专题19 函数的零点与方程的解9种常见考法归类(92题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题19 函数的零点与方程的解9种常见考法归类（92题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求函数的零点 考点二 零点的个数问题 考点三 判断零点所在的区间 考点四 根据函数零点所在的区间求参数范围 考点五 已知零点个数求参数范围 考点六 比较零点大小 考点七 求零点的和 考点八 二次函数的零点问题 考点九 函数与方程综合 知识点1：函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 注：函数的零点不是函数与x轴的交点，函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 知识点2：函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 注：（1）函数零点存在定理的条件有哪些？定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. （2）在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 知识点3：二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 解题策略 1、求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 2、判断函数零点个数的六种常用方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (6)转化成两个函数图象的交点个数问题． 3、确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 4、根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　 考点一 求函数的零点 1．（2024秋·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 2．（2024秋·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是 ． 3.（2023春·浙江·高一校联考期中）函数的零点是 4．（2024秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）函数的零点为 ． 5.（2023·全国·高三专题练习）函数的零点为 ． 6.（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）已知函数，则函数的零点为 . 7．（2024·全国·高一专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3)； (4). 8．（2024·全国·高一专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点. (1)； (2)； (3)； (4) 9．（2024秋·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）设是函数的两个零点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 10．（2024·全国·高三专题练习）若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（　　） A． B． C． D． 11．（2024·全国·高一专题练习）设函数，则方程的解集为 . 12．（2024秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ． 考点二 零点的个数问题 13.（2023·高一课时练习）已知二次函数，若，则在区间内的零点情况是（    ） A．有两个零点 B．有唯一零点 C．没有零点 D．不确定 14.（2023·高一课时练习）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2024·全国·高一专题练习）方程解的个数为 . 16．（2024秋·福建漳州·高三校考阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2024·全国·高一课堂例题）讨论方程的解的个数与分布情况． 18.（2023·全国·高三专题练习）已知，方程的实根个数为 ． 19.（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）若函数，则函数的零点个数是 . 20.（2023·全国·高三对口高考）函数的图象与函数的图象的交点个数为 个． 21．（2024·河南·校联考模拟预测）设是定义在上的周期为5的奇函数，，则在内的零点个数最少是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 22．（2024秋·北京大兴·高三北京市大兴区第一中学校考阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（2024·全国·高一专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 . 24.（2023·江苏·高一假期作业）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)就a的取值范围讨论函数的零点的个数． 25．（2024秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上的图象如图所示.    (1)在答题卡中作出在上的图象； (2)求函数的零点的个数. 26．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 27.（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若的值域为，则至多有 个零点. 考点三 判断零点所在的区间 28．（2024秋·河南·高三校联考阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·全国·高一专题练习）的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·全国·高一专题练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 31．（2024秋·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·全国·高三专题练习）设函数的零点为，则所在的区间是（　　） A． B． C． D． 33．（2024·全国·高一专题练习）函数零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 34.（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 35．（2024秋·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）函数的一个零点在内，另一个零点在（    ）内. A． B． C． D． 36．（2024·全国·高一专题练习）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·吉林长春·东北师大附中校考一模）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 38.（2023春·云南楚雄·高一统考期末）若是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 39．【多选】（2024秋·新疆·高一校联考期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 3 5 7 24 13 1 则一定包含的零点的区间是（    ） A． B． C． D． 40．【多选】（2024·全国·高三专题练习）若函数图象是连续不断的，且，，则下列命题不正确的是（    ） A．函数在区间内有零点 B．函数在区间内有零点 C．函数在区间内有零点 D．函数在区间内有零点 考点四 根据函数零点所在的区间求参数范围 41.（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）设为方程的解，若，则的值为 . 42．（2024·全国·高一专题练习）函数的零点为，且，，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 43．（2024·全国·高一专题练习）已知函数的零点位于区间内，则 . 44.（2023·高一课时练习）若函数在内恰有一个零点，则a的取值范围（   ） A． B． C． D． 45.（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是 . 46．（2024·全国·高三专题练习）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 47.（2023·全国·高一假期作业）若函数在内有且只有一个零点，则的取值集合是 . 48．（2024·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49.（2023春·河南信阳·高一统考期末）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2024·全国·高三专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51.（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为 ． 52．（2024秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）函数在上存在零点，则的取值范围是 ． 53．（2023春·江苏宿迁·高一统考期中）函数在上存在零点，则整数t的值为 ． 54．（2024·全国·高一专题练习）若函数在区间内恰有一个零点，其中，则的值为 ． 考点五 已知零点个数求参数范围 55．（2024秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为 56.（2023·全国·高一假期作业）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57.（2023·高一课时练习）若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 58．（2024秋·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数，.若有且只有1个零点，则a的取值范围是 . 59．（2024秋·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）若二次函数在区间有且仅有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 60.（2023·北京·高三专题练习）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 61．（2024秋·北京海淀·高三校考阶段练习）函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（2024秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．【多选】（2024·江苏连云港·校考模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（   ） A． B． C． D． 64．（2024秋·北京·高三北京四中校考阶段练习）已知函数． ①若，则函数的值域为 ； ②若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 65．（2024秋·福建福州·高二校考阶段练习）设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 66.（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 67．（2024秋·江苏连云港·高三东海县第二中学校考阶段练习）已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 68.【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 69.（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围； (3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围. 考点六 比较零点大小 70．（2024秋·高一课时练习）已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 71．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 72．（2024·全国·高三专题练习）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 73．（2024·全国·高一专题练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 74．（2024·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 75．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 考点七 求零点的和 76．（2024秋·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 77．（2024秋·江西·高三校联考阶段练习）已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 78．（2024秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A． B．32 C．16 D．8 79．【多选】（2024秋·广西南宁·高二南宁三十六中校考阶段练习）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 80．【多选】（2023春·西藏拉萨·高一统考期末）设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 81.（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知函数，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 82．（2024秋·山西·高二校联考开学考试）已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是 . 83．（2024秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ． 考点八 二次函数的零点问题 84.（2023·高一课时练习）方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是 . 85.（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）已知函数的零点为，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 86.（2023·江苏·高一假期作业）已知函数的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 87.（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 88.（2023·江苏·高一假期作业）已知函数. (1)若该函数有两个不相等的正零点，求的取值范围； (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求的取值范围． 考点九 函数与方程综合 89.（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围． 90.（2023秋·高一单元测试）已知函数，常数. (1)若是奇函数，求的值； (2)若，在区间内有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 91.（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若方程在区间上无解，求实数m的取值范围. 92.（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数 (1)证明：函数在上单调递减； (2)讨论关于x的方程的实数解的个数． $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题19 函数的零点与方程的解9种常见考法归类（92题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求函数的零点 考点二 零点的个数问题 考点三 判断零点所在的区间 考点四 根据函数零点所在的区间求参数范围 考点五 已知零点个数求参数范围 考点六 比较零点大小 考点七 求零点的和 考点八 二次函数的零点问题 考点九 函数与方程综合 知识点1：函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 注：函数的零点不是函数与x轴的交点，函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 知识点2：函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 注：（1）函数零点存在定理的条件有哪些？定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. （2）在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 知识点3：二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 解题策略 1、求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 2、判断函数零点个数的六种常用方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (6)转化成两个函数图象的交点个数问题． 3、确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 4、根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　 考点一 求函数的零点 1．（2024秋·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，即可得出答案. 【详解】解方程，即， 解得或，因此，函数的零点为. 故选：. 2．（2024秋·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是 ． 【答案】 【分析】结合函数的图象即可求解； 【详解】根据图象可得函数的零点是， 故答案为：. 3.（2023春·浙江·高一校联考期中）函数的零点是 【答案】/ 【详解】令， 则，解得， 故答案为：. 4．（2024秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）函数的零点为 ． 【答案】 【分析】解方程，求出答案. 【详解】令，故，解得， 故的零点为2. 故答案为：2 5.（2023·全国·高三专题练习）函数的零点为 ． 【答案】4 【详解】依题意有， 所以. 故答案为：4. 6.（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）已知函数，则函数的零点为 . 【答案】和 【详解】当时，令，解得； 当时，则在上单调递增，且， 故在内有且仅有一个零点2； 综上所述：函数的零点为和. 故答案为：和. 7．（2024·全国·高一专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)零点是 (2)不存在 (3)零点是 (4)零点是3 【分析】根据函数零点的概念结合条件即得. 【详解】（1）令，解得， 所以函数的零点是； （2）令＝0， 由于， 所以方程无解， 所以函数不存在零点； （3）令，解得， 所以函数的零点是； （4）令，解得， 所以函数的零点是3. 8．（2024·全国·高一专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点. (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)和1 (2) (3)2 (4)和 【分析】根据零点定义，令函数为0，解出值即可. 【详解】（1）令， 解得或. 所以函数的零点为，1. （2）令，即，解得. 所以函数的零点为. （3）令，即，解得. 所以函数的零点为2. （4）当时，由，即，也就是， 解得或.因为，所以； 当时，由，即， 解得，满足. 所以函数的零点为和. 9．（2024秋·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）设是函数的两个零点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到是函数的根，再利用韦达定理求解即可. 【详解】因为是函数的根， 由题意，，， 故选：D. 10．（2024·全国·高三专题练习）若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是奇函数可得，因为是的一个零点，代入得，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断可得答案. 【详解】因为是的一个零点，所以， 又因为f（x）为奇函数，所以， 所以，即. 所以， 故一定是的零点. 故选：C. 11．（2024·全国·高一专题练习）设函数，则方程的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换元法求出方程的解集作答. 【详解】函数，令，则方程化为， 当时，，解得，当时，，解得，因此或， 当时，，显然，即，解得， 当时，，若，则，解得，若，则，解得，因此或， 所以方程的解集为. 故答案为： 12．（2024秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ． 【答案】 【分析】本题即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求． 【详解】函数的零点，即方程的所有根， 令，根据函数，方程的解是， 则方程的根，即为方程的根， 当时，，由，， 当时，，由，， 综上，函数所有零点构成的集合是. 故答案为：. 考点二 零点的个数问题 13.（2023·高一课时练习）已知二次函数，若，则在区间内的零点情况是（    ） A．有两个零点 B．有唯一零点 C．没有零点 D．不确定 【答案】C 【详解】因为函数开口向下，又， 所以在区间内没有零点. 故选：C 14.（2023·高一课时练习）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程的实数解的个数为1， 故选：B    15．（2024·全国·高一专题练习）方程解的个数为 . 【答案】1 【分析】根据函数零点存在定理，或者函数与方程的思想判断函数图象交点个数即可得出答案. 【详解】解法一：令，则； 在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示.      由图可知函数与的图象只有一个交点， 即函数只有一个零点. 故原方程只有1个解. 解法二：因为，， 所以，说明函数在区间内有零点. 又在区间上是增函数，所以原方程只有一个解. 故答案为：1 16．（2024秋·福建漳州·高三校考阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】分和两种情况，根据函数单调性和零点存在性定理分析求解. 【详解】当时，则，即， 可得， 所以在内无零点； 当时，则，即， 可得， 因为在定义域内单调递增，则在内单调递减， 且， 所以在内有且仅有一个零点； 综上所述：函数的零点个数为1个. 故选：A. 17．（2024·全国·高一课堂例题）讨论方程的解的个数与分布情况． 【答案】答案见解析 【分析】方程的解是函数的零点，可以通过适当的计算和增减性讨论来解答；也可以将所求方程的解看成是两函数和的图象的公共点的横坐标． 【详解】函数，其零点就是方程的解． 计算得：，， 可见在内有零点． 另一方面，由于单调递增而也单调递增（因为单调递减）， 因此单调递增，所以在内恰有一个零点． 由图象可看出，函数与的图象只在区间内有一个交点，      所以原方程有且只有一个解，且此解在区间上． 18.（2023·全国·高三专题练习）已知，方程的实根个数为 ． 【答案】2 【详解】由，则， 则令，， 分别作出它们的图象如下图所示，    由图可知，有两个交点，所以方程的实根个数为2． 故答案为：2． 19.（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）若函数，则函数的零点个数是 . 【答案】2 【详解】作出与的函数图像如图：      由图像可知两函数图像有个交点， 所以函数有两个零点. 故答案为： 20.（2023·全国·高三对口高考）函数的图象与函数的图象的交点个数为 个． 【答案】2 【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图，它们交点个数为2．    故答案为：2. 21．（2024·河南·校联考模拟预测）设是定义在上的周期为5的奇函数，，则在内的零点个数最少是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用函数的周期性、奇偶性求区间零点的个数. 【详解】因为是定义在上的周期为5的奇函数， 所以，又，所以， 则，则． 所以， 故零点至少有，则在内的零点个数最少是9． 故选：D 22．（2024秋·北京大兴·高三北京市大兴区第一中学校考阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合分段函数，在各自的范围判断零点个数即可. 【详解】当时，令，解得：； 当时，在上单调递增， 又，所以， 所以在上有且只有1个零点； 综上，在上有2个零点. 故选：C 23．（2024·全国·高一专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 . 【答案】3 【分析】时，，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．从而可求出结果. 【详解】∵函数是定义域为的奇函数， ∴，所以0是函数的一个零点， 当时，令， 得到， 分别画出函数和的图像，如图所示，有一个交点，      所以函数在上有一个零点， 又根据对称性知，当时，函数也有一个零点. 综上所述，的零点个数为3. 故答案为：3. 24.（2023·江苏·高一假期作业）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)就a的取值范围讨论函数的零点的个数． 【答案】(1)作图见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象．   .   （2）由图象易知，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数．. 当时，函数的零点的个数为0； 当与时，函数的零点的个数为2； 当时，函数的零点的个数为4； 当时，函数的零点的个数为3. 25．（2024秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上的图象如图所示.    (1)在答题卡中作出在上的图象； (2)求函数的零点的个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)零点的个数为4 【分析】（1）根据偶函数关于轴对称，即可画出函数图象； （2）依题意可得，则问题转化为直线与图象的交点个数. 【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，所以函数图象关于轴对称， 则作出在上的图象如下图所示：    （2）由，得， 因为， 所以直线与的图象有个公共点， 所以零点的个数为4. 26．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】将函数的零点个数转化为方程和根的个数，然后再转化为函数与，图象交点个数，最后结合图象判断即可. 