第06讲 用配方法求解一元二次方程 （3个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第06讲 用配方法求解一元二次方程 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【例1】（2023秋•武侯区期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•朝阳区期末）一元二次方程的根为 　　． 【变式2】（2023秋•岳阳楼区期末）方程的两个根是　　 A．， B． C． D．， 【变式3】（2023秋•萍乡期末）解方程：． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【例2】（2024•德城区模拟）方程配方后可化成的形式，则的值为　　 A．5 B．4 C．3 D．1 【变式1】（2024•南通模拟）用配方法解方程，变形后的结果正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•玄武区校级三模）一元二次方程配方为，则的值是 　　． 【变式3】（2024•林州市模拟）解下列方程： （1）； （2）． 知识点3．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 【例3】（2024•南通模拟）已知，则的最小值是　　 A． B．0 C．2 D．4 【变式1】（2024•绵阳模拟）已知关于的多项式是四次三项式，关于的一元二次方程有实数根为，则的最小值为　　 A．1 B． C．2 D． 【变式2】（2024•通州区二模）已知实数，满足，若，则的最小值为 　　． 【变式3】（2024春•西山区校级月考）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，， ，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：， ，即时取等号． 的最小值为4． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 经典题型汇编 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2023秋•建平县期末）若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 　　． 2．（2024•耒阳市一模）一元二次方程的根为　　 A． B．， C． D．， 3．（2023秋•冷水滩区期中）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得 直接开平方，得，． 上述解题过程中的，，，所表示的数分别是　　，　　，　　，　　． （2）请用“平均数法”解方程：． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2024•河东区二模）用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•开封一模）用配方法解方程时，配方后得到的方程为 　　． 6．（2024•惠山区校级模拟）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 题型三．配方法的应用 7．（2024•海门区一模）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是　　 A． B．2 C． D． 8．（2024•威远县校级模拟）已知代数式可以利用完全平方公式变形为，根据这种变形方法，代数式的最小值是 　　． 9．（2024春•顺庆区校级月考）根据下列条件求值： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求的值． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（     ） A． B．， C． D． 4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东江门·期中）一元二次方程，配方后可变形为(　　) A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）用配方法解方程时，配方结果正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 二、填空题 11．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程时，配方后方程变形为 ． 12．（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程的解是 ． 13．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）代数式的最值是 ． 14．（21-22九年级上·四川眉山·期末）用配方法解方程，配方后所得方程是 ． 15．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图是一个计算程序，当输出值时，输入x的值为 ． 16．（23-24九年级上·北京东城·期末）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为 ． 17．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第 个图形中一共有130个小圆圈…… 18．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 20．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）选用适当的方法解方程： 21．用适当的方法解方程：． 23．（23-24九年级上·北京·开学考试）解方程： (1) (2) 24．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）（1）解方程： （2）在一个边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的矩形，求剩余部分图形的面积． 25．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 【知识运用】 周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最值． 26．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 用配方法求解一元二次方程 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【例1】（2023秋•武侯区期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据偶次方的非负性解答即可． 【解答】解：关于的方程有实数根， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 【变式1】（2023秋•朝阳区期末）一元二次方程的根为 　，　． 【分析】利用直接开平方法求解即可得到答案． 【解答】解：， ， ，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式2】（2023秋•岳阳楼区期末）方程的两个根是　　 A．， B． C． D．， 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：， ， ， ，． 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键． 【变式3】（2023秋•萍乡期末）解方程：． 【分析】开平方求出的值，然后求出的值即可． 【解答】解：由原方程，得 ， 则或， 整理，得 或， 解得，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．如果方程能化成的形式，那么． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【例2】（2024•德城区模拟）方程配方后可化成的形式，则的值为　　 A．5 B．4 C．3 D．1 【分析】先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可． 【解答】解：， ， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 【变式1】（2024•南通模拟）用配方法解方程，变形后的结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 【变式2】（2024•玄武区校级三模）一元二次方程配方为，则的值是 　1　． 【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到的值． 【解答】解：， ， ， ， 一元二次方程配方为， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形． 【变式3】（2024•林州市模拟）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程； （2）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）， ， ， 所以，； （2）， ， ， ， ， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法． 知识点3．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 【例3】（2024•南通模拟）已知，则的最小值是　　 A． B．0 C．2 D．4 【分析】利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果． 【解答】解： 因为，， ， 所以当，时， 原式有最小值4， 故选：． 【点评】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用配方法对原式进行变形． 【变式1】（2024•绵阳模拟）已知关于的多项式是四次三项式，关于的一元二次方程有实数根为，则的最小值为　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】先根据多项式的有关概念得出关于的方程和不等式，求出的值，再根据方程解的定义求出，再根据方程有解的条件求出的范围，最后根据整体思想求解． 【解答】解：由题意得：，，， 解得：， 关于的一元二次方程有实数根为， △，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握整体思想是解题的关键． 【变式2】（2024•通州区二模）已知实数，满足，若，则的最小值为 　　． 【分析】根据完全平方公式求解． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式3】（2024春•西山区校级月考）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，， ，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：， ，即时取等号． 的最小值为4． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【分析】（1）根据阅读中的公式计算即可； （2）先配方，化简，运用公式计算即可． 【解答】解：（1）当时，， ， ， 即时，的最小值为2； （2）， ， ， 又， ，即， 的最小值为． 【点评】本题考查了配方法，完全平方公式的应用，二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答． 经典题型汇编 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2023秋•建平县期末）若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 　　． 【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程直接开平方法是解题的关键． 2．（2024•耒阳市一模）一元二次方程的根为　　 A． B．， C． D．， 【分析】运用直接开平方法即可解决问题． 【解答】解：因为， 所以是3的平方根， 则． 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程直接开平方法，熟知直接开平方法是解题的关键． 3．（2023秋•冷水滩区期中）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得 直接开平方，得，． 上述解题过程中的，，，所表示的数分别是　5　，　　，　　，　　． （2）请用“平均数法”解方程：． 【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的、、、表示的数即可； （2）利用“平均数法”解方程即可． 【解答】解：（1）原方程可变形，得：． ， ． 直接开平方并整理，得．，． 上述过程中的、、、表示的数分别为5、3、2、， 故答案为：5、3、2、； （2）原方程可变形，得：． ， ． ， ，． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2024•河东区二模）用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 5．（2024•开封一模）用配方法解方程时，配方后得到的方程为 　　． 【分析】根据即可求解． 【解答】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 6．（2024•惠山区校级模拟）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）， △， 方程有两个不相等的实数根， ， ，； （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为． 【点评】本题考查解一元二次方程和解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． 题型三．配方法的应用 7．（2024•海门区一模）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是　　 A． B．2 C． D． 【分析】先将代入多项式中得：，则，计算所求式并配方与平方的非负性相结合即可求解． 【解答】解：把代入多项式中得：， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值是， 当时，， ， 本题多项式的值可以是． 故选：． 【点评】本题考查了配方法及偶次方的非负性在代数式求值中的应用，根据已知条件正确配方是解题的关键． 8．（2024•威远县校级模拟）已知代数式可以利用完全平方公式变形为，根据这种变形方法，代数式的最小值是 　1　． 【分析】依据题意，由，又对任意的都有，从而，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，， 又对任意的都有， ． 的最小值是1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 9．（2024春•顺庆区校级月考）根据下列条件求值： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求的值． 【分析】（1）把变形为，再把代入求值即可； （2）把配方可得，，代入求值即可． 【解答】解：（1）， ； （2）， ， ，； 代入得：． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是利用完全平方公式化简代数式． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，就是利用平方根的定义直接开平方．利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案即可． 【详解】解： ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（     ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ，， 故选：B 4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法-配方法，本题属于基础题型． 根据配方法写成的形式再代入计算即可求出答案． 【详解】 解：方程整理得：， 配方得：，即， ，， 则． 故选：D． 5．（23-24九年级上·广东江门·期中）一元二次方程，配方后可变形为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：，即． 故选：A． 6．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】 本题考查了运用配方法解一元二次方程，灵活运用完全平方公式进行配方是解答本题的关键．先移项，再利用完全平方公式配方即可； 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选：A． 7．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）用配方法解方程时，配方结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 方程常数项移动右边，左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】 解：方程， 移项得：， 两边同时加4，得：，即． 故选：C． 8．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，方程移项后，两边加上变形即可得到结果，熟练掌握完全平方公式和利用配方法解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：． 9．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，把代入方程求出，再解一元二次方程即可求解，掌握一元二次方程根的定义和解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴， ∴，， ∴这个方程的另一个根是， 故选：． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用．按照一移，二配，三变形的方法，进行配方后，判断即可．掌握配方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴到p的值为，q的值为6， 故选B． 二、填空题 11．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程时，配方后方程变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解： 移项得：， ∴， 配方得：，即． 故答案为． 12．（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了开平方的方法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． 【详解】解：， 系数化1得：， 开方得：． 故答案为 13．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）代数式的最值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用、偶次方的性质，先将原式配方得出，结合，即可得出答案，正确配方是解此题的关键． 【详解】解： ， ， 当时，有最大值，为， 故答案为：． 14．（21-22九年级上·四川眉山·期末）用配方法解方程，配方后所得方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，再在两边同时加减一次项系数一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图是一个计算程序，当输出值时，输入x的值为 ． 【答案】11或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用直接开方法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】解：根据题意得：， 当时，， ，解得或． 故答案为：11或． 16．（23-24九年级上·北京东城·期末）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 17．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第 个图形中一共有130个小圆圈…… 【答案】10 【分析】此题主要考查了图形变化规律及一元二次方程的应用．解题的关键是通过观察分析得出变化图形的规律，正确解方程． 仔细观察图形，找到图形中圆形个数的规律即可． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形有个圆圈， 第2个图形有个圆圈， 第3个图形有个圆圈， … 第n个图形有个圆圈， 当时，解得（舍）， 故答案为：10． 18．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算；设图中根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解． 【详解】解：设图中， 图中，， ，， 与的面积相等， ， ， ， 解得：，或（舍去）， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 20．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）选用适当的方法解方程： 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，两边开平方得到，进一步即可得到方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 【详解】解： 两边开平方得到，， ∴或， ∴， 21．用适当的方法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ∴， ∴或， ∴，． 22．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，实数的混合运算； （1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）根据有理数的乘方，负整数指数幂，二次根式的性质化简，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解： 23．（23-24九年级上·北京·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ∴ 24．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）（1）解方程： （2）在一个边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的矩形，求剩余部分图形的面积． 【答案】（1），（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及二次根式的应用，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和二次根式运算法则是解题关键； （1）利用配方法解该方程即可； （2）用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴， ，； （2） ， 所以，剩余部分图形的面积为． 25．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 【知识运用】 周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最值． 【答案】（1）1；（2）5． 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可． 【详解】解：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5. 26．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)山羊活动范围面积S的最大值是平方米 【分析】此题考查了配方法的应用、列代数式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据得到，整理即可得到答案； （2）根据列出代数式即可； （3）先得到，再根据题中的方法即可得到答案． 【详解】（1）依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）依题意得：， ∴， ∴； （3） 又因为，， ∴， ∴， 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$