精品解析：河南省2024年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题

河南省2024年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试 数学 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、选择题（每小题3分，共30分.每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 2. 设，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 在复数集中，方程的根为（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的公比，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 9. 的展开式中包含的项有（ ） A. 常数项 B. 含x的项 C. 含的项 D. 含的项 10. 现在有5张相同奖券，其中2张有奖，3张无奖，则连刮2张都中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 设全集U是所有小写英文字母组成的集合，，则_________． 12. 当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 13. 函数的值域为_________． 14. 在中，，则_________． 15. 在平面直角坐标系中，圆与一条直线l相离，M为圆上任意一点，已知M到l的最短距离为4，则M与l的最长距离为_________． 16. 已知椭圆的离心率，则_________． 17. 一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________ 18. 将一枚骰子点数为1的面磨平，此面朝上时点数记为0，现投掷该骰子2次，则点数之和为2的概率为_________． 三、计算题（每小题8分，共24分） 19. 求函数的定义域． 20. 直线方程先向下平移2个单位，再向右平移1个单位与y轴交于点P，最后以P点为中心顺时针旋转，求变化后最终的直线方程． 21. 已知向量，且，求m的值． 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 已知数列的前项和为，且满足，求证：是等差数列． 23. 如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 五、综合题（10分） 24. 函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2024年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试 数学 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、选择题（每小题3分，共30分.每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析集合的元素，根据元素与集合的关系进行判断. 【详解】∵集合，故集合A的元素有，，. 则，，，，即ABD正确. 不是集合A的元素，故. 故选：C. 2. 设，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把三个数平方后比较大小，直接得到结果. 【详解】， 因为所以， 故选：A. 3. 下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【详解】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域为，函数在上单调递减，故正确. 故选：D. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质直接计算即可. 【详解】. 故选:B. 5. 设第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的正切值和同角三角函数的平方，以及角的范围，得到角的正弦值和余弦值，再根据诱导公式求解. 【详解】∵是第二象限角，∴. 而，即，故. 又∵，代入得到， 故，得到. . 故选：B. 6. 在复数集中，方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求根公式求实系数一元二次方程在复数范围内的根即可. 【详解】在复数集中，方程的根为 . 故选：D. 7. 等比数列的公比，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】， 因为公比， 所以. 故选：C. 8. 在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过空间中直线与直线的位置关系分析得出结论即可. 【详解】因为空间中两直线垂直，分为相交垂直，异面垂直两种， 所以两直线互相垂直不能推出两直线相交. 反过来，两直线相交所成的角的范围是，不一定是垂直， 即两直线相交不能推出两直线垂直. 所以“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既非充分又非必要条件. 故选：. 9. 的展开式中包含的项有（ ） A. 常数项 B. 含x的项 C. 含的项 D. 含的项 【答案】C 【解析】 【分析】先求通项公式，再具体分析，即可 【详解】的展开式的通项为， 当时，，不成立；当时，，不成立； 当时，，成立；当时，，不成立； 故选：C. 10. 现在有5张相同奖券，其中2张有奖，3张无奖，则连刮2张都中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析总的刮奖方式，再分析连刮2张都中奖的刮奖方式，即可求得概率. 【详解】∵5张相同奖券，其中2张有奖，3张无奖， 刮2张的方案有种， 2张都中奖的方案为， 则，概率为. 故选：A. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 设全集U是所有小写英文字母组成的集合，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集定义得到集合的补集，再与集合取交集得到结果. 【详解】因为全集是所有小写英文字母组成的集合，， 所以为除去以外的其他所有小写英文字母组成的集合， 所以=, 故答案为： 12. 当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】令取一个特定的值，使得的值与无关，即可得到图像必过点的坐标. 【详解】当时，. 故，函数的图像必过一点是. 故答案为：. 13. 函数的值域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的值域范围代入求解即可. 【详解】已知的值域为，所以的值域为. 故答案为：. 14. 在中，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为在中，， 所以，则. 故答案为：. 15. 在平面直角坐标系中，圆与一条直线l相离，M为圆上任意一点，已知M到l的最短距离为4，则M与l的最长距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据当圆与直线相离时，圆上的点到直线的最长距离为，最短距离为.根据题意代入距离求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为d，已知圆的半径， 则M到直线的最小距离为，最大距离为． 故答案为：. 16. 已知椭圆的离心率，则_________． 【答案】3或 【解析】 【分析】分析椭圆焦点在轴或者轴上的情况，再根据离心率计算. 【详解】椭圆方程为，焦点可能在轴或者轴上. 当焦点在轴上时，，则，， 则离心率，则，得到，. 当焦点在轴上，，此时，，. 则离心率，则，即，故，得到. 故答案为：3或. 17. 一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求出底面的半径，应用圆柱的体积公式求出结果. 【详解】设圆柱底面的圆的半径为,母线为,则由题意可得,又,所以,所以, 故答案为： 18. 将一枚骰子点数为1的面磨平，此面朝上时点数记为0，现投掷该骰子2次，则点数之和为2的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型求概率的公式计算即可. 【详解】易知该骰子可能出现点数为， 投掷该骰子2次，可能出现的结果种数共有36种， 点数之和为2包含和两种结果， 则概率为. 故答案为：. 三、计算题（每小题8分，共24分） 19. 求函数的定义域． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根底数非负，且分母不为零求解. 【详解】要使函数有意义需满足，， 可化为，，得到 解得，. ∴函数的定义域为. 20. 直线方程先向下平移2个单位，再向右平移1个单位与y轴交于点P，最后以P点为中心顺时针旋转，求变化后最终的直线方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平移变换进行与的操作，求出平移变换后的直线的斜率和倾斜角以及与y轴的交点，再求旋转后的直线斜率，点斜式求直线方程即可. 【详解】平移之后直线为，即 与y轴相交于点，此时斜率，倾斜角， 则旋转后的直线的倾斜角为，斜率为，且经过点 所求直线方程为即. 21. 已知向量，且，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，得出的坐标，又由向量垂直得出，最后解出. 【详解】 因为 所以 解得. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 已知数列的前项和为，且满足，求证：是等差数列． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据递推关系得到，即可证明为等差数列. 【详解】∵， 且题目已知， ∴， 即，即. ∵，故，得到， 以此类推，. 故，可化为. 故，是以为首项，1为公差的等差数列. 23. 如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】通过三角形的中位线和正方体的特征证明平面，即可证明； 【详解】证明；连接，，如图， 因为，是正方形的对角线，所以， 又分别是中点， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. 五、综合题（10分） 24. 函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，令可得；再由得函数周期为，令可得； （2）因为时，，由函数的周期性可将转化为，再求解的解析式即可. 【小问1详解】 函数对任意满足成立， 在中，令， 得，所以 因为 所以．即 所以函数的周期， 令得且 所以，即； 【小问2详解】 由（1）知函数的周期为2， 当时， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $