小升初典型奥数：行程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

行程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．相遇问题 【知识点归纳】 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 2．追及问题 【知识点归纳】 1．追及问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 3．流水行船问题 【知识点归纳】 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题． 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度＝船速+水速，（1） 逆水速度＝船速﹣水速．（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程． 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速＝顺水速度﹣船速， 船速＝顺水速度﹣水速． 由公式（2）可以得到： 水速＝船速﹣逆水速度， 船速＝逆水速度+水速． 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量． 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速＝（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速＝（顺水速度﹣逆水速度）÷2． 4．环形跑道问题 【知识点归纳】 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 5．列车过桥问题 【知识点归纳】 （1）火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和． （2）火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和． （3）火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度． 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行． 第二部分 典型例题 例题1．甲、乙、丙三人环湖跑步锻炼，同时从湖边一固定点出发，乙、丙二人同向，甲与乙丙反向，在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇乙。已知甲速遇乙速的比是3∶2，湖的周长是2000米。求甲、乙、丙三人的速度每分钟各是多少米？ 【答案】甲：240米/分；乙：160米/分；丙：80米/分 【分析】在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇乙，则甲乙二人相时间为1.25＋3.75＝5（分），两人相遇时共行了一周即2000米，所以两人的速度和为每分钟2000÷5＝400（米）。甲乙两人的速度比为3∶2.由此可知甲的速度为每分钟400×＝240（米）。由于甲与乙相遇时间为5分钟，甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，则甲丙的相遇时间为5＋1.25＝6.25（分），则丙的速度为每分钟2000÷6.25－240米。 【详解】甲的速度为每分钟： 2000÷（1.25＋3.75）× ＝2000÷5×， ＝240（米）； 乙的速度为每分钟： 2000÷5﹣240 ＝4000﹣240， ＝160（米）。 丙的速度为每分钟： 2000÷6.25﹣240 ＝320﹣240， ＝80（米）。 答：甲每分钟跑240米，乙每分钟跑160米，丙每分钟跑80米。 【点睛】根据“甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇乙”求出甲乙的相遇时间，进而求出两人的速度和是完成本题的关键。 例题2．小红家和小军家相距760 m，两人同时从家出发相向而行，经过8分钟相遇，小红每分钟走45 m，小军每分钟走多少米？ 【答案】50米 【详解】760÷8＝95（米） 95－45＝50（米） 答：小军每分钟走50米 例题3．甲从A地去B地，每小时行15千米。返回时速度提高，结果少用3小时。请问A、B两地的距离是多少千米？ 【答案】270千米 【分析】思路一：盈亏问题思想 返回每小时多行 15×＝3千米，返回每小时行 15＋3＝18千米，如果继续行3小时，可以多行3×18＝54千米，说明去的时间是54÷3＝18小时。 因此两地之间的距离是15×18＝270千米。 思路二：工程问题思想 去的时间看作单位1，返回的时间是 1÷（1＋）＝ ，3小时就相当于1－＝， 则去用的时间是3÷＝18小时。两地之间的距离是15×18＝270千米。 思路三：设数的思想 返回每小时行15×（1＋）＝18千米，往返1千米少用－＝小时， 现在少用3小时，需要往返3÷＝270千米。 