精品解析：2024年山东省春季高考数学试题

2024年山东省春季高考真题 一、选择题： 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，则在平面直角坐标系中，最长的线段是（ ） A. OC B. OB C. AC D. BC 6. 函数是偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA中点，则下列运算结果为单位向量的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上减函数，若，则x的取值范围为（ ） A B. C. D. 11. 如果a，b除以m（）所得的余数相同，则称整数a，b关于模m同余，记作，若，则m可能的取值是（ ） A. 2 B. 11 C. 22 D. 31 12. 已知直线l与直线垂直，则直线l的斜率是（ ） A. B. C. D. 13. 某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 14. 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 15. 已知命题p、q，若是真命题，则下列结论正确的是（ ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p、q都是假命题 D. p是假命题，q是真命题 16. 某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 17. 已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，若，则焦点F到准线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 18. 二元一次不等式组所表示的平面区域用阴影区域表示是（ ） A. B. C. D. 19. 某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 90 20. 正三棱锥的棱长都是2，是的中点，则下列结论：①；②与异面；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是；其中正确的结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 二、填空 21. 在等差数列中，______ 22. 椭圆的离心率是_________ 23. _____ 24. 一组数9，13，12，13，10平均数，每个数都减，方差为_____ 25. 与的两个相邻交点的距离的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移个单位得到的图像，，则_________ 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 26. 已知过点 （1）求 （2）的定义域为，求m的取值范围. 27. 在等比数列中，公比， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 28. 长方体中，E、F分别是和的中点 （1）证明EF⊥BD （2）求与BC所成角的大小（精确到1°） 29. 三角形ABC中D为BC上一点， （1）求 （2）若，求 30. 双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 （1）求双曲线的方程 （2）点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年山东省春季高考真题 一、选择题： 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合与元素，集合与集合之间的关系即可求解 【详解】对A: 为自然数集，为整数集，所以，故A正确； 对B：为有理数集，为无理数，所以，故B错误； 对C: 没有任何元素，所以，故C错误； 对D：为自然数集，所以，故D错误. 故选：A. 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】对A：若，则，故A选项错误： 对B：，则，又因为利用同向不等式的可加性，则，故B正确； 对C：若，则，故C选项错误； 对D：若，则，故D选项错误. 故选：B. 3. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程易得答案. 【详解】因为， 故圆心坐标是. 故选：C. 4. 不等式的解集是，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据含绝对值的不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式，解得， 又因为不等式的解集是， 即， 所以有， 所以. 故选：B. 5. 如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，则在平面直角坐标系中，最长的线段是（ ） A. OC B. OB C. AC D. BC 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原三角形易得答案. 【详解】有斜二测画法图像知道原三角形是直角三角形， 是直角三角形的斜边，故是最长的线段. 故选：D. 6. 函数是偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选：A. 7. 已知，是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角所在的象限判断三角函数的符号易得答案. 【详解】因为是第二象限角，是第三象限角， 所以， 所以. 故选：C. 8. 如图所示，在中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算和相等向量和相反向量计算出结果易得答案. 【详解】由题意得： 对于A：， 因为，故为单位向量； 对于B：，，故不是单位向量； 对于C：，故不是单位向量； 对于D：， 因为，故不是单位向量. 故选：A. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和正切公式易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 10. 已知是定义在上的减函数，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数单调性的性质可得若，则有，解可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，若， 则，解得. 所以x的取值范围. 故选：B. 11. 如果a，b除以m（）所得的余数相同，则称整数a，b关于模m同余，记作，若，则m可能的取值是（ ） A. 2 B. 11 C. 22 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据差的结果的约数特点易得答案. 【详解】因，所以， 所以为的约数，又， 所以或. 故选：B. 12. 已知直线l与直线垂直，则直线l的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求斜截式直线方程的斜率，再根据两直线垂直易得答案. 【详解】因为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率是. 故选：D. 13. 某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据路程与时间的关系分析即可求解. 【详解】某人驾驶汽车出行，随着时间增加路程也增加，所以图像上升， 在途中休息时，随着时间增加，路程不变，故图像为一条直线； 继续行驶以后随着时间增长路程也持续增加，故图像上升. 故选：A. 14. 展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式的展开式通项，即可求得常数项. 【详解】的展开式通项为， 取常数项时，，故. 故选：B. 15. 已知命题p、q，若是真命题，则下列结论正确的是（ ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p、q都是假命题 D. p是假命题，q是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据：“原命题为真则命题为假”，：“一真为真，全假为假”即可判断. 【详解】因为 为真命题， 则为假命题， 又因为为假命题，则p、q都是假命题. 故选：C. 16. 某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列的间接法和插空法易得答案. 【详解】教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）站在一排照相共有种， 教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）至少有2名学生相邻 站在一排照相共有种， 所以至少有2名学生相邻的概率. 故选：D. 17. 已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，若，则焦点F到准线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点M与点N的坐标，即可求解p的值，即可求解焦点F到准线的距离. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 过F作垂直于x轴的直线与抛物线交于M、N两点， 所以点M与点N的横坐标为， 将代入抛物线方程可得， 所以可设， 因为，所以， 所以焦点F到准线的距离是2. 故选：B． 18. 二元一次不等式组所表示的平面区域用阴影区域表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二元一次不等式组的特点分析即可求解. 【详解】由题意可知，表示的平面区域为直线的下方， 表示的平面区域为直线及直线的下方， 其图像为 故选：D. 19. 某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合的优先考虑法和捆绑法易得答案. 【详解】先排甲乙二人，所以有种情况， 所以不同的安排的方法的个数为种. 故选：B. 20. 正三棱锥的棱长都是2，是的中点，则下列结论：①；②与异面；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是；其中正确的结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正三棱锥的性质，结合平行直线、异面直线、线面角的定义和锥体的体积公式逐一判断即可. 【详解】 取的中点分别为，连接交于点, 如图所示与不平行，故①不正确， 因为与既不平行又不相交，所以异面，故②正确； 因为正三棱锥，是底面中线的交点， 所以平面，所以是与平面的线面角， 因为正三棱锥的棱长是，是正三角形， 所以，，， 中，，， 所以， 所以，故③错误； 因为， , 所以正三棱锥的体积，故④正确. 故选：D. 二、填空 21. 在等差数列中，______ 【答案】 【解析】 【分析】根据数列是等差数列先求公差易得答案. 【详解】因为等差数列,, 所以, 所以. 故答案为:. 22. 椭圆的离心率是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求出易得答案. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 23. _____ 【答案】9 【解析】 【分析】利用向量内积的定义即可求解. 【详解】因为， 则. 故答案为：9. 24. 一组数9，13，12，13，10平均数为，每个数都减，方差为_____ 【答案】人教版：2.64，高教版：3.3. 【解析】 【分析】先求出这组数的，然后再减去，最后由这组新数求解平均数和方差即可. 【详解】， 所以每个数都减为， 所以这组数的平均数为， 解法一（针对人教版）： . 故答案为：2.64. 解法二（针对高教版）： . 故答案为：3.3. 25. 与的两个相邻交点的距离的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移个单位得到的图像，，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式将式子进行化简，再根据函数图像的变化求出相应的解析式即可求值. 【详解】因为， 令，则或， 即或， 又因为与相交且相邻两交点之间的最短距离为， 所以，解得， 所以， 现将的值缩小为原来的，值不变可得函数的图像； 再将图像向左平移个单位，得到的图像， 又，即， 结合可得，所以，解得， 所以， 则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 26. 已知过点 （1）求 （2）的定义域为，求m的取值范围. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式中即可求得的值； （2）先求出的解析式，再根据对数的真数大于零即可求解. 【小问1详解】 因为过点， 即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 因为， 且的定义域为， 即恒成立， 则， 解得， 所以m的取值范围为. 27. 在等比数列中，公比， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求出，即可求出； （2）先由求出数列的通项公式，再由通项公式判断数列为等比数列，带入前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 因为为等比数列，， 所以，可得， 解得或（舍） ， 所以. 【小问2详解】 因为， ，， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列. 又因为， 所以. 28. 长方体中，E、F分别是和的中点 （1）证明EF⊥BD （2）求与BC所成角的大小（精确到1°） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质和正方形对角线垂直易证答案； （2）找到异面直线所成角，再根据三角函数定义易得答案. 【小问1详解】 连接， 因为分别是和的中点， 因为是的中位线，所以， 因为正方形，所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以与所成角为， 因为是直角三角形， 因为， 所以， 所以. 29. 三角形ABC中D为BC上一点， （1）求 （2）若，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将代入即可求解； （2）由同角的基本关系求出，再利用三角形内角的关系和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知：， 即， 解得. 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为， 所以， 则， 由余弦定理，得： ， 所以. 30. 双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 （1）求双曲线的方程 （2）点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线和一个点易得答案； （2）根据向量关系找到根的关系，联立方程组利用韦达定理易得答案. 【小问1详解】 因为， 所以设双曲线的方程为，因为双曲线与圆交于， 所以， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 设， 因为， 所以圆：，所以，设直线的方程为， 所以， 因为， 联立方程， 根的判别式为 所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $