直线和圆的方程章末检测-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线和圆的方程章末检测 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 2．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 4．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．若两条直线，与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A． B．1 C．2 D． 6．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．8 8．已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知，为圆上的两个动点，点，且，则（    ） A． B． C．外接圆圆心的轨迹方程为 D．重心的轨迹方程为 11．（多选题）已知圆，点是圆上的一个动点，点，则（ ） A． B．的最大值为 C．面积的最大值为2 D．的最大值为12 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . 14．已知动圆M经过点、，P是圆M与圆C：的一个公共点.当最大时，圆的半径为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 16.（本小题15分） 已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 17.（本小题15分） 五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中P，Q分别在边，上，记. (1)设与相交于点R，当时， （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求线段的长； (2)为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形的面积记为S）最大，应取何值？S的最大值为多少？ 18.（本小题17分） 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. (1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； (2)证明：直线在曲面上； (3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 19.（本小题17分） 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线和圆的方程章末检测解析版 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 故选：B 2．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 3．已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 4．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为． 故选：D． 5．若两条直线，与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形， 则可知圆心到两直线的距离相等且， 由圆，配方得， 则，解得.则其圆心为， 圆心到的距离为， 圆心到：的距离为， 所以，整理得到， 由，所以． 故选：D． 6．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 故选：D 7．过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【详解】如图： 依题意，，即. 解法一：，当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：B 解法二：设，由题意知直线与圆：有公共点，令，解得，故的最大值为. 故选：B 8．已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆C：的圆心为，半径为2， 直线l的方程可化为，于是l过定点，且， 显然，即， 又，因此， 设，，显然， 则，其中，当时等号成立，此时， ，符合条件， 所以的最大值为． 故选：D    二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 10．已知，为圆上的两个动点，点，且，则（    ） A． B． C．外接圆圆心的轨迹方程为 D．重心的轨迹方程为 【答案】ABC 【详解】因为圆，可得圆心，半径为，且点在圆内， 对于A中，由，根据圆的性质，可得， 即，即， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B中，因为，当线段的中垂线经过点时，此时取得最值， 如图所示，可得时，可得， 时，可得，所以B正确； 对于C中，设的外接圆的圆心为，则， 则有，可得， 即，所以C正确； 对于D中，设的重心为点，则， 由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为， 且点为的中点，即，所以， 即，即，所以D错误. 故选：ABC. 11．（多选题）已知圆，点是圆上的一个动点，点，则（ ） A． B．的最大值为 C．面积的最大值为2 D．的最大值为12 【答案】ACD 【详解】    对于A选项，圆的圆心为，半径为， 圆心到的距离为，∴， 即，故A正确； 对于B选项，根据题意，如图，当时，取的最大值， 此时为直角三角形，由于，∴， 故的最大值为，故B选项错误； 对于C选项，由于，∴当时，的面积最大， 即面积的最大值为，故C正确；    对于D选项，如图，当三点共线时，与共线且同向， ，，∴，故D选项正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 【答案】/0.5 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 设， 因为，所以， 则，则， 设点关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 由对称性可得在直线上，即， 解得， 故直线的方程为， 联立直线与直线， ，解得， 所以，将代入中， . 故答案为： 13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【详解】设，因为，化简得到圆：，是以为圆心，2为半径的圆； 圆是以为圆心为半径的圆，则，，所以两圆相交. 故答案为：相交. 14．已知动圆M经过点、，P是圆M与圆C：的一个公共点.当最大时，圆的半径为 . 【答案】 【详解】如图:    由圆的性质知：圆心M在AB的垂直平分线上，设AB与直线交于点， 记圆半径为R，当最大时，最大，即最大， 则，由正弦函数的单调性知，最大时，最小，此时两圆内切. 设，，又的圆心，半径为， 所以，即， 平方化简得， 进一步平方化简得，解得或（舍去）， 所以，即圆的半径为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【答案】(1)； (2)存在最大值； 【详解】（1）因为，所以， 所以直线的倾斜角为， 因为，所以， 所以直线的方程为：，化简得：. （2）将直线变形可得：， 对于取任何实数时，此方程恒成立，则 得， 即直线恒过两直线及的交点， 由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．      又因为过点且垂直于的直线方程是， 但无论时，直线表示为， 此时距离最大．所以，存在最大值． 16.（本小题15分） 已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 17.（本小题15分） 五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中P，Q分别在边，上，记. (1)设与相交于点R，当时， （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求线段的长； (2)为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形的面积记为S）最大，应取何值？S的最大值为多少？ 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)， 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由，， 所以， 由，得，所以， 又，则，， 在中，， 所以，所以， 所以直线的方程为，化简得， 又直线的方程为，联立，解得， 所以， 所以线段. （2） ， 又，所以， 所以当且仅当时，. 18.（本小题17分） 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. (1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； (2)证明：直线在曲面上； (3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为， 已知曲面的方程为， 当时，平面截曲面所得交线上的点满足， 即， 也即在平面上到原点距离为定值1， 从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆. （2）设是直线上任意一点， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， 于是， 因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上. （3）直线在曲面上，且过点， 设是直线上任意一点，直线的方向向量为， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， ∵在曲面上，∴， 整理得， 由题意，对任意的，有恒成立， ∴，且， ∴，或， 不妨取，则，或， ∴，或， 又直线的方向向量为， 则异面直线与所成角的余弦值均为 19.（本小题17分） 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【答案】(1) (2)①S的最大值为7；②证明见解析，点N在定直线上. 【详解】（1）解：设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， ①若，则直线斜率不存在， 则，，则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； ②设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$