【详解】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 27.（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若的值域为，则至多有 个零点. 【答案】4 【详解】当时，， 由可得，； 当时，， 由可得，或； 当时，， 由可得，或. 综上所述，的零点可能是或或或. 所以，的零点至多有4个. 故答案为：4. 考点三 判断零点所在的区间 28．（2024秋·河南·高三校联考阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】在上连续且单调递增，，，故函数的零点位于区间内． 故选：B． 29．（2024·全国·高一专题练习）的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性及函数零点存在性定理求解. 【详解】因为在上单调递增， 且， 所以函数零点所在区间为. 故选：C 30．（2024·全国·高一专题练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项. 【详解】函数为增函数， ，，，， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：B 31．（2024秋·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算端点函数值，根据零点存在性定理和单调性直接判断可得. 【详解】易知增函数加增函数为增函数，函数在定义域上单调递增，且， ，所以存在唯一零点，且. 故选：C. 32．（2024·全国·高三专题练习）设函数的零点为，则所在的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点存在性定理求解． 【详解】易知在上单调递增且连续，，， 所以 故选：B 33．（2024·全国·高一专题练习）函数零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即可得解. 【详解】由单调性的性质易得在上单调递增， 又，， 所以的零点所在的区间是. 故选：C. 34.（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知函数定义域为，且函数单调递增， 又，所以上没有零点； ， ，由零点存在定理可知， 所以零点所在区间是. 故选：D 35．（2024秋·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）函数的一个零点在内，另一个零点在（    ）内. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合零点存在性定理列不等式组求解即可. 【详解】因为函数的一个零点在内， 所以，又因为函数在连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在内. 故选：C. 36．（2024·全国·高一专题练习）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理分析判断即可 【详解】构造函数， 因为和在上单调递减，所以函数在上单调递减， 且函数的图象是一条连续不断的曲线， 因为，，， 由的单调性可知，，则， 故函数的零点所在的区间为， 即方程的根属于区间． 故选：C 37．（2024·吉林长春·东北师大附中校考一模）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可. 【详解】设，则方程根所在区间即为零点所在区间， 与在上均为增函数，在上单调递增； 对于A，，当时，，A错误； 对于B，，，即， ，使得，B正确； 对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误. 故选：B. 38.（2023春·云南楚雄·高一统考期末）若是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在定义上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在区间是，即． 故选：C. 39．【多选】（2024秋·新疆·高一校联考期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 3 5 7 24 13 1 则一定包含的零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据零点存在性定理结合表中的数据分析判断即可 【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线， 且， 所以一定包含的零点的区间是． 故选：BCD 40．【多选】（2024·全国·高三专题练习）若函数图象是连续不断的，且，，则下列命题不正确的是（    ） A．函数在区间内有零点 B．函数在区间内有零点 C．函数在区间内有零点 D．函数在区间内有零点 【答案】ABC 【分析】根据零点存在定理分析判断. 【详解】因为，则中有一个小于0，另两个大于0，或三个都小于0. 若，又， 则，所以函数在区间内有零点； 若，又， 则，，所以函数在区间，内有零点； 若，又， 则，所以函数在区间内有零点； 若，又， 则，所以函数在区间内有零点， 综上，函数在区间内必有零点，因此ABC错误，D正确. 故选：ABC. 考点四 根据函数零点所在的区间求参数范围 41.（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）设为方程的解，若，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意可知是方程的解，所以， 令，由，所以， 再根据，可得， 故答案为: . 42．（2024·全国·高一专题练习）函数的零点为，且，，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【分析】利用函数的零点存在定理求解. 【详解】解：因为在上单调递增， 又， 所以， 故选：A 43．（2024·全国·高一专题练习）已知函数的零点位于区间内，则 . 【答案】2 【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数在区间内存在零点即可得出结果. 【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增， 易知， 而，所以, 根据零点存在定理可知，函数在区间内存在零点， 所以可得. 故答案为： 44.（2023·高一课时练习）若函数在内恰有一个零点，则a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，只有一个零点，不符合题意， 当时，若，即，函数只有一个零点，不符合题意， 因函数在内恰有一个零点，则，即，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A 45.（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得：为连续函数， 且在上单调递减，在上单调递增， 故，，， 所以只需或， 解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为： 46．（2024·全国·高三专题练习）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在区间端点的正负列式求解即可. 【详解】考查，因为，且开口向上， 故在区间上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程在区间上有解， 则，即，解得. 故答案为： 47.（2023·全国·高一假期作业）若函数在内有且只有一个零点，则的取值集合是 . 【答案】 【详解】   由已知得，，. 由二次函数图象及函数零点存在定理可知， 该函数在内只有一个零点，只需，解得. 故答案为：. 48．（2024·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数单调性，根据零点所在区间，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数的一个零点在区间内得， 解得， 故选：A 49.（2023春·河南信阳·高一统考期末）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点， 显然函数为增函数，只需满足，即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 50．（2024·全国·高三专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理即可得，解出实数的取值范围为. 【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点， 显然函数为增函数，只需满足，即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 51.（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为在单调递增，且有零点， 所以，解得， 故答案为： 52．（2024秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）函数在上存在零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，在根据零点情况，结合端点值的正负，列式求实数的取值范围. 【详解】为增函数减函数=增函数， 若函数在上存在零点，则且， 解得：. 故答案为： 53．（2023春·江苏宿迁·高一统考期中）函数在上存在零点，则整数t的值为 ． 【答案】1 【分析】得到的单调性，结合零点存在性定理及特殊值求出答案. 【详解】在R上单调递增，由零点存在性定理可知， ， 由于， 故整数. 故答案为：1 54．（2024·全国·高一专题练习）若函数在区间内恰有一个零点，其中，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为函数与图象的交点，根据，得到函数在内有一个零点，结合题意得到，即可求解. 【详解】如图所示，函数的零点，即函数与图象的交点， 由图象可知，两函数的图象只有一个交点，且， 所以，所以函数在内有一个零点， 又由，所以，所以. 故答案为：.    考点五 已知零点个数求参数范围 55．（2024秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为 【答案】 【分析】分和讨论即可. 【详解】（1）若，即时， ①当时，此时，此时没有零点， ②当时，此时，令，解得，符合题意， （2）当时，令， 则，解得或1（舍去）， 综上或，则的取值集合为. 故答案为：. 56.（2023·全国·高一假期作业）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 由于当时，，，且； 当时，，，且， 作出函数的图象如图所示， 则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根， 的取值范围是． 故选：C． 57.（2023·高一课时练习）若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】令， 令，则， 画出的大致图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点，符合题意， 故a的取值范围为，    58．（2024秋·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数，.若有且只有1个零点，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，将函数的零点个数问题转化成函数与函数的交点个数问题，然后在同一坐标系中，画出与的函数图象，最后根据图象求解出结果. 【详解】令，则, 在同一坐标系中画出，图象的示意图，如图所示， 若存在2个零点，则的图象与的图象有2个交点，平移的图象可知，当直线过点时，有2个交点，此时，得到， 当在上方，即时，仅有1个交点，符合题意； 当在下方，即时，有2个交点，不符合题意， 综上，a的取值范围为， 故答案为：.    59．（2024秋·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）若二次函数在区间有且仅有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的对称轴，然后根据已知可得，从而可求得结果. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数在区间有且仅有一个零点， 所以，即，得， 即的取值范围为， 故选：A 60.（2023·北京·高三专题练习）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 61．（2024秋·北京海淀·高三校考阶段练习）函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将有两个不同的零点转化为方程在有，两个根，然后利用韦达定理列不等式求解即可. 【详解】令，则， 函数单调递增，所以要想有两个不同的零点， 则需要函数有两个零点，即方程在有，两个根， 所以，解得. 故选：B. 62．（2024秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围. 【详解】时，，函数在上单调递减，， 令可得，作出函数与函数的图象如图所示：    由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是． 故选：D． 63．【多选】（2024·江苏连云港·校考模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将方程有根转化为曲线和直线的交点个数问题，根据函数图像分析运算即可得解. 【详解】解：因为关于的方程恰有两个不同的实数解， 所以函数的图象与直线的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，    所以当时，函数与的图象有两个交点， 所以实数m的取值范围是． 四个选项中只要是的子集就满足要求. 故选：BCD. 64．（2024秋·北京·高三北京四中校考阶段练习）已知函数． ①若，则函数的值域为 ； ②若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数和指数函数的性质即可求出函数的值域；根据零点和对应方程的解得关系可知，当时方程有1个解，当时方程有2个解，结合即可求解. 【详解】若，， 当时，， 当时，， 所以，即函数的值域为； 若函数有三个零点， 当时，令， 当时，方程有2个解，则， 即，由解得， 综上，，即实数a的取值范围为. 故答案为：；. 65．（2024秋·福建福州·高二校考阶段练习）设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出在时的取值范围，再画出函数图象，则问题转化为与有三个不同的交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】因为， 当时，则，所以，即， 画出函数图象如下所示： 因为方程有三个不同的实数根，即与有三个不同的交点， 由图可知，即实数的取值范围是. 故答案为： 66.（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得有解， 所以，解得或， 当时，必有，解得； 当时，必有，不等式组无解， 综上所述，，∴的取值范围为. 故选：A 67．（2024秋·江苏连云港·高三东海县第二中学校考阶段练习）已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出图象，令，可知方程有个不等实根，采用数形结合的方式可确定的取值范围，结合二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】作出函数的图象如下图所示，    令， 关于的方程有个不同的实根， 方程有个不同的实根， ，解得：或； 与与共有个交点， 不妨令，又， 或， 设， 当时，，解得：； 当时，，不等式组无解； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题的基本思路是通过换元法和数形结合的方式，将问题转化为一元二次方程根的分布的问题，通过两根的范围，结合二次函数零点分布的知识来构造不等式组求解. 68.【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】BCD 【详解】函数的图象，如图所示： 由题意知，直线与的图象有2个交点． 当直线过点时，， 当直线过点时，． 结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点， 如图所示： 又当直线与曲线相切在第一象限时， 直线与的图象也有2个交点，如图所示： ，化简可得，由，得， 又由图可知，所以，此时切点的横坐标为2符合. 综上，实数a的取值范围是. 故选：BCD． 69.（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围； (3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【详解】（1）设，则 ∴ ∵为偶函数 ∴ 综上，有 （2）由（1）作出的图像如图： 因为函数在区间上具有单调性， 由图可得或，解得或； 故实数的取值范围是或. （3）由（1）作出的图像如图： 由图像可知： 当时，有两个零点； 当时，有四个零点； 当时，有六个零点； 当时，有三个零点； 当时，没有零点. 考点六 比较零点大小 70．（2024秋·高一课时练习）已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设，作出函数的大致图象，结合它们的零点，数形结合，可判断出答案. 【详解】由题意：的零点，则， 令，则， 而，则其图象可由图象向下平移2个单位得到， 故可作出函数的大致图象如图：    由此可知应介于两数之间，结合选项可知可能的结果为， 故B，C，D错误，A正确， 故选：A 71．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则． 故选：ABD. 72．（2024·全国·高三专题练习）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解． 【详解】解：函数，，的零点， 即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图可得. 故选：B 73．（2024·全国·高一专题练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别令、、，根据函数定义域可得的范围，从而求出的范围可得答案. 【详解】令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 综上，. 故选：A. 74．（2024·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知； 构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知. 因为，则，因此，. 故选：B. 75．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性，可得答案. 【详解】函数的两个零点即函数与的图象的两个交点的横坐标，作出两个函数的图象，如下图： 则，，即，，故D错误； 由图可知，且，，则， 由，，则，即，可得，即， 故A、C正确，B错误. 故选：AC. 考点七 求零点的和 76．（2024秋·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 【答案】D 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为. 故选：D. 77．（2024秋·江西·高三校联考阶段练习）已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】A 【分析】判断函数和的图象关于点对称，即可判断曲线与曲线有且只有的两个交点关于点对称，结合函数图象交点与函数零点的关系，可得函数的零点之和. 【详解】由题意定义域为的函数满足， 则的图象关于点成中心对称， 函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到， 故的图象关于点成中心对称， 又曲线与曲线有且只有两个交点， 则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2， 而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标， 故函数的零点之和是2， 故选：A 78．（2024秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A． B．32 C．16 D．8 【答案】D 【分析】由题意可得是偶函数，则函数的零点都是以相反数的形式成对出现的，从而函数在上所有的零点的和为0，则函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和，即方程在上的所有实数解之和，作出函数的图象，数形结合可得答案． 【详解】∵函数是定义在上的奇函数，∴. 又∵函数， ∴ ∴函数是偶函数，∴函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. ∴函数在上所有的零点的和为0， ∴函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时，，故有， ∴函数在上的值域为，当且仅当时，. 