精品解析：2024年厦门大学强基计划数学笔试试题

2024年厦门大学强基计划数学笔试试题 1. 对于，的最大值为（ ） A. B. C. D. 以上全错 2. 对于命题p，q，以下逻辑正确的有（ ） A. 如果p真，则q真 B. 如果p真，则q真，那么q假，则p假 C. 如果p真且q真，则p真 D. 如果p真，则p或q真 3. 对于，则值域为（ ） A. B. C. D. 以上全错 4. 若可导，，则“是在处可导”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. ，和围成的三角形内部和边上的整点有（ ）个. A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 6. 在上的零点个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面的颜色一对应，则算作一种涂色方法）共有（ ）种涂色情况. A. 121 B. 454 C. 621 D. 以上答案均不对 8. A，B均为实数，X为任意正数，恒成立，则可得（ ） A. B. C. D. 无法确定A与B的大小关系 9. 有k个水果，三个三个取剩余两个，五个五个取剩余三个，七个七个取剩余两个，则（ ） A. 时，则k的值唯一确定 B. 时，k的值唯一确定 C. 时，k的值唯一确定 D. 不存在满足条件的k值 10. ，若对任意，恒成立，则ab可能的最值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 11. ，，若，则以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 表示不超过的最大整数，则______. 13. 若a，b除q的余数相同，则称a，b关于q同余，记作，则（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若，则 14. 单位圆内接，取，，作边长构成新，则（ ） A. 能构成新，且 B 能构成新，且 C. 能构成新，且 D 不能构成新 15. ，的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 16. 在30以内所有素数中，随机选取若干个，使得它们的和为30的概率是______. 17. ，则是在处可导的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 18. 若正整数x满足，，，如果，则x是否唯一确认？若，则x是否唯一确定？若，则x是否唯一确定？（ ） A. 若，则x是唯一.确认；其他均不唯一 B. 若，则x是唯一确认；其他均不唯一 C. 若，则x是唯一确认；其他均不唯一 D. 三个都唯一 19. 已判断自然数集与以下哪些数集等势（ ） A. 实数集 B. 整数集 C. 无理数集 D. 以上均是 20. 已知定义在I内的函数满足，若，对于，，比较与的大小关系（ ） A. B. C D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年厦门大学强基计划数学笔试试题 1. 对于，的最大值为（ ） A. B. C. D. 以上全错 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设，由重要不等式得，再根据得即可. 【详解】不妨设， 则 因为， 当且仅当取等号. 所以 . 当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 故选：B. 2. 对于命题p，q，以下逻辑正确的有（ ） A. 如果p真，则q真 B. 如果p真，则q真，那么q假，则p假 C. 如果p真且q真，则p真 D. 如果p真，则p或q真 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可以排除A、B选项，逻辑推理可以排除C. 【详解】对A选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，命题p为真命题，但命题q为假命题，故A错误； 对B选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，满足p真，则q真，所以q假为假命题，则p假也是假命题， 令命题m：“q为假命题”是一个假命题，命题n：“p为假命题”是一个假命题， 那么“若q假，则p假”等价于“若m真，则n真”，参考A选项，可知B错误； 对C选项，若“p真且q真”为假命题，则p可能为假；故C错误； 对D选项，若p真,则p与q的真假分以下两种情况：p真或q真，p真或q假，这两种情况p或q均为真，故D正确， 故选：D. 3. 对于，则的值域为（ ） A. B. C. D. 以上全错 【答案】C 【解析】 【分析】把函数先平方，利用换元法利用的取值范围和函数的单调性求值域. 【详解】因为，所以，， 设，则. 再设，因为，所以， 且. 所以，. 观察可知，在，为增函数， 又时，；时，，所以， 又，所以. 故选：C 4. 若可导，，则“是在处可导”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑充分性，即由，利用极限思想可得，，即得在处可导，再考虑必要性，由在处可导，分和两种情况讨论导函数在处附近的取值得到，即得结论. 【详解】若，则，故在处可导； 即“是在处可导”的充分条件； 若在处可导，当时，，则， 当时，，则， 故，， 于是，故得. 即在处可导；即“是在处可导”必要条件. 故选：A. 5. ，和围成的三角形内部和边上的整点有（ ）个. A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】做出直线图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 【点睛】利用数形结合的方法进行求解. 6. 在上的零点个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得. 【详解】依题意，， 而，显然且，因此， 由，得，解得或， 所以在上的零点个数是2. 故选：B 7. 用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面的颜色一对应，则算作一种涂色方法）共有（ ）种涂色情况. A. 121 B. 454 C. 621 D. 