专题2.3 等腰三角形的性质和应用（八个考点4个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

专题2.3 等腰三角形的性质和应用（八个考点4个易错点） 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【考点4：判断等腰三角形的个数】 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点6：等腰三角形的判定】 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 【考点8 ：等腰三角形的实际应用】 【易错点1 等腰三角形的角度不明确分类讨论】 【易错点2 等腰三角形的边不明确分类讨论】 【易错点3 等腰三角形的性质与判定综合】 【易错点4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．（2024春•丰顺县期中）等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为（　　） A．14 B．19 C．11 D．14或19 2．（2024•广西模拟）△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 4．（2024•渝中区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝BC，点O为AC的中点，连接BO，在BO上取一点E，使得AE＝BE，若AB＝10，AC＝12，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 5．（2024春•三水区期中）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 6．（2024•息县二模）如图，∠B＝30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 7．（2024•碑林区校级四模）如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且AC＝BC，若∠2＝34°，则∠1的度数为（　　） A．112° B．102° C．107° D．117° 8．（2023秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的顶角等于140°，则它的底角等于（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 9．（2024•岱岳区校级模拟）如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝44°，则∠2的度数为（　　） A．64° B．74° C．56° D．66° 10．（2023秋•龙华区校级期末）如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝70°，则∠1等于（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 11．（2023秋•乐山期末）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．36° C．45° D．72° 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 12．（2022秋•屯昌县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．14 C．15 D．16 13．（2023秋•芜湖期中）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D．交AB于点E，若∠B＝35°，AE＝AC，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 14．（2022秋•海兴县期末）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（　　） A．20° B．18° C．12° D．10° 15．（2023春•西安期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 16．（2022秋•济阳区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　） A．12 B．8 C．15 D．13 【考点4：判断等腰三角形的个数】 16．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 17．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 19．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 20．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．   【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 21．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 22．如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有 个． 【考点6：等腰三角形的判定】 24．如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)是等腰三角形； (2) 25．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 26．如图，在中，，，平分，交于点D，求证：是等腰三角形． 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 27．如图，在中，，是的平分线，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 28．如图，在中，，点D与E分别是边上的点，且．说明的理由． 29.如图，点是中边上一点，点是线段上一点，且，．求证：． 30．如图，在中，．过点A作，交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 31．如图，在中，，过点A作的平行线交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 32．如图，在中，，是通过如图的作图痕迹作图而得，，交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 33．已知：在等腰直角中，，，E是边上的点，交于点D，如果 (1)证明：平分 (2)证明： 34．已知：如图中，平分平分，过D作直线平行于，交于E，F．    (1)若，求的度数； (2)若，求证：点D是的中点； (3)求的周长． 【考点8 ：等腰三角形的实际应用】 35．某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得，，求B处到灯塔C的距离． 36．如图，一船上午时从海岛出发，以海里/时的速度向正北方向航行，时到达处，从、两处分别望灯塔，测得，，求从处到灯塔的距离． 37．上午9时，一条船从海岛A出发，以（海里/时）的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得，．此时这艘船以的速度从海岛B前往灯塔C，当船到达灯塔C时是几点钟？ 38．如图，上午8时，一条船从海港出发，以15海里/小时的速度向正北航行，11时到达海岛处，从海港，海岛处望灯塔，分别测得，．    (1)求海岛与灯塔之间的距离； (2)若该船每海里耗油0.5升，油箱容量为40升，求该船当天装满油箱从海港A出发到海岛B，再从海岛B去到灯塔C的过程中至少还需补充多少升油？ 【易错点1 等腰三角形的角度不明确分类讨论】 1．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　） A．40° B．70° C．100° D．40°或100° 2．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 3．已知（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长为 　 　． 【易错点2 等腰三角形的边不明确分类讨论】 1．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（　　） A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm 2．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．40° B．50° C．40°或140° D．50°或130° 【易错点3 等腰三角形的性质与判定综合】 1．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN与AB、AC分别相交于M、N两点．若AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长是 　　． 【易错点4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 等腰三角形的性质和应用（八个考点4个易错点） 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【考点4：判断等腰三角形的个数】 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点6：等腰三角形的判定】 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 【考点8 ：等腰三角形的实际应用】 【易错点1 等腰三角形的角度不明确分类讨论】 【易错点2 等腰三角形的边不明确分类讨论】 【易错点3 等腰三角形的性质与判定综合】 【易错点4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．（2024春•丰顺县期中）等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为（　　） A．14 B．19 C．11 D．14或19 【答案】B 【解答】解：当腰长为3时，则三角形的三边长为：3、3、8； ∵3+3＜8，∴不能构成三角形； 因此这个等腰三角形的腰长为8，则其周长＝8+8+3＝19． 故选：B． 2．（2024•广西模拟）△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴DC＝BD， ∵△ABC的周长是14， ∴AB+BD＝7， ∵AB＝5， ∴BD＝2， 故选：B． 3．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝5AB， ∵S△ABC＝AC•BF， ∴AC•BF＝5AB， ∵AC＝AB， ∴BF＝5， ∴BF＝10（cm）， 故选：B． 4．（2024•渝中区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝BC，点O为AC的中点，连接BO，在BO上取一点E，使得AE＝BE，若AB＝10，AC＝12，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵AB＝BC，点O为AC的中点，AC＝12， ∴BO⊥AC，AO＝AC＝6， ∵AB＝10， ∴BO＝＝＝8， 设BE＝x，则EO＝BO﹣BE＝8﹣x， ∵AE＝BE， ∴AE＝x， 在Rt△AEO中， ∵AO2+OE2＝AE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝． 故选：A． 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 5．（2024春•三水区期中）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】A 【解答】解：∵AB＝AC， ∴， 故选：A． 6．（2024•息县二模）如图，∠B＝30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【解答】解：∵以顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D， ∴BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BCD， ∵∠B＝30°，∠BCD＝∠BDC， ∴∠BDC＝75°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝105°， 故选：C． 7．（2024•碑林区校级四模）如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且AC＝BC，若∠2＝34°，则∠1的度数为（　　） A．112° B．102° C．107° D．117° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA， ∵a∥b， ∴∠DAB+∠CBA＝∠2+∠CAB+∠CBA＝180°， ∵∠2＝34°， ∴∠CAB＝73°， ∴∠DAB＝34°+73°＝107°， ∴∠1＝∠DAB＝107°， 故选：C． 8．（2023秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的顶角等于140°，则它的底角等于（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵一个等腰三角形的顶角等于140°， 且等腰三角形的底角相等， ∴它的底角＝（180°﹣140°）＝20°， 故选：B． 9．（2024•岱岳区校级模拟）如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝44°，则∠2的度数为（　　） A．64° B．74° C．56° D．66° 【答案】B 【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠CBA＝∠CAB＝， ∵a∥b， ∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+44°＝74°． 故选：B． 10．（2023秋•龙华区校级期末）如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝70°，则∠1等于（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【答案】A 【解答】解：∵OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠1＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA， ∵∠BAC＝70°， ∴∠OAB+∠OAC＝70°， ∴∠OBA+∠OCA＝70°， ∴∠1+∠OCB＝180°﹣∠BAC﹣（∠OBA+∠OCA）＝40°， ∴∠1＝∠OCB＝20°， 故选：A． 11．（2023秋•乐山期末）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．36° C．45° D．72° 【答案】B 【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴∠EAB＝∠ACD＝， ∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°， ∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°， 故选：B 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 12．（2022秋•屯昌县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长为24， ∴BD+CD+BC＝24， ∴AB+BC＝24， ∵BC＝10， ∴AC＝AB＝24﹣10＝14． 故选：B． 13．（2023秋•芜湖期中）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D．交AB于点E，若∠B＝35°，AE＝AC，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴∠BCE＝∠B＝35°， ∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝70°， ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝70°， ∴∠ACD＝∠ACE+∠BCE＝105°． 故选：B． 14．（2022秋•海兴县期末）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（　　） A．20° B．18° C．12° D．10° 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝64°， ∴∠C＝∠ABC＝64°， ∴∠A＝180°﹣64°×2＝52°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝52°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝12°， 故选：C． 15．（2023春•西安期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 【答案】C 【解答】解：∵等腰△ABC中，∠ABC＝116°， ∴∠A＝∠C＝32°， ∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q， ∴EA＝EB，QB＝QC， ∴∠ABE＝∠A＝32°，∠CBQ＝∠C＝32°， ∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°， 故选：C． 16．（2022秋•济阳区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　） A．12 B．8 C．15 D．13 【答案】C 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴△BEC周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC， ∵腰长AB＝10， ∴AC＝AB＝10， ∴△BEC周长＝10+5＝15． 故选：C． 【考点4：判断等腰三角形的个数】 16．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 17．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 18．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 19．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断． 【详解】∵∠A=36°，∠DBC=36°， ∴△ABD为等腰三角形， ∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°， 而∠C=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴△BDC为等腰三角形， ∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°， ∴∠ABC=∠C， ∴△ABC为等腰三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 20．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．   【答案】3 【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 由题图可知，平分， ∴， ∴，， ∴,， ∴是等腰三角形，， ∴是等腰三角形． 综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键． 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 21．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况：为底边，C点在的垂直平分线上；为腰且为顶角时，为腰且为顶角时，分别判定可求解． 【详解】如图所示： ∴符合条件的点C的个数为8． 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，网格作图，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论． 22．如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分三种情况分别画出图形，如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案． 【详解】解：如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 ， 以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形有， 其中是等边三角形， ∴符合条件的点的个数有6个， 故选D． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定，做到不重复不遗漏的得到点P是解本题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有 个． 【答案】4 【分析】以B为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与y轴有1个交点． 【详解】解：如图所示， 共4个点， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏． 【考点6：等腰三角形的判定】 24．如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)是等腰三角形； (2) 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由可得，结合，可推出，进而得到，即可证明； （2）由（1）知，，可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）由（1）知，， ，， ， ． 25．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，根据得，可得，则，即可得是等腰三角形； （2）根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得，根据的周长为，，可得，即可得，根据可得，即可得； 掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ∵的周长为18，， ， ， ∵， ， ， ∴的周长为． 26．如图，在中，，，平分，交于点D，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和，角平分线的定义． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出度数，即可得到，继而得证． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 27．如图，在中，，是的平分线，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线 （1）根据角平分线的性质可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出，从而得证； （2）由（1）可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．如图，在中，，点D与E分别是边上的点，且．说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先根据等边对等角得到，再由平行线的性质推出，则，据此证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 29.如图，点是中边上一点，点是线段上一点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质得到，继而得到，根据等腰三角形的判定得，证明，由全等的性质即可得到结论．解题的关键是掌握：三条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 30．如图，在中，．过点A作，交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟记等角对等边是解本题的关键； （1）证明可得，结合可得结论； （2）设， 可得，，再利用平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：设， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 31．如图，在中，，过点A作的平行线交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分别求出， ，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，由（1）知， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 32．