精品解析：湖南省2024年普通高等学校对口招生考试数学试题

湖南省2024年普通高等学校对口招生考试 数 学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟，满分120分. 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】. 故选：A. 2. 已知数列的通项公式为，若，则（ ） A. 15 B. 17 C. 20 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】将代入通项公式中即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：B. 3. 函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数， 奇函数图像关于原点对称. 故选：A. 4. 从7名学生中选派2名学生分别到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的选派方法共有（ ） A. 14种 B. 21种 C. 42种 D. 49种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列的定义解决问题即可. 【详解】从7人中选出2人，由于分派两地，地点不同，因此符合排列的定义，直接用排列得出. 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质，以及指数函数和对数单调性即可求解 【详解】， 因为在R上为增函数， 因为，所以， 因为在上为减函数， 因为，所以， 所以. 故选：D. 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平行于同一个平面的两条直线必平行 B. 平行于同一个平面的两个平面必平行 C. 过平面外一点只可以作一条直线与这个平面平行 D. 过直线外一点只可以作一个平面与这条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行关系逐项判断即可. 【详解】对A，平行于同一个平面的两条直线位置关系有平行、相交、异面，故A错误； 对B，平行于同一个平面的两个平面必平行，故B正确； 对C，过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行，故C错误； 对D，过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行．故D错误. 故选：B. 7. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】因为， 则或， 即或. 而， 则. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 8. 函数取最大值时，的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和与差的正弦公式结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意得， ， 函数取最大值时， 则， 即. 当时，. 故选：C. 9. 光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据入射光线与反射光线之间的斜率关系即可求解. 【详解】入射线斜率， 因为入射光线与反射光线对应的倾斜角互补， 所以斜率之和为0， 则反射光线斜率为. 对A：斜率为，所以A错误； 对B：斜率为，所以B错误； 对C: 斜率为，所以C错误； 对D：斜率为，所以D正确. 故选：D. 10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据判断出函数为偶函数，再结合单调性由不等式得到，解绝对值不等式求自变量的取值范围即可. 【详解】由可知，函数为偶函数， 且函数在上单调递增，则在上单调递减， 则由可得：， 即，即， 故选：A． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11. 某学校为了解一年级120名男生和80名女生的身高情况，计划用分层抽样的方法抽取20名学生进行测量，则抽取的男生人数为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】先计算出抽样比例，再根据抽样比例计算出抽取的男生人数即可. 【详解】由题意得，抽样比例为， 所以抽取的男生人数为． 故答案为：12. 12. 已知向量，，且，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示结合向量垂直则内积为即可求解. 【详解】， . 因为， 所以. 解得. 故答案为：. 13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据终边上的坐标求出r，然后计算出，再根据二倍角公式计算即可. 【详解】因为终边上一点的坐标为， 所以， ， 则． 故答案为：. 14. 已知函数，若，且，则_________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】由得， 所以， 又， 则在其定义域上单调递增， 所以， 则， 即，则. 故答案为：. 15. 已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离和圆心的半径，再由点在圆运动可得，点到直线的距离的最大值为，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为点在圆上运动， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由等差数列的定义结合通项公式即可求解. （2）根据等比数列的定义结合前项和公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 则为等差数列，且， 所以. 即； 【小问2详解】 由题意得，， 则， 所以等比数列，且， 则． 17. 在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 （1）根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； （2）从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 【答案】（1）甲生产的零件质量更好 （2）概率分布见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求出方差即可判断； （2）根据概率公式分别求出的取值为0，1，2时的概率即可. 【小问1详解】 解法一（对应高教版）： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， ， 所以甲生产的零件质量更好. 解法二(对应人教版)： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， . 所以甲生产的零件质量更好. 【小问2详解】 的取值有0，1，2. ， 所以的概率分布为 0 1 2 18. 如图，在正四棱柱-中，. （1）证明：； （2）若三棱锥-的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先用直线与平面垂直的判定证明平面，然后运用直线与平面垂直的定义来证明； （2）先用三棱锥的体积公式求出的长度，然后根据平面，找出直线与平面所成的角，最后利用直角三角形的正弦的定义求出的正弦值即可. 【小问1详解】 证：连接， 因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 且是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，. 【小问2详解】 由， 得， 由平面，得直线与平面所成角为， 在直角中，，，， 所以． 19. 已知函数，其中． （1）当时，解不等式； （2）若的最大值为1，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式和一元二次不等式易得答案； （2）求二次函数和幂函数的最值易得答案. 【小问1详解】 时，不等式化为： 或 解得或 所以不等式解为； 【小问2详解】 当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 20. 已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． （1）求双曲线的方程； （2）设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【小问1详解】 双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； 【小问2详解】 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21. 如图，已知中，，，． （1）求； （2）若为线段上的一点，且，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解. （2）根据正弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得， ， 因为， 所以. 【小问2详解】 在中， 由正弦定理可得， ， 所以. 22. 某公司生产甲、乙两种产品，知生产1件甲产品需要A原料1千克，B原料2千克，生产1件乙产品需要A原料2千克，B原料1千克．每件甲产品利润是150元，每件乙产品利润是200元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过8千克，原料不超过10千克，该公司应如何安排甲、乙两种产品每天的生产任务，才能使公司从这两种产品中获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设甲、乙两种产品每天的生产件数分别为,,利润为,根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解. 【详解】分析：设甲、乙两种产品每天各生产件、件，获得的利润为．则： ， 其图像为 且目标函数为，作出可行域，如图中阴影部分所示. 由，解得， 由得， 平移直线，当直线经过点时，取最大值， 所以当时，. 所以该公司每天生产甲产品4件，乙产品2件时，能获得最大利润，最大利润为1000元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2024年普通高等学校对口招生考试 数 学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟，满分120分. 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的通项公式为，若，则（ ） A. 15 B. 17 C. 20 D. 34 3. 函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 4. 从7名学生中选派2名学生分别到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的选派方法共有（ ） A. 14种 B. 21种 C. 42种 D. 49种 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平行于同一个平面的两条直线必平行 B. 平行于同一个平面的两个平面必平行 C. 过平面外一点只可以作一条直线与这个平面平行 D. 过直线外一点只可以作一个平面与这条直线平行 7. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 函数取最大值时，的值可以为（ ） A. B. C. D. 9. 光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11. 某学校为了解一年级120名男生和80名女生的身高情况，计划用分层抽样的方法抽取20名学生进行测量，则抽取的男生人数为_________． 12. 已知向量，，且，则实数_________． 13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则_________． 14. 已知函数，若，且，则_________ 15. 已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为_________． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 （1）根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； （2）从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 18. 如图，在正四棱柱-中，. （1）证明：； （2）若三棱锥-的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数，其中． （1）当时，解不等式； （2）若的最大值为1，求的取值范围． 20. 已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． （1）求双曲线的方程； （2）设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21. 如图，已知中，，，． （1）求； （2）若为线段上的一点，且，求的长． 22. 某公司生产甲、乙两种产品，知生产1件甲产品需要A原料1千克，B原料2千克，生产1件乙产品需要A原料2千克，B原料1千克．每件甲产品利润是150元，每件乙产品利润是200元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过8千克，原料不超过10千克，该公司应如何安排甲、乙两种产品每天的生产任务，才能使公司从这两种产品中获得的利润最大？并求出最大利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $