精品解析：上海市浦东新区2024届高三下学期三模数学试卷

浦东新区高三三模数学试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内填写结果，14题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集，集合，则______. 2. 复数（为虚数单位），则_________. 3. 设正数满足，则的最小值为__________． 4. 已知数列为等比数列，，，则______. 5. 有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为______. 6. 若，则的值为______. 7. 已知，则______（用 表示） 8. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，若，则______． 9. 一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则______. 10. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 11. 已知点A、B位于抛物线上，，点M为线段 的中点，记点M到y轴的距离为d.若d的最小值为7，则当d取该最小值时，直线 的斜率为______. 12. 已知实数、、、满足，，，则______. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案考生必在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 15. 边长都是为1的正方形 和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、 分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第 局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则 不小于1992. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知，其中，. （1）若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； （2）设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 18. 如图，在圆柱中，底面直径 等于母线，点在底面的圆周上，且， 是垂足． （1）求证：； （2）若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小． 19. 某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 （1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? （2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件 为“学生甲选择足球”，事件 为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件 ， 是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 20. 已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线 的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 21. 已知函数，其中，.若点 在函数的图像上，且经过点 的切线与函数图像的另一个交点为点 ，则称点 为点 的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数 ，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数 和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数 的所有可能值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东新区高三三模数学试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内填写结果，14题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合 ，然后结合集合的补集运算即可求解. 【详解】,， 则. 故答案为：. 2. 复数（为虚数单位），则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先对化简，然后可求出其共轭复数 【详解】， 所以共轭复数是. 故答案为： 3. 设正数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】，则，则的最小值为. 点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由，有，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 4. 已知数列为等比数列，，，则______. 【答案】255 【解析】 【分析】根据题意结合通项公式求，进而结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 所以. 故答案为：255. 5. 有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为______. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用插空法求出女生互不相邻的排法，进而得到概率. 【详解】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法， 故女生互不相邻的排法的概率为. 故答案为：. 6. 若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】根据题意，， 令，得， 令 ，得， 所以. 故答案为： . 7. 已知，则______（用 表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由， 得. 故答案为： 8. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】判断出 的单调性，当，求解方程，结合偶函数的性质，即可求得 的值． 【详解】因为 为偶函数，所以， 当 时，，所以 在单调递增， 令，结合，所以在上仅有一解2， 所以由，结合的定义域可得. 故 的值为， 故答案为：． 9. 一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】分析可知随机变量的可能取值有 、 、 ，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可计算出和的值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有 、 、 ， 则，，， 所以，， . 故答案为：. 10. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【解析】 【分析】作于 ，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于 ，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 11. 已知点A、B位于抛物线上，，点M为线段的中点，记点M到y轴的距离为d.若d的最小值为7，则当d取该最小值时，直线的斜率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先证明当三点共线，到轴的距离最小，进而求出抛物线方程，然后抛物线方程和直线联立运用韦达定理即可求出. 【详解】如图：分别从作准线的垂线，垂足为, 设，中点， ,则到轴的距离为， 当到轴的距离最小时，最小，等号为三点共线时取得，所以，解得. 故抛物线方程为，当三点共线时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立消去得：，所以， 所以，解得（负根舍去）. 故答案为： 12. 已知实数、、、满足，，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故答案为：1. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案考生必在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】求出的解集，根据充要条件的定义即可得到结论. 【详解】令，所以的解集为：， 所以“”能推出“， 而“不能推出“”即“”，是“”的充分不必要条件； 故选：A 14. 给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 15. 边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二面角的平面角定义，可得为平面和平面所在的两个半平面所成的二面角的平面角，设，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表达式，进而求得取值范围． 【详解】设，，则， 由题意，，在上的投影是同一点，设为，连接，， 则为平面和平面所在的两个半平面所成的二面角的平面角， 则， 由，可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，所以，则． 故选：D． 16. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得，从而求得，由于第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，可得，利用数列求通项公式的构造法，可得是首项为，公比为的等比数列，求出，解不等式即可求解. 【详解】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：， 摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，， 摸次甲获胜概率： ， 所以， 所以， 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，故①正确； 由，设，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以，即， 即，即，即， 则，即，解得， 所以不小于1992，所以②正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得其概率是等比数列，从而得到，利用数列求和和极限的知识进行求解. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知，其中，. （1）若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； （2）设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据求出，求出 的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【小问1详解】 由题，，解得，故. 令， 所以 的单调减区间为. 【小问2详解】 由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 18. 如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足． （1）求证：； （2）若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：根据圆柱性质，平面， 因为平面，所以， 又因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且，且平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，结合，证得平面，进而证得； （2）过点作，证得平面，得到是与平面所成的角，设圆柱的底面半径为，求得，进而求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，是垂足，连接， 根据圆柱性质，平面平面，且平面平面, 且平面，所以平面， 因为平面，所以是在平面上的射影， 从而是与平面所成的角， 设圆柱的底面半径为，则， 所以圆柱的体积为，且， 由，可得，可知是圆柱底面的圆心，且， 且， 在直角中，可得，所以． 【点睛】 19. 某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 （1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? （2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件 为“学生甲选择足球”，事件 为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件 ， 是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 【答案】（1）有关 （2）①，不独立，理由如下： 因为，所以事件 、 不独立； ②977 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）①求出，，，再由条件概率公式求出，由相互独立事件的定义即可判断；②由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数. 【小问1详解】 提出假设：学生对该问题的态度与性别无关． 根据列联表中的数据可求得，． 因为当成立时，的概率约为， 所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关． 【小问2详解】 ①因为事件 为“学生甲选择足球”，事件 为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”， 所以事件为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”， 所以，，， 所以， 因为，所以事件 、 不独立． ②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为， 由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数． 因为，所以． 所以（人）． 所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为． 20. 已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解； （2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可； （3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解. 【小问1详解】 由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. 【小问2详解】 显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. 【小问3详解】 延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 21. 已知函数，其中，.若点 在函数的图像上，且经过点 的切线与函数图像的另一个交点为点 ，则称点 为点 的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数 和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数 的所有可能值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）原点不存在“上位点”，理由：已知，则，得， 故函数经过点的切线方程为， 其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”. （2）点的坐标为，点的坐标为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求得函数经过点的切线方程，再根据“上位点”的定义判断即可； （2）设点的横坐标为，为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得，进而可得、的坐标； （3）由（2），构造等比数列可得，由题意，再根据导数与单调性的关系分析判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点的横坐标为，为正整数， 则函数图像在点处的切线方程为， 代入其“上位点”，得， 化简得， 即， 故， 因为，得（*）， 又点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为. 【小问3详解】 将代入，解得， 由（*）得，. 即，又， 故是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，即，. 令，则严格减， 因为，所以函数在区间上严格增. 当时，，于是当时，严格减，符合要求 当时，. 因为时， 所以当时，， 从而当时严格增，不存在正整数， 使得无穷数列，，…，严格减. 综上，. 【点睛】方法点睛： （1）题中出现新定义时，根据新定义内容与数列与导数的基本方法求解分析； （2）根据数列的递推公式，构造等比数列求解通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $