第十七章　勾股定理 　章末复习课件 2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十七章　勾股定理 第十七章　章末复习 知识点1　勾股定理 1.勾股定理 文字语言：直角三角形斜边的平方等于两直角边 的平方和． 几何语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2. 2.勾股定理的应用：在直角三角形中，已知任意两边长，求第三边的长度． 注：若未指明直角顶点或斜边，则需分类讨论所有可能的情况． 1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为2和3，则其斜边的长为（　　） B 2.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c. 图1 （1）若b＝4，c＝5，则a＝________； （2）若∠A＝45°，a＝6，则c＝________． 3 知识点2　勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 文字语言：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形． 几何语言：在△ABC中，a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°. 2.勾股定理逆定理的应用：利用三角形三边长之间的数量关系 判断该三角形是否为直角三角形． 拓展：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数． 3.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．0.6，0.8，1 C．5，12，13 D．7，8，12 C 4.已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且它们满足 （a＋b）2－c2＝2ab，则该三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 B 知识点3　原命题与逆命题 1.互逆命题：我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立． 2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 5.命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是________________ ________． 6.下列说法中，正确结论的个数是（　　） ①任何一个命题都有逆命题； ②若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题； ③若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题； ④任何一个定理都有逆定理． A．1 B．2 C．3 D．4 如果a＝b，那么 |a|＝|b| A 1．张大爷从家出发去散步，他先向正东方向走了60 m，接着又向正南方向走了80 m，则他此时距家的距离为（　　） A．60 m B．80 m C．100 m D．140 m C 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则点C到斜边AB的距离是（　　） D 3．图2是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边长和直角边长分别是13，12，则图中阴影部分的面积之和是（　　） 图2 A．16 B．25 C．144 D．169 B 4．如图3，一架人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长AB＝2.5 m，梯子完全撑开后顶端A离地面的高度AD＝2.4 m，则此时梯子侧面的宽度BC＝（　　） A．0.7 m B．1.4 m C．2.4 m D．2.5 m 图3 B 5．【数学文化】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图4所示的图形验证勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学定理和公式的方法，称为“无字证明”，它体现的数学思想是（　　） A．方程思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 图4 C 6．小明从一根长6 m的钢条上截取一段后，截取的钢条恰好可以与两根长分别为3 m，5 m的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架（焊接的长度损耗忽略不计），则小明截取的钢条长为（　　） C 7．如图5，现要用一块宽50 cm、长120 cm的长方形木板撑住一扇卷闸门，则这块木板最多可将这扇卷闸门撑高________cm. 图5 130 8．如图6，圆柱的高为8 cm，底面周长为12 cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬行到点B的最短路程为________cm. 图6 10 9．如图7，一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航行方向从港口O出发，轮船从港口O沿北偏西40°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处．若A，B两点相距100海里，则此时渔船在港口O南偏西________°的方向． 图7 50 10．如图8，将含有30°角的直角三角板AOB放入平面直角坐标系中，两直角边分别在坐标轴上．若AB＝4，则点A的坐标为____________． 图8 11．如图9，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，将△ABC沿BD进行翻折，使点A恰好落在边BC上的点A′处，则CD的 长为________.　 图9 12．如图10，在△ABC和△ABD中，AC⊥BC，AC＝BC＝ BD＝2，AD＝2 . （1）求AB的长； 图10 （2）求△ABD的面积． 图10 13．图11①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图11②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板AB长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案： 图11 课题 测量篮板AB的长度 成员 组长：×××　组员：×××，××× 工具 竹竿、皮尺、计算器等 测量示意图 如图，AB垂直地面于点C，线段AD，BE表示同 一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合， 另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一 个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处 测量 数据 竹竿的长度 5米 CD的长度 3米 CE的长度 4米 24 根据以上方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校篮板AB的长度. 14．如图12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝ 8 cm，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿射线AC方向运动，设 点P运动的时间为t s. （1）求BC的长； 图12 图12 （2）当△ABP是以BP为腰的等腰三角形时，求t的值． 答图1 答图2 ②如答图2，当BP＝AB时，点P在AC的延长线上，此时AP＝2t. ∵AB＝BP，BC⊥AP， ∴AC＝CP. ∴AP＝2AC＝16，即2t＝16. 解得t＝8. 15．（2023大连改编）如图13，在数轴上，点O表示的数是0，OB＝1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA＝2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB长为半径作弧交直线OB于点C，则点C表示的数为___________． 图13 16．（2023扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图14，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为________． 图14 96 17．（2023随州）如图15，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝________． 图15 5 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 D 19．【RJ八下P29题13改编】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观．小星在学习完本章知识后，进行了如下探索：如图16①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，分别以AB，BC，AC为边向外作正方形，面积分别记作S1，S2，S3.根据勾股定理，可得a2＋b2＝c2，即S2＋S3＝S1. 图16 【知识运用】（1）若c＝7，b＝4，则S2＝________. 33 图16 【知识迁移】（2）如图16②，若分别以Rt△ABC的三边为边向外作等边三角形，则S1，S2，S3之间有什么数量关系？并说明理由． 答图3 解：S2＋S3＝S1.理由如下： 如答图3，记以AB为边的等边三角形为△ABD， 过点D作DE⊥AB于点E. ∵△ABD为等边三角形，DE⊥AB，AB＝c， 答图3 （3）如图16③，若分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，请直接写出S1，S2，S3之间的数量关系． 解：S2＋S3＝S1. 图16 【知识拓展】（4）如图16④，小星将图16③中以AB为直径的半圆沿AB向上翻折，发现翻折后的图形恰好过点C.已知b＝5，c＝10，求阴影部分的面积之和S. 图16 A． eq \r(5) B． eq \r(13) C．4 D．5 6 eq \r(2) A． eq \r(7) B． eq \f(12,5) C．5 D． eq \f(3\r(7),4) A．4 m B． eq \r(34) m C．4 m或 eq \r(34) m D．4 m或6 m （0，2 eq \r(3) ） eq \f(5,2) eq \r(3) 解：∵AC⊥BC，∴∠C＝90°. 在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，由勾股定理， 得AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) . 解：∵AB＝2 eq \r(2) ，BD＝2，AD＝2 eq \r(3) ， ∴AB2＋BD2＝（2 eq \r(2) ）2＋22＝12，AD2＝（2 eq \r(3) ）2＝12. ∴AB2＋BD2＝AD2. ∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°. ∴S△ABD＝ eq \f(1,2) AB·BD＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(2) ×2＝2 eq \r(2) . 解：在Rt△ADC中，由勾股定理， 得AC＝ eq \r(AD2－CD2) ＝ eq \r(52－32) ＝4. 在Rt△BEC中，由勾股定理， 得BC＝ eq \r(BE2－CE2) ＝ eq \r(52－42) ＝3. ∴AB＝AC－BC＝4－3＝1（米）. 答：学校篮板AB的长度为1米． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理， 得BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(102－82) ＝6. ∴BC的长为6 cm. 解：当△ABP是以BP为腰的等腰三角形时，分两种情况： ①如答图1，当BP＝AP时，点P在线段AC上． ∴BP＝AP＝2t.∴CP＝AC－AP＝8－2t. 在Rt△BCP中，由勾股定理， 得BC2＋CP2＝BP2， 即62＋（8－2t）2＝（2t）2. 解得t＝ eq \f(25,8) . 综上，当△ABP是以BP为腰的等腰三角形时，t的值为8或 eq \f(25,8) . 1＋ eq \r(5) 18．（2023菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）2＋ eq \r(2a－b－3) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－3\r(2))) ＝0，则△ABC是（　　） ∴AD＝AB＝c，AE＝BE＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(c,2) . 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得 DE＝ eq \r(AD2－AE2) ＝ eq \r(c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))\s\up28(2)) ＝ eq \f(\r(3),2) c. ∴S1＝ eq \f(1,2) AB·DE＝ eq \f(1,2) c· eq \f(\r(3),2) c＝ eq \f(\r(3),4) c2. 同理，S2＝ eq \f(\r(3),4) a2，S3＝ eq \f(\r(3),4) b2. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得a2＋b2＝c2. ∴ eq \f(\r(3),4) a2＋ eq \f(\r(3),4) b2＝ eq \f(\r(3),4) c2，即S2＋S3＝S1. 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 a＝ eq \r(c2－b2) ＝ eq \r(102－52) ＝5 eq \r(3) . 由题图16④，得S＝S2＋S3＋S△ABC－S1. 由（3）知，S2＋S3＝S1. ∴S＝S△ABC＝ eq \f(1,2) b·a＝ eq \f(1,2) ×5×5 eq \r(3) ＝ eq \f(25\r(3),2) . $$