椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题. 根据已知可得，进而可得结论； 设直线l的方程为，将直线与椭圆联立，由得，再利用面积公式和，可得， 22.【答案】证明：因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 所以在上单调递增. 解：当时，， 即， 所以，即在上恒成立. 令，则， 令， 则 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以 ①当，即时，在上，，即， 所以在上单调递增， 所以对，即在上恒成立，符合题意; ②当，即时，， 又，若， 则在上，，即， 所以在上单调递减，所以，不合题意; 若，则存在，使得， 所以在上，，即， 所以在上，单调递减，所以对，不合题意. 综上所述，关于x的不等式在上恒成立，实数k的取值范围为  【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数证明不等式恒成立求参数的取值范围，属于难题. 求出，由得出恒成立，得出在上单调递增； 由题意对恒成立，在上恒成立令，求导，判断出的单调性得出k的取值范围即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$