第十七章　勾股定理 微专题1　利用勾股定理解决最短路径问题 　课件 2023-—2024学年人教版数学八年级下册

第十七章　勾股定理 微专题1　利用勾股定理解决最短路径问题 类型 平面图形中的最短路径问题 1．如图1，已知∠B＝∠C＝90°，且AB＝2， BC＝CD＝6，则A，D两点间的距离是（　　） A．14 B．12 C．2＋6 D．10 平面图形中的最短路径问题常结合“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”或“轴对称的性质”等知识点，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 图1 D 2．如图2，学校B附近有一条笔直的公路，学生放学后可走AB，BC两条道路到达公路，经测量∠B＝90°，BC＝3 km，AB＝4 km，现需重新修建一条从学校B到公路的道路，则新修建的道路的最短长度为________km. 图2 2.4 3．如图3，某镇政府要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村到河边的距离AC为2 km，B村到河边的距离BD为7 km，且AB两村庄相距13 km. （1）C，D两点间的距离为________km； （2）铺设水管的最短长度为________km. 图3 12 15 类型 立体图形中的最短路径问题 情况一　台阶中的最短路径问题 解决立体图形中的最短路径问题的关键是把立体图形平面化，即把立体图形展开成平面图形（或寻找路径所在的平面），转化为平面问题后，再构造直角三角形，利用勾股定理求解． 模型 4．如图4，台阶阶梯每一层高为20 cm，宽为40 cm，长为50 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B，最短路程是多少？ 图4 答图1 情况二　几何体表面的最短路径问题 模型 圆柱 正方体 长方体 注：1．圆柱侧面展开图的长方形的长是圆柱的底面周长． 2．正方体的长、宽、高都等于其棱长，因此只有一种情况；长方体的长、宽、高不一定相等，因此需要分三种情况考虑． 5．图5是一个封闭的正方体盒子，其棱长为4 cm，一只蚂蚁从点A出发，沿正方体表面爬行到点B处去吃食物，则它需要爬行的最短路程为________cm. 图5 6．每年秋分日为“中国农民丰收节”. 如图6，小明用3D打印机制作了一个底面周长为8 cm，高为5 cm的圆柱形粮仓模型. 现要从点A开始绕此模型的侧面到点A的正上方的点B处贴一圈彩色装饰带，则装饰带的最短长度为________cm. 图6 7．如图7，长方体的长、宽、高分别是3 cm，1 cm，6 cm，如果一只小虫从点A开始爬行，经过2个侧面爬行到另一个侧棱的中 点B处．求所有爬行路线中，最短的一条爬行路线的长度． 图7 解：分为以下三种情况： 答图2 答图3 答图4 8．（2023广安）如图8，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为________cm.（杯壁厚度不计） 图8 10 情况三　几何体内部的最短路径问题 9．图9是一个圆柱形饮料罐，其底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长为16的直吸管插入并接触罐底，则露在罐外部分的吸管长度a（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（　　） A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2 B 图9 10．如图10，有一个长为50 cm，宽为30 cm，高为40 cm的长方体木箱，则一根长为70 cm的木棍________完全放入该木箱中．（填“能”或“不能”） 能 图10 eq \r(2) 解：蚂蚁从A点爬到B点的最短路程 如答图1所示． ∵台阶阶梯每一层的高为20 cm，宽为40 cm， 长为50 cm， ∴AB＝ eq \r(502＋[2×（20＋40）]2) ＝130（cm）. 答：最短路程是130 cm. 4 eq \r(5) eq \r(89) 1 如答图2，将正面与右侧面 在同一平面展开，连接AB. 根据勾股定理，得 AB＝ eq \r(（3＋1）2＋32) ＝5（cm）. 根据勾股定理，得 AB＝ eq \r(（3＋3）2＋12) ＝ eq \r(37) （cm）. ∵ eq \r(37) >5，∴最短的一条爬行路线的长度是5 cm. ②如答图3，将下底面与后侧面在同一平面展开，连接AB. 根据勾股定理，得 AB＝ eq \r(（3＋1）2＋32) ＝5（cm）. ③如答图4，将下底面与右侧面在同一平面展开，连接AB. $$