【详解】方法一：[（15×＋15）×3] ÷3×15 ＝[18×3]÷3×15 ＝18×15 ＝270（千米） 方法二：1－1÷（1＋） ＝1－ ＝ 3÷×15 ＝18×15 ＝270（千米） 方法三：15×（1＋）＝18（千米） 3÷（－） ＝3÷ ＝270（千米） 答：A、B两地的距离是270千米。 【点睛】对于行程问题我们也可以通过其它的思路方法来解题，多思考找准数量关系，开拓思维。 第三部分 高频真题 一、选择题 1．猎豹跑一步长为2米, 狐狸跑一步长为1米．猎豹跑2 步的时间狐狸跑3步，猎豹距离狐狸30米, 则猎豹跑动（    ）米可追上狐狸. A．90 B．105 C．120 D．135 2．淘气要给笑笑送作业，它们同时从家出发相向而行。淘气家离笑笑家840m，淘气的步行速度是70米/分，笑笑的步行速度是50米/分。他们出发后（    ）分钟相遇。 A．7 B．8 C．8.5 D．7.5 3．甲、乙两地相距216千米，客车与货车同时从两地相对开出，2小时后相遇。客车与货车的速度比是5∶4，客车每小时行（    ）千米。 A．60 B．64 C．72 D．84 4．货车和客车分别由甲乙两地相对开出，在货车离甲地30公里处与客车相遇，相遇后两车继续前进，分别到达甲乙两地后立即返回，途中在离乙地21公里处，货车又与客车相遇。问甲乙两地的距离是多少公里？（    ）。 A．39 B．69 C．81 D．111 5．两地间的路程是455千米，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过3.5小时相遇。甲车每小时行68千米，乙车每小时行多少千米？正确的列式是（    ）。 A．（455－68）÷3.5 B．（455－68）÷（68÷3.5） C．455÷3.5－68 6．甲，乙两船同时从相距250千米的码头相向而行，6时后相遇。甲船每时行驶21千米，乙船每时行驶m千米。下面所列方程正确的是（    ）。 A． B． C． 7．甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距（    ）千米。 A．120 B．100 C．80 D．60 8．一列火车全长1000米,以每分钟1500米的速度通过一座长5000米的大桥,从车头上桥到车尾离开桥共需(　　)分钟． A．4 B．5 C．6 D．7 9．甲乙两地间的公路长336千米，两辆汽车从两地同时相对开出，经过3.5小时在途中相遇。已知甲地开出的汽车每小时行52千米，乙地开出的汽车每小时行（    ）。 A．48千米 B．44千米 C．42千米 10．有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走35米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？（    ）。 A．1000米 B．1147米 C．5850米 D．10000米 11．已知A、B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A、B两地出发，相向而行，在距A地140米处相遇；如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速度是每秒（    ）米． A．2 B．2 C．3 D．3 12．甲、乙两人由相距60km的两地同时出发相向而行，甲步行每小时走5km，乙骑自行车，3h后两人相遇，则乙的速度为每小时（    ）。 A．5km B．10km C．15km 13．小张从家到单位有两条一样长的路。一条是平路、另一条是一半上坡路，一半下坡路，小张上班走这两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的（    ）倍。 A． B． C． D． 14．小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（    ）分钟． A．6 B．8 C．10 D．12 15．从甲地到乙地，小明的平均速度是每分钟120米，已知他往返的平均速度是每分钟90米，那么他返回的平均速度是每分钟（    ）米。 A．60 B．72 C．75 D．105 16．两列火车长度分别为200米和180米，相向而行，它们在双轨铁路上从车头相遇到车尾离开的时间为10秒，已知一列火车的速度为16米/秒，则另一列火车的速度是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 17．小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了1个小时，假设小明当天平路骑行速度为9千米/小时，上坡速度为6千米/小时，下坡速度为18千米/小时，那么小明的家距离学校多远？（    ）。 A．3.5千米 B．4.5千米 C．5.5千米 D．6.5千米 18．甲乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行。甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米。与甲同时同地同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，这只狗就这样往返于甲乙之间，直到两人相遇为止，则相遇时这只狗跑了（    ）千米。 A．20 B．18 C．24 D．25 19．甲、乙两人分别从A、B两地相向而行（如下图），甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，经过5分钟两人相遇。相遇地点靠（    ）近。 A．A地 B．B地 C．无法确定 二、填空题 20．小刚的爸爸自制了一套电动玩具。当闹钟分别正点指向上午7点和中午1点时，电子狗便吹号。一旦表盘上分针与时针走成反向一条直线，电子狗便“汪……汪”叫唤。小刚爸爸欲用此物提醒小刚吃早餐和睡午觉。问小刚在睡午觉过程中，花去( )分钟。 21．小明和小刚在同一地点同时出发，沿着400m的环形跑道跑步，小明跑一圈用3分钟，小刚跑一圈用4分钟，( )分钟后两人会在起点第一次相遇。 22．甲、乙两人在一条长 120 米的直路上来回跑, 甲的速度是 5 米/秒, 乙的速度是 3 米/秒. 若他们同时从同一端出发跑了 15 分钟, 则他们在这段时间内共迎面相遇 次（端点除外）. 23．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，( )分钟能追上。 24．甲乙丙三人，甲每分走50米，乙每分走60米，丙每分走70米。甲、乙两人从东镇，丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后2分钟再遇到甲，两镇距离是( )米。 25．绕湖的一周是22千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以4千米/小时的速度每走一小时后休息5分钟，乙以6千米/小时的速度每走50分钟休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用 分钟． 26．甲、乙两车从同一地点出发沿同一高速公路从 A 地到 B 地．甲车先出发 2 小时，乙车出发后经 5 小时与甲车同时到达 B 地．如果乙车时速增加 8 千米，那么，出发后 4 小时可追上甲车．A 地与 B 地的距离是( )千米. 27．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，甲到达A，B中点C时，乙距C点还有240米，乙到达C点时，甲已经超过C点360米，则两人在D点相遇时，CD的距离是 米． 28．如图所示，甲沿长为米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动路线的次序：）．如果甲、乙两人同时从点出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒3米和5米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒． 29．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面。从站台到地面有( )级台阶。 30．一艘轮船从甲地到乙地每小时航行30千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度为40千米，则返回时每小时应航行 千米。 31．甲乙二人在铁道旁的小路上相背而行，速度都是每秒行1米。一列火车匀速向甲迎面驶来，列车在甲身边开过用了15秒钟，而后在乙身边通过用了17秒钟。这列火车车长是( )米。 32．货车每小时40km，客车每小时60km，A，B两地相距360km，同时同向从甲地开往乙地，客车到乙地休息了半小时后原速返回，问从甲地出发后 小时两车相遇。 33．王蕾和姐姐从家步行去体育馆打羽毛球，已知姐姐每分钟比王蕾多走20米，25分钟后姐姐到体育馆，这时姐姐发现没有带球拍，于是立即按原路返回取球拍，在离体育馆300米的地方遇到了王蕾．则王蕾家到体育馆的路程是 米． 34．甲、乙两人同时从A、B两地开车相向而行，经过2小时在距中点21千米处相遇。甲的平均速度为x千米/小时，乙比甲的少6千米，乙的平均速度为( )千米小时；已知，那么A、B两地相距( )千米。 35．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，4小时可相遇；若两人的时速都增加3千米，则出发后3小时30分可相遇. A、B两地相距 千米. 36．如图所示，甲、乙两人从长为米的圆形跑道的点背向出发跑步．跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒米．两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距点还有 米． 三、解答题 37．一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？ 38．龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题： 它们谁胜利了？为什么？ 39．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地的距离． 40．甲乙两人同时从学校出发去距离33千米外的公园，甲步行的速度是每小时4千米，乙步行的速度是每小时3千米．他们有一辆自行车，它的速度是每小时5千米，这辆车只能载一个人，所以先让其中一人先骑车到中途，然后把车放下之后继续前进，等另一个人赶到放车的位置后再骑车赶去，这样使两人同时到达公园．那么放车的位置距出发点多少千米？ 41．平平家、丽丽家和学校在一条直路上，且平平家和丽丽家到学校的路程相等。某日，他们从家同时出发往对方家走去，平平每分钟走56米，丽丽每分钟走48米，两人在距学校36米处相遇，平平家和丽丽家相距多少米？ 42．在一条长400米的环形跑道上，正在进行一场5000米的长跑比赛．1号队员的平均跑步速度是每秒6米，2号队员平均每分钟跑0．8圈．当1号队员与2号队员在比赛开始一段时间后又并肩而跑的时候，l号队员距离终点还有多远？ 43．A、B两地相距600米，甲乙两人同时分别从A、B两地向同一个方向行走，甲前乙后。甲每分钟行40米，6分钟后乙追上甲，乙的速度是多少？ 44．静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？ 45．甲、乙两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为3∶5，AB两地相距1000米，则甲乙两车第1次相遇时，距离B地多少米？ 46．小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理份，小李每分钟整理份，小王迟到了分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？ 47．A、B两地相距480km，甲走完全程需要6小时，乙走完全程需要12小时，现在甲从A地出发，乙从B地出发，相向而行，相遇之后甲立即返回，乙继续向A地前进，当甲返回到A地时，乙距离A地多少千米？ 48．甲乙两个码头相距336千米，一艘轮船从乙码头逆水而上，行了14小时到达甲码头。已知船速是水速的13倍，这艘轮船从甲码头返回需要几小时？ 49．八戒和悟空两家相距千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行千米，八戒每小时行千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？ 50．一列火车以同一速度驶过两座大桥，第一座长360米，用了24秒，第二座长480米，用了28秒，这列火车长多少米？ 51．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟． 52．下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米．两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？ 参考答案： 1．C 【详解】设猎豹跑2步的时间狐狸跑3步为1秒，猎豹每跑2×2=4米，狐狸跑1×3=3米，则每秒猎豹每跑4米，比狐狸多跑4-3=1米，30÷1=30秒，30×4=120米． 2．A 【分析】根据路程÷速度和＝相遇时间，据此求出他们出发后相遇的时间。 【详解】840÷（70＋50） ＝840÷120 ＝7（分钟） 故答案为：A 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：要熟练掌握。 3．A 【分析】根据：路程÷时间＝速度，求出辆车的速度和；客车的速度看作5份，货车的速度是4份，两车的速度和是9份，客车的速度占速度和的，再根据分数乘法的意义求出客车的速度。 【详解】216÷2× ＝108× ＝60（千米） 答∶客车每小时行60千米。 故选：A。 【点睛】此题先求出两车的速度和，再根据按比例分配来解答。 4．B 【分析】第一次相遇时，两车共行了甲乙两地的距离，其中甲地出发的货车行了30公里；即每行一个甲乙两地的距离，甲地出发的货车就行一个30公里，第二次相遇时，两车共行了甲乙两地距离的3倍，则甲地出发的货车行了30×3＝90公里；这时货车行了一个单程多21公里；故全程是90－21＝69公里。 【详解】30×3－21 ＝90－21 ＝69（公里） 故答案为：B。 【点睛】抓住每行一个甲乙两地的距离，甲地出发的货车就行一个30公里是解答本题的关键。 5．C 【分析】根据题意列数量关系式：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝路程和，乙车的速度＝路程和÷相遇时间－甲车的速度，据此用455÷3.5－68即可求出乙车的速度。 【详解】455÷3.5－68 ＝130－68 ＝62（千米） 乙车每小时行62千米。 故答案为：C 【点睛】本题考查了小数除法的应用以及相遇问题，关键是熟练掌握时间、速度、路程三者之间的关系。 6．B 【分析】解决相遇问题的依据是：甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝路程，据此解答即可。 【详解】由分析可列方程： 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了学生对相遇问题数量关系的掌握以及列方程解方程的能力。 7．A 【详解】略 8．A 【详解】略 9．B 【分析】根据题意可知，设乙地开出的汽车每小时行x千米，用（甲地开出的汽车速度＋乙地开出的汽车速度）×相遇时间＝甲、乙两地之间的公路长度，据此列方程解答。 【详解】解：设乙地开出的汽车每小时行x千米， （52＋x）×3.5＝336 （52＋x）＝336÷3.5 52＋x＝96 x＝96－52 x＝44 故答案为：B 【点睛】本题考查相遇问题，根据题意，找出相关的量，列方程，解方程。 10．C 【分析】根据甲和乙相遇3分钟和丙相遇，则丙到甲乙相遇点的距离可求出，即（40＋35）×3＝225米。因为乙每分钟比丙多行（38﹣35）＝3米，因此，甲乙的相遇时间可以求出，即225÷3＝75分。最后用甲乙的速度和×相遇时间，问题得解。 【详解】[（35＋40）×3]÷（38﹣35） ＝（75×3）÷3 ＝225÷3 ＝75（分） （40＋38）×75 ＝78×75 ＝5850（米） 故答案选：C 【点睛】本题考查相遇问题，关键是求甲乙的相遇时间。 11．D 【详解】略 12．C 【分析】根据题意，设乙的速度为每小时xkm，根据相遇时甲走的路程＋乙行走的路程＝总路程列出方程求解即可。 【详解】解：设乙速度为每小时xkm。 5×3＋3x＝60 15＋3x＝60 3x＝60－15 3x＝45 x＝45÷3 x＝15 即乙的速度为每小时15km。 故答案为：C 【点睛】利用速度、时间和距离三者关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 13．D 【分析】由“小张从家到单位有两条一样长的路，小张上班走这两条路所用的时间一样多”可知，两条路的路程和时间一样，则它们的平均速度也是一样的。设从家到单位的距离是1，时间是1，则下坡的时间为：÷1.5＝，上坡的时间为：1－＝，根据“上坡的路程÷上坡的时间”进行解答即可。 【详解】设从家到单位的距离是1，时间是1，则一半的路程是； 下坡时间：÷1.5＝； 上坡时间：1－＝； ÷＝； ÷1＝； 故答案为：D 【点睛】明确两条路的路程和时间一样，平均速度也一样是解答本题的关键。 14．C 【详解】方法一：单位“1”和假设法，设小明家距学校的路程为“1”，乘地铁的速度为，乘公交车速度为，40-6=34分钟，假设全程都做地铁，能走×34=，所以坐公交车用了（-1）÷（-）=10分钟． 方法二：设数法和假设法，设小明家距学校的路程为[30，50]=150m，乘地铁的速度为150÷50=3m/min，乘公交车速度为150÷30=5m/min，40-6=34分钟，假设全程都做地铁，能走5×34=170m，所以坐公交车用了（170-150）÷（5-3）=10分钟． 方法三：时间比和比例．同一段路程，乘地铁和乘公交车时间比为3:5，全程乘地铁需要30分钟，有一段乘公交车则用40-6=34分钟，所以乘公交车的那段路比乘地铁多用34-30=4分钟，所以坐公交车用了4÷（5-3）×5=10分钟． 答案选C． 15．B 【分析】设甲乙之间的距离为单位“1”，则甲地到乙地的时间＝路程÷速度＝，往返的平均速度＝2倍的路程÷（去的时间＋返回的时间）。可以求出返回的时间。返回的速度＝路程÷时间。 【详解】甲地到乙地的时间：1÷120＝ 去的时间＋返回的时间：2÷90＝ 返回的时间：－＝ 返回的速度：1÷＝72（米/分钟） 故答案选：B 16．D 【详解】（200+180-16×10）÷10 =（380-160）÷10 =220÷10 =22（米/秒） 故答案为D． 【点睛】考查了错车问题．两辆火车从车头相遇到车尾离开，走了它们本身长的和，即200+180=380米，用行驶的总路程减去已知的一列速度为16秒的火车行驶的路程，再除以它们行驶的时间即可． 17．B 【解析】由题意可知，往返上坡和下坡的路程相同，求出上坡和下坡的平均速度：v＝＝＝9千米/时，则全程的平均速度为9千米/小时，根据“速度×时间＝路程”求出往返的总路程，再除以2即小明家到学校的距离。 【详解】＝9（千米/时） 9×1÷2 ＝9÷2 ＝4.5（千米） 故答案为：B 【点睛】明确往返上坡和下坡的路程相同，进而求出它们的平均速度是解答本题的关键。 18．D 【分析】此题主要考查了相遇应用题，根据题意可知，先求出甲与乙的相遇时间，总路程÷甲、乙的速度和＝相遇时间，因为狗与甲同时同地同向出发，而狗在一直跑，狗跑的速度×相遇时间＝狗跑的路程，据此列式解答。 【详解】相遇时间： 30÷（3.5＋2.5） ＝30÷6 ＝5（小时） 5×5＝25（千米） 故答案为：D 【点睛】此题关键是理清狗跑的时间就是甲乙两人的相遇时间。 19．A 【分析】用甲每分钟走的路程乘5就算出甲走的总路程，用乙每分钟走的路程乘5计算出乙走的总路程，比较甲和乙走的总路程，谁走的少，相遇地点就靠谁近。 【详解】50×5＝250（米） 60×5＝300（米） 250米＜300米，所以相遇地点靠甲近。 故答案为：A。 【点睛】本题考查的是相遇问题，关键是根据路程＝速度×时间，分别计算出甲和乙走的路程。 20． 【解析】时针和分针都是顺时针方向转动，1点时，分针落后时针30度，当分针与时针走成反向一条直线时，时针与分针夹角180度，这段时间里分针比时针多走了210度，分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度，按照行程问题求解。 【详解】 （分钟） 所以小刚在睡午觉过程中，花去分钟。 【点睛】本题考查的是钟表里面的行程问题，路程差、速度差、追及时间的关系同样适用。 21．12 【分析】小明回到起点用的时间是3分钟的整数倍，小刚回到起点是4分钟的整数倍，则第一次相遇的时间就是3和4的最小公倍数，因此得解。 【详解】3×4＝12（分钟） 【点睛】本题考查最小公倍数的求法：两个数的公有质因数与每一个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。 22．23 【详解】略 23．45 【分析】不论是哪种情况，当小亮出发时，两人的距离是不变的，而小明的速度也是不变的，小明的速度相当于的牛吃草问题中的草速，小亮出发时两人的距离相当于是原草量，按照牛吃草问题求解即可。 【详解】小明在小时内走了千米，那么小明的速度为（千米/时）； 追及距离为： （千米） 汽车去追的话需要： （小时） 小时（分钟） 所以45分钟能追上。 【点睛】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合，解题的关键在于转化，寻求其与牛吃草问题的联系。 24．3120 【分析】设丙和乙的相遇时间为未知数，表示出丙和甲的相遇时间，根据路程和都是全程列方程求解。 【详解】解：设丙和乙经过x分钟后相遇，则丙和甲经过（x＋2）分钟后相遇； （千米） 【点睛】本题考查的是多人相遇问题，对于这类题目，列方程求解是比较方便的。 25．148 【详解】两人的速度和为4+6=10千米/小时，一周为22千米，22÷10=2.2小时，所以两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲、乙都休息完2次，此时： 甲行驶了130-5×2=120分钟=2小时，行驶的路程为：4×2=8（千米） 乙行驶了：6×（130-20）÷60=660÷60=11（千米） 相遇还需时间：（22-8-11）÷（4+6） =3÷10 =0.3（小时） =18分钟 130+18=148（分钟） 故答案为148. 【点睛】考查用推理与论证解决行程问题，得到在不同时间内的相应速度是解决本题的易错点． 26．560 【详解】略 27．144 【详解】略 28．600 【详解】从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在、两点处相遇（本题中，虽然在处时两人都是顺时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）． 从到，在大圆周上是半个圆周，即200米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是200米．两人的速度之比为，那么两人跑200米所用的时间之比为．设甲跑200米所用的时间为5个时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位．根据题意可知，1个时间单位为秒． 可以看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在点或点，而且是奇数倍时在点，是偶数倍时在点；乙跑的时间是3个时间单位的整数倍时，乙才可能在点或点，同样地，是奇数倍时在点，是偶数倍时在点． 要使甲、乙在、两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍（由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是15个时间单位、30个时间单位、45个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后，也就是说，出发后秒两人第三次相遇． 也可以画表如下： 甲 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 乙 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在点，经过30个时间单位后两人同在点，经过45个时间单位后两人同在点，这是两人第三次相遇． 29．60 【分析】如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面；扶梯的级数不变，扶梯的速度不变，可以采用牛吃草问题的方法求解。 【详解】20÷1＝20（秒） 30÷2＝15（秒） 采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：（级） 电梯的速度为： （级/秒） 扶梯长度为： （级） 所以从站台到地面有60级台阶。 【点睛】本题是将行程中的扶梯问题与牛吃草问题相结合，求解问题的关键是建立二者的联系。 30．60千米 【分析】把总航程单程看作单位为“1”，根据“路程÷速度＝时间”，求出去时的时间为时；往返时间为时；则返回的时间为时；根据“路程÷时间＝速度”，解答即可。 【详解】把甲地到乙地的路程看作单位“1”，则甲地到乙地的时间为：， 往返时间为：，返回时间为：， 返回时速度为：（千米/时） 答：返回时每小时应航行60千米。 【点睛】本题是简单的行程问题，根据路程、速度和时间的关系进行分析解答即可． 31．255 【分析】列车在甲身边开过用了15秒钟，而后在乙身边通过用了17秒钟，说明与甲是相遇的情况，与乙是追及的情况，由于火车过桥问题的特殊性，这里路程和与路程差都是车长，设车速为未知数，根据路程和与路程差都是车长列方程求解。 【详解】解：设列车每秒行驶x米； （米） 【点睛】本题考查的是火车过桥问题中火车与点状物的相遇与追及问题，路程和与路程差等于车长是求解问题的关键。 32．7.5 【分析】用总路程除以客车速度求出客车到乙地的时间，由于客车休息了半小时，所以货车多行了0.5小时，用货车的速度乘货车行驶的总时间求出乙车返回时货车行驶的路程，此时两车相向而行，用两车间隔的距离除以速度和求出相遇时间，再加上此前货车行驶的总时间就是两车从甲地出发后相遇的时间。 【详解】360÷60=6（小时）， 客车返回时货车行驶的路程： 40×（6+0.5） =40×6.5 =260（千米） 相遇时间： （360-260）÷（40+60）+6+0.5 =100÷100+6.5 =1+6.5 =7.5（小时） 故答案为：7.5。 33．1500 【详解】根据“姐姐每分钟比王蕾多走20米，25分钟后姐姐到体育馆”可得，姐姐到达体育馆时，王蕾离体育馆还有20×25＝500米的路程；根据“姐姐按原路返回时，在离体育馆300米的地方遇到了王蕾”可知，从姐姐开始返回直到姐妹二人相遇这段时间内，姐姐走了300米，王蕾走了500－300＝200米，由此可得出，姐妹二人步行的速度比是3：2；已知姐姐的速度比王蕾快20米／分，所以姐姐的速度是米／分，则王蕾家到体育馆的路程是60×25＝1500米． 解：姐妹二人的速度比是：300：（20×25－300）＝300：200＝3：2， 姐姐的速度是：（米／分）， 王蕾家到体育馆的路程是：60×25＝1500（米）. 答：王蕾家到体育馆的路程是1500米． 34． x－6 198 【分析】根据题意，甲的平均速度为x千米/小时，乙比甲的少6千米，所以乙的平均速度为（x－6）千米/小时；根据总路程＝速度和×相遇时间，已知，把数据代入行程公式解答即可。 【详解】由分析可知： 甲的平均速度为x千米/小时，乙比甲的少6千米，所以乙的平均速度为（x－6）千米/小时； 当x＝60时，A、B两地相距： （60＋×60－6）×2 ＝（60＋45－6）×2 ＝99×2 ＝198（千米） 【点睛】本题考查了用字母表示数和行程问题，根据题意解答即可。 35．168 【详解】相遇问题路程=甲乙速度和相遇时间，设甲乙的速度和为， ，所以路程（千米）. 36．150 【详解】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到点，即两人在点迎面相遇，然后再从点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期． 在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是点．本题要求的是第99次迎面相遇的地点与点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与点的距离． 对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了米，这就是第一次相遇点与点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与点的距离． 37．1560米 【详解】1分=60秒 30×60-240=1560（米） 答：这座桥长1560米． 38．乌龟胜利了．见解析 【详解】乌龟胜利了． 因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟跑到终点还要(分钟)，而小兔跑到终点还要(分钟)，慢1分钟． 当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：(米)． 39．176千米 【分析】甲车速度是乙车的1.2倍，甲、乙两车速度比是6：5，相遇时甲车和乙车行驶的路程比是6：5，甲车行驶的路程为6份，乙车行驶的路程为5份，甲车比乙车多行驶了1份路程，一份是2×8=16千米，A、B两地的距离就是11×16=176千米． 【详解】2×8×（6+5）=176(千米) 答：A、B两地相距176千米． 40．9千米或24千米 【详解】根据两人到达公园所花时间相等这一等量关系可列出方程，设放车的位置距出发点x千米，如果甲先骑车,方程为：，如果乙先骑车,方程为：，两条方程分别解得x=9和x=24，所以有9千米和24千米两种答案. 41．936米 【分析】平平家、丽丽家和学校在一条直路上，且平平家和丽丽家到学校的路程相等。由此判断平平家、丽丽家在学校的两侧。因为平平速度快，所以相遇的地点在学校到丽丽家那一段路上。相遇时平平比丽丽多走了2×36＝72米，平平每分钟比丽丽多走56－48＝8米，那么72米除以8米就是两人从出发到相遇走的时间，再根据“速度和×相遇时间＝路程”计算平平家和丽丽家相距多少米，据此解答。 【详解】 （米） 答：平平家和丽丽家相距936米。 【点睛】本题考查相遇问题，解题关键在于分析清楚平平在相遇时间内走完了相遇时丽丽走的距离和36米的2倍距离，再应用相遇问题的公式求解。 42．1400米 【详解】先统一两个队员跑步的速度单位：l号队员：6×60=360（米／分钟）；2号队员：400×0．8=320（米／分钟） 追及时间：400÷（360-320）=10（分钟） 此时1号队员跑了：360×10=3600（米） 距离终点：5000-3600=1400（米） 答：l号队员距终点还有1400米． 