如图，在中，，是通过如图的作图痕迹作图而得，，交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由作图可知，为的平分线，易得，再根据“两直线平行，内错角相等”可得，进而可得，即可证明结论； （2）首先证明，结合为的平分线，易得，再根据可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．已知：在等腰直角中，，，E是边上的点，交于点D，如果 (1)证明：平分 (2)证明： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作出正确的辅助线是解题关键． （1）过点C作的垂线交的延长线于点M，证即可求证； （2）根据、即可求证； 【详解】（1）证明：过点C作的垂线交的延长线于点M ∵ ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴平分（等腰三角形三线合一） （2）证明：由（1）可得：， ∴ 34．已知：如图中，平分平分，过D作直线平行于，交于E，F．    (1)若，求的度数； (2)若，求证：点D是的中点； (3)求的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质证明，再根据即可证明； （3）根据（2）中，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， 平分，平分， ， ， ， ； （2）解：∵， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， 即D是的中点； （3）由（2）可知， ∴的周长 ， ， ， ∴的周长为． 【考点8 ：等腰三角形的实际应用】 35．某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得，，求B处到灯塔C的距离． 【答案】B处到灯塔C的距离为海里． 【分析】本题主要考查的知识点是方向角的相关问题，三角形外角的性质，以及等腰三角形性质，根据题意算出，再利用外角知识判断出为等腰三角形，即可解题． 【详解】解：由题知，（海里）， ，， ， ， 海里， B处到灯塔C的距离为海里． 36．如图，一船上午时从海岛出发，以海里/时的速度向正北方向航行，时到达处，从、两处分别望灯塔，测得，，求从处到灯塔的距离． 【答案】 【分析】根据，及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，进而得到，根据等腰三角形等角对等边可知，最后用路程公式求出的长即可求解． 【详解】 ，， ， ， ， ， ， 答：从处到灯塔的距离是海里． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的外角性质，根据已知条件求出角度得到等腰三角形是解题的关键． 37．上午9时，一条船从海岛A出发，以（海里/时）的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得，．此时这艘船以的速度从海岛B前往灯塔C，当船到达灯塔C时是几点钟？ 【答案】下午2时 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，利用三角形外角性质求出，得到，再利用路程速度时间求出结果即可，灵活运用等腰三角形性质是解题关键． 【详解】解：（海里）， ∵， 且，， ∴， ∴， ∴（海里）， （小时）， 答：当船到达灯塔时是下午2时． 38．如图，上午8时，一条船从海港出发，以15海里/小时的速度向正北航行，11时到达海岛处，从海港，海岛处望灯塔，分别测得，．    (1)求海岛与灯塔之间的距离； (2)若该船每海里耗油0.5升，油箱容量为40升，求该船当天装满油箱从海港A出发到海岛B，再从海岛B去到灯塔C的过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)从海岛到灯塔的距离为45海里 (2)该船当天航行过程中至少还需补充5升油 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质是解决本题的关键． （1）先根据三角形的外角得到，然后根据等角对等边解题即可； （2）先计算出行驶的路程，然后乘以每海里耗油量解题即可． 【详解】（1）由题意得：（海里）， ， ， ， （海里）， 从海岛到灯塔的距离为45海里．    （2）这一天走的总路程：（海里）， 应耗油：（升）， （升）， 答：该船当天航行过程中至少还需补充5升油． 【易错点1 等腰三角形的角度不明确分类讨论】 1．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　） A．40° B．70° C．100° D．40°或100° 【答案】D 【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°， 当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°， 故选：D． 2．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 【答案】C 【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣100°＝80°； ②若100°是底角的外角，则底角＝180°﹣100°＝80°，那么顶角＝180°﹣2×80°＝20°． 故选：C． 3．已知（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长为 　11或10　． 【答案】11或10． 【解答】解：∵（a﹣4）2+|b﹣3|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣3＝0， ∴a＝4，b＝3， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时， ∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时， ∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10； 综上所述：等腰三角形的周长为11或10， 故答案为：11或10． 【易错点2 等腰三角形的边不明确分类讨论】 1．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（　　） A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm 【答案】A 【解答】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm； 当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 故选：A． 2．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．40° B．50° C．40°或140° D．50°或130° 【答案】C 【解答】解：分两种情况： 当△ABC是锐角三角形时，如图： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝50°， ∴∠A＝90°﹣∠AED＝40°； 当△ABC是钝角三角形时，如图： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝50°， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝40°， ∴∠DAC＝180°﹣∠DAE＝140°； 综上所述：这个等腰三角形的顶角为40°或140°， 故选：C． 【易错点3 等腰三角形的性质与判定综合】 1．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN与AB、AC分别相交于M、N两点．若AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长是 　12　． 【答案】12． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴MB＝MO，NO＝NC， ∵AB＝5，AC＝7， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+NC+AN ＝AB+AC ＝5+7 ＝12， 故答案为：12． 【易错点4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个， 当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个； ∴这样的顶点C有8个． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$