以上答案均不对 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不考虑旋转的条件下的涂色情况；再求出四面体旋转方式的总数，即可求解. 【详解】若不考虑旋转的情况，共有，而四面体共有种旋转方式，故共有. 故选：D 8. A，B均为实数，X为任意正数，恒成立，则可得（ ） A. B. C. D. 无法确定A与B的大小关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据恒成立问题将已知条件转化为，再结合绝对值的性质求解即可. 【详解】因为对任意的正数恒成立， 则只需， 又，所以，即. 故选：A. 9. 有k个水果，三个三个取剩余两个，五个五个取剩余三个，七个七个取剩余两个，则（ ） A. 时，则k的值唯一确定 B. 时，k的值唯一确定 C. 时，k的值唯一确定 D. 不存在满足条件的k值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意得到，再逐个分析选项即可判断. 【详解】因为有k个水果，三个三个取剩余两个，五个五个取剩余三个，七个七个取剩余两个， 所以是21的倍数，是5的倍数， 所以令，则， 显然，当时，满足是5的倍数，所以是的其中一个取值， 又，所以， 对于A，当时，可以唯一确定，故A正确； 对于B，当时，可以唯一确定，故B正确； 对于C，当时，或，故C错误； 对于D，由选项ABC可知，D错误. 故选：AB. 10. ，若对任意，恒成立，则ab可能的最值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】转化为，根据二次函数配方求最值，再分析等号成立条件即可得解. 【详解】因为， 所以， 故， 当，，即或时， 也即或时等号成立. 故选：D 11. ，，若，则以下结论错误是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再由交集的结果，可知方程有两个实数根，，且，结合韦达定理计算可得. 【详解】由得，解得，所以， 因为，， 所以方程有两个实数根，，且， 所以，故D正确； 又，所以，故A正确，B错误； ，故C正确. 故选：B 12. 表示不超过的最大整数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先分类讨论的取值，再运用到原式当中即可得到结果. 【详解】若是整数，则； 若不是整数，则，故. 而是整数，，故由知，所以. 记，则. 对： 当时，是整数，所以； 当时，不是整数，所以. 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对向下取整函数定义的理解. 13. 若a，b除q的余数相同，则称a，b关于q同余，记作，则（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同余的概念与性质，可以判断. 【详解】对于A选项，因为，所以，同理， 所以，所以， 所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为， 又则，则 所以，所以，故B正确； 对于C选项，根据同余的概念与性质，p与q必须互质，该选项才正确，故C错误； 对于D选项，由选项B可知，D正确， 故选：ABD. 14. 单位圆内接，取，，作边长构成新，则（ ） A. 能构成新，且 B. 能构成新，且 C. 能构成新，且 D. 不能构成新 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理分析可知，结合比例关系可知，进而可得面积关系. 【详解】在中，设角对应的边为 由正弦定理可得：，即， 即， 可知能构成新，且， 所以. 故选：C. 15. ，的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对两边求导可得，C错误，D正确，举出反例得到AB错误. 【详解】CD选项，两边求导得， 故，，C错误，D正确， AB选项，可令，满足， ，即，可以得到，，AB错误. 故选：D 16. 在30以内的所有素数中，随机选取若干个，使得它们的和为30的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先列举出30以内的所有素数，利用二项式定理求出总数，求解出结果. 【详解】30以内的所有正素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29， 随机选取共有个，和为30的情况为，，，，，故所求概率. 17. ，则是在处可导的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】从充分性和必要性两个方面进行推到论证即可. 详解】充分性： 若， 所以，因此在处是否可导，还需要看在处是否可导，因此不具备充分性； 必要性： ，在处可导只能代表有意义，不能得出，因此不具备必要性； 故选：D. 18. 若正整数x满足，，，如果，则x是否唯一确认？若，则x是否唯一确定？若，则x是否唯一确定？（ ） A. 若，则x是唯一.确认；其他均不唯一 B. 若，则x是唯一确认；其他均不唯一 C. 若，则x是唯一确认；其他均不唯一 D. 三个都唯一 【答案】D 【解析】 【分析】由中国剩余定理得到，，从而作出判断. 详解】由中国剩余定理可得，，，x可以唯一确定； 若，x可以唯一确定；若，x可以唯一确定. 故选：D 19. 已判断自然数集与以下哪些数集等势（ ） A. 实数集 B. 整数集 C. 无理数集 D. 以上均是 【答案】B 【解析】 【分析】由等势集的定义可以判断 【详解】若存在从集合A到集合B的一一对应，则称A与B等势，相应地，称A、B为等势集，根据定义与自然数集对等的集合称为可列集，即集合元素可列举， 故选：B. 20. 已知定义在I内的函数满足，若，对于，，比较与的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差后，利用函数的导数可知函数下凸，即可得出差的正负，得出结论. 【详解】 由，故由不等式可得， 故. 故选：A 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$