43．140米/分 【分析】可以设乙的速度是x米/分，由于分别向同一个方向走，当乙走的路程比甲多走600米时，能够追上，即用乙的路程－甲的路程＝600，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设乙的速度是x米/分。 6x－40×6＝600 6x－240＝600 6x＝600＋240 6x＝840 x＝840÷6 x＝140 答：乙的速度是140米/分。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，关键是找准等量关系是解题的关键。 44．11小时 【分析】乙船先开出的2小时行驶了（18＋4）×2＝44（千米），即甲船开出时，两船相距44千米，因两船均是顺水行驶，所用甲船每小时比乙船多行驶22－18＝4（千米/小时），用两船距离除以速度差，就是甲船追上乙船所用时间。 【详解】（18＋4）×2÷（22－18） ＝22×2÷4 ＝44÷4 ＝11（小时） 答：甲船11小时可以追上乙船。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是求出相距路程和速度差，关于追及问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 45．250米 【分析】同时同地出发再返回的相遇，仍然满足时间相同，路程之比等于速度之比，故两人的路程之比为3∶5，两人共走完了两倍的全程，总路程÷总份数，求出一份数对应的路程，再用一份数×甲的对应份数＝甲的路程，AB两地距离－甲的路程＝距离B地的距离。 【详解】1000×2÷（3＋5）×3 ＝2000÷8×3 ＝750（米） 1000－750＝250（米） 答：距离B地250米。 【点睛】关键是理解比的意义，将比的前后项看成份数。 46．720份 【详解】本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到分钟这段时间，小李整理报纸的份数（份），速度差：（份/分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是（分钟）．共整理报纸：（份） 47．160 【分析】先分别算出甲乙的速度，再算出甲乙相遇时用了几个小时，再算出甲返回到A地时，距离乙从B地出发过去了几个小时，用12减去这几个小时再乘上乙的速度即可算出乙距离A地多少千米。 【详解】甲的速度：480÷6＝80（千米/时） 乙的速度：480÷12＝40（千米/时） 甲、乙相遇时间：480÷（80＋40） ＝480÷120 ＝4（小时） 乙距离出发的时间过去了：2×4＝8（小时） 所以乙距离到达A地的时间还剩：12－8＝4（小时） 所以乙距离A地的路程还剩：40×4＝160（千米） 答：乙距离A地还有160千米。 【点睛】本题考查了学生对问题的分析理解能力，对时间、路程、速度三者关系的熟练掌握程度。 48．12小时 【分析】首先根据距离和时间求出逆水速度。逆水速度＝船速－水速；又已知船速是水速的13倍，根据差倍公式可求处水速；进而可以求出顺水速度；再根据时间＝路程÷速度求出返回时间。 【详解】逆水速度是：336÷14＝24（千米/时） 根据差倍公式，可求： 水速：24÷（13－1） ＝24÷12 ＝2（千米/时） 顺水速度：24＋2＋2＝28（千米/时） 返回时间是：336÷28＝12（小时） 答：这艘轮船从甲码头返回需要12小时。 【点睛】熟练掌握逆水速度＝船速－水速；顺水速度＝船速＋水速以及差倍公式是解答本题的关键。 49．悟空135千米，八戒120千米 【详解】要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间：（小时）．悟空：（千米），八戒：（千米）． 50．360米 【分析】根据速度＝路程差÷时间差，路程差：480－360＝120（米），时间差：28－24＝4（秒）可求出速度，车长＝路程－桥长，据此解答。 【详解】速度：（480－360）÷（28－24） ＝120÷4 ＝30（米/秒） 车长：30×24－360 ＝720－360 ＝360（米） 答：这列火车长360米。 【点睛】解答此题关键是求出火车速度，明确每次行的路程＝车长＋桥长。 51．42分钟 【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题． 首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2． 其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2， 而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达． 解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即： ，解得，t=42． 52．7 【详解】两人第一次相遇需分，其间乙走了（米）．由此知，乙没走135米两人相遇一次，依次可推出第7次在CD边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数） 学科网（北京）股份有限公司 $$