又∵当时，，如图：    ∴函数在上的值域为；函数在上的值域为； 函数在上的值域为，当且仅当时，， 即方程在上的有一个实数解，即有一个零点； 综上，函数在上的所有零点之和为8. 故选：D. 79．【多选】（2024秋·广西南宁·高二南宁三十六中校考阶段练习）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数结合函数的单调性即可得解. 【详解】当时，， 当时，，当时，， 作出函数的图象如下，    则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为， 因为有四个不同的解且， 所以，且，且，， 又因为 所以即，所以， 所以，且， 构造函数， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 80．【多选】（2023春·西藏拉萨·高一统考期末）设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，函数与有四个交点，横坐标分别为且，进而数形结合，结合对数运算，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为有四个零点， 所以函数与有四个交点，横坐标分别为且， 作出函数的图象，如图所示， 由图可得，故A正确； ，故B错误； ，所以 由，得， 所以，所以，故C正确； 由，得，由，得， 所以， ， 由双勾函数的单调性可得函数在上递减， 所以，故D正确. 故选：ACD. 81.（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知函数，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出函数的图象如图，      若，由，即， 即，即，所以， 当时，单调递增，且， 令，则，所以， . 故选：D. 82．（2024秋·山西·高二校联考开学考试）已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据解析式画出函数草图，利用绝对值函数、对数函数、二次函数的性质得，，，结合对勾函数性质求零点之和的范围. 【详解】根据解析式可得草图如下：    要使互不相等的实数满足， 由图知：，，，且， 令，则或；令，则或；令，则； 令，则；令，则；令，则或； 所以， 所以，在上递增， 所以. 故答案为： 83．（2024秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的性质，作出函数的图象，借助对勾函数性质及二次函数对称性求解作答. 【详解】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 显然函数在上的图象关于直线对称，如图， 方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为， 显然，不妨令，则有，，有， 因此，而对勾函数在上单调递增，则，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 考点八 二次函数的零点问题 84.（2023·高一课时练习）方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵方程 的一根大于1，另一根小于1， 令， 则， 解得. 故答案为：. 85.（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）已知函数的零点为，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】开口向上，对称轴为， 要想满足，则要， 解得：. 故选：B 86.（2023·江苏·高一假期作业）已知函数的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为二次函数图象的开口向上，对称轴，函数的两个零点都大于2， 所以，解得. 故选：C 87.（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，即在时有2个不同的解， 设，根据双勾函数的性质可知， 在单调递减，单调递增， 且， 要使在时有2个不同的解， 则， 故选:D. 88.（2023·江苏·高一假期作业）已知函数. (1)若该函数有两个不相等的正零点，求的取值范围； (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）因为二次函数有两个不相等的正零点，且对称轴， 所以，解得或. （2）因为二次函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1， 所以，得或. 考点九 函数与方程综合 89.（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图象知：，即，解得：，当时，； 当时，，， 为上的偶函数，当时，； 综上所述：； （2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示， 有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点， 由图象可知：，即实数的取值范围为. 90.（2023秋·高一单元测试）已知函数，常数. (1)若是奇函数，求的值； (2)若，在区间内有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①若有定义，则，即，解得，此时符合题意； ②若无定义，则，故，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，不符合题意. 综上，. （2）当时，， 令，得，得或（舍）， 所以， 因为在区间内有且仅有一个零点，所以， 解得. 91.（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若方程在区间上无解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若函数为奇函数，即， 则，解得. （2）由（1）可得：， 若，则，可得， 构建， 对，且，则， 即，可得， 故，即， ∴在上单调递减， 由，可得在上的值域为， 故方程无解，则实数m的取值范围. 92.（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数 (1)证明：函数在上单调递减； (2)讨论关于x的方程的实数解的个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）任取， 则， 令，且， 则，， 所以，即， 故函数在上单调递减． （2）关于x的方程的实数解的个数，等价于函数与常函数的交点个数， 由（1）可得：， 令，且， 则，， 所以，即， 故函数在上单调递减， 结合（1）可得：函数在上单调递减，在上单调递增，故， 令，且，整理得，解得或， 故函数的图像如图所示： 可得函数的图像如图所示： 对于函数与常函数的交点个数， 则有：当时，交点个数为0个；当或时，交点个数为2个； 当时，交点个数为3个；当时，交点个数为4个． $$