第二章 一元二次方程单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第二章 一元二次方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A． B． C．5 D．7 2．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·福建宁德·阶段练习）根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽池州·期末）对于代数式（为常数），下列说法正确的有（    ） ①若且，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2023·河北·一模）如图，爸爸在检查张亮作业时，发现他一道解一元二次方程的题做错了，则他开始出错的步骤是（    ） 解：， ，    ① ，     ② ，      ③ .       ④ A．① B．② C．③ D．④ 7．（22-23八年级下·山东济南·期末）关于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x1＝m－3，x2＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（　　） A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝2m－3，x2＝1 C．x1＝2m－3，x2＝1－2m D．x1＝－3，x2＝1－2m 8．（22-23九年级上·全国·课后作业）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·江西上饶·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1 ＝x2+2•3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10， ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣10≥﹣10即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式x2﹣4x+5的最值情况是（　　） A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值1 10．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级上·上海青浦·期中）解方程：的根是 ． 12．（22-23八年级上·上海青浦·期末）一元二次方程的根的判别式为 ． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 14．（2024·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 15．（2024·上海杨浦·一模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 16．（22-23九年级上·江苏南通·期末）再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为 s. 三、解答题（9小题，共64分） 17．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）解方程：． 18．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）解方程: (1) (2) 19．（2023·北京·一模）已知是方程的一个根，求的值． 20．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值； (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 21．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值． 解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4， （y＋2）2≥0， （y＋2）2＋4≥4 y²＋4y＋8的最小值是4 （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值． 22．（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 23．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数 24．（23-24九年级下·北京·阶段练习）梅兰竹菊，被称为“四君子”，在中国文化中具有非常重要的象征意义，代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中，某班同学在长、宽的展板上展出了四幅书画作品．每幅作品面积为（作品尺寸均相同），如图所示，作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 25．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题主要查了一元一次方程的解．把代入得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 故选：A 2．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是利用配方法求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选B． 3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可解答．掌握判别式的正负情况与一元二次方程根的情况的关系是解题的关键． 【详解】解：A．，故方程有两个不相等实数根，不合题意； B．，故方程有两个不相等的实数根，不合题意； C．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； D．，方程没有实数根，符合题意． 故选：D． 4．（22-23九年级上·福建宁德·阶段练习）根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键． 5．（23-24八年级下·安徽池州·期末）对于代数式（为常数），下列说法正确的有（    ） ①若且，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程，根据根的判别式判断①；根据一元二次方程(为常数)最多有两个解判断②；将方程的解代入即可判断③． 【详解】解：①∵且， ∴， ∴， 方程有两个不相等的实数根，故①错误； ②一元二次方程（为常数）最多有两个不相等实数解，故②错误； ③方程的解为， 将代入得，即：， 将代入得，即：， ∴，则， 即：，故③正确． 故选：B． 6．（2023·河北·一模）如图，爸爸在检查张亮作业时，发现他一道解一元二次方程的题做错了，则他开始出错的步骤是（    ） 解：， ，    ① ，     ② ，      ③ .       ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据解一元二次方程的方法步骤解此一元二次方程即可得出正确的解，从而可知答案. 【详解】解：， 即， 移项得，， 提公因式得，， 整理得，， 解得，. 所以从第②步开始出错. 故选：B. 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，属于容易题.失分的原因是：在解一元二次方程左右两边含有未知数的公因式时，直接约去公因式而产生漏解. 7．（22-23八年级下·山东济南·期末）关于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x1＝m－3，x2＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（　　） A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝2m－3，x2＝1 C．x1＝2m－3，x2＝1－2m D．x1＝－3，x2＝1－2m 【答案】B 【分析】先将方程变形为，令，再根据已知方程的解可得，由此即可得． 【详解】解：方程可变形为， 令，则方程为， 由题意得：， 所以， 所以， 即方程的解是， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确找出两个方程之间的联系，并熟练掌握换元法是解题关键． 8．（22-23九年级上·全国·课后作业）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可以得到增加x株后，每盆的株数为x+3，每株的价格为5-0.5x，再根据每盆的盈利为20元，即可得到（x+3）（5-0.5x）=20，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 9．（22-23九年级上·江西上饶·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1 ＝x2+2•3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10， ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣10≥﹣10即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式x2﹣4x+5的最值情况是（　　） A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值1 【答案】D 【分析】利用配方法将多项式进行化简，即可得到最值． 【详解】解：x2﹣4x+5， ＝x2﹣4x+4﹣4+5， ＝（x﹣2）2+1， ∵无论x取何实数，总有（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+1≥1， 即无论x取何实数，二次三项式x2﹣4x+5有最小值是1， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 10．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，根据题干中给出的信息即可得出答案，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题干中给出的信息可知，所用的思想为数形结合思想， 故选：B． 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级上·上海青浦·期中）解方程：的根是 ． 【答案】 【分析】利用直接开方法，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：， 开方得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 12．（22-23八年级上·上海青浦·期末）一元二次方程的根的判别式为 ． 【答案】 【分析】将方程的二次项系数，一次项系数，常数项代入进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义：含一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的值，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 14．（2024·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得：，，结合题意得出或，再分别利用根的判别式验证即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 的值为， 故答案为：． 15．（2024·上海杨浦·一模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 16．（22-23九年级上·江苏南通·期末）再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为 s. 【答案】 【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t的值． 【详解】依题意得s=×t=t2， 把s=18代入，得18=t2， 解得 t=，或t=-（舍去）． 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）解方程：． 【答案】或 【分析】把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法解方程是解本题的关键． 18．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）解方程: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）移项后直接开方法即可求得答案; （2）移项后配方法即可求得答案． 【详解】（1）解:∵, ∴移项得:, ∴, ∴; （2）解:∵, ∴移项得:, ∴配方得:, ∴整理得:, ∴直接开方得:; ∴移项得:． 19．（2023·北京·一模）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】先根据方程解的定义得到，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子去括号，合并同类项得到，据此代值计算即可． 【详解】解；∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，整式的化简求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 20．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值； (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根的判别式： （1）根据一元二次方程解的定义把代入原方程求出m的值即可； （2）求出即可证明结论． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得； （2）证明：由题意得，， ∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 21．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值． 解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4， （y＋2）2≥0， （y＋2）2＋4≥4 y²＋4y＋8的最小值是4 （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）3；（2），有最小值为4 【分析】（1）利用配方法把化为，根据平方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原始变形，根据平方的非负性解答即可． 【详解】（1）， ， 的最小值为3； （2）， ， ， 当，即时，有最小值为4． 【点睛】本题考查配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 22．（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答． （2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答． （3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． （4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． 【详解】（1）解： 移项，得 配方，得，即 ∴ 解得，； （2）解： ∴ 解得； （3）解： 则 解得； （4）解： ∴ 解得． 23．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数 【答案】6 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（23-24九年级下·北京·阶段练习）梅兰竹菊，被称为“四君子”，在中国文化中具有非常重要的象征意义，代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中，某班同学在长、宽的展板上展出了四幅书画作品．每幅作品面积为（作品尺寸均相同），如图所示，作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【答案】彩色纸带的宽为 【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 设彩色纸带的宽为，根据题目条件列出方程，求出其解就可以． 【详解】解：设彩色纸带的宽为， 根据题意，得， 整理，得． 解方程，得(不合题意，舍去)． 答：彩色纸带的宽为． 25．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 【答案】(1) (2)该车刹车后秒内向前滑行了米 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：依题意，， ，， 则 依题意，， 即 解得：或（舍去） 答：该车刹车后秒内向前滑行了米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$