1.2 直线的方程（九大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

1.2 直线的方程 课程标准 学习目标 1、能说出平面直角坐标系中确定直线的几何要素，能结合直线的点斜式方程求解过程，说明“直线的方程”和“方程的直线”之间的关系． 2、能根据确定直线的几何要素（一点和方向）建立点斜式方程，能通过点的特殊化得出斜截式方程． 3、能利用点斜式推出两点式，能通过特殊化得出截距式． 4、能通过归纳点斜式、斜截式、两点式、截距式的共性，概括出直线的一般式方程；能用自己的语言解释直线与二元一次方程的关系． 5、能用直线的方程解决简单的问题． 1、了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程． 2、掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 3、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 4、掌握直线的一般式方程 5、会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 【即学即练1】（2024·高二·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 【即学即练2】（2024·高二·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 【即学即练3】（2024·高二·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．叫做直线在x轴上的截距，叫做直线在轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令得直线在轴上的截距；令得直线在轴上的截距． 【即学即练4】（2024·高二·全国·课后作业）过两点，的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 知识点五：直线方程的一般式 关于和的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 【即学即练5】（2024·高二·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 题型一：求直线的点斜式方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的方程是，则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为（    ） A．（－1，2），－1 B．（2，－1），－1 C．（－1，－2），－1 D．（－2，－1），1 【典例1-2】（2024·高二·河南·阶段练习）经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1-1】（2024·高二·山东·阶段练习）经过点，斜率为3的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·陕西延安·期末）若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，经轴反射，则反射直线的点斜式方程是（    ） A． B． C． D． 题型二：求直线的斜截式方程 【典例2-1】（2024·高二·广东湛江·阶段练习）倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 【典例2-2】（2024·高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【方法技巧与总结】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 【变式2-1】（2024·高一·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 题型三：用两点式求直线的方程 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【典例3-2】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式3-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【变式3-2】（2024·高二·上海金山·阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为 ． 题型四：用截距式求直线的方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 【典例4-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线经过点和两点，求直线的一般式方程和截距式方程，并画出图象． 【方法技巧与总结】 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式4-1】（2024·高二·全国·专题练习）将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 【变式4-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 题型五：直线的一般式方程 【典例5-1】（2024·高二·山东青岛·期末）直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为 . 【典例5-2】（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）（1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程． （2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程． 【方法技巧与总结】 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式5-1】（2024·高二·全国·专题练习）的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为 . 题型六：中点坐标公式 【典例6-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）若点与的中点为，则直线必定经过点 A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高二·湖北·阶段练习）直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为 . 【方法技巧与总结】 已知点、，则AB的中点. 【变式6-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为 ． 【变式6-3】（2024·高二·全国·专题练习）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 ． 【变式6-4】（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为 . 题型七：判断动直线所过定点 【典例7-1】（2024·高二·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 【典例7-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【方法技巧与总结】 合并参数 【变式7-1】（2024·高二·四川·期中）已知直线经过定点，则点的坐标为 . 【变式7-2】（2024·高二·陕西安康·期末）直线恒过定点 ． 题型八：直线与坐标轴形成三角形问题 【典例8-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【典例8-2】（2024·高二·浙江绍兴·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【方法技巧与总结】 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式8-1】（2024·高二·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【变式8-2】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： (1)直线的斜率为； (2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为. 题型九：直线方程的综合问题 【典例9-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【典例9-2】（2024·高二·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 【方法技巧与总结】 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 【变式9-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知为直线的方向向量，，A为MN的中点． (1)求出点A的坐标； (2)若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程； 【变式9-2】（2024·高二·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 1．（2024·高二·安徽芜湖·期末）经过点，倾斜角为的直线的点斜式方程为（    ） A． B．. C． D． 2．（2024·高二·全国·课后作业）直线的点斜式方程可以表示（    ）. A．任何一条直线         B．不过原点的直线 C．不与y轴垂直的直线         D．不与x轴垂直的直线 3．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知点、，则直线AB的两点式方程是 ． 5．（2024·高二·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 6．（2024·高二·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 7．（2024·高二·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 8．（2024·高二·全国·专题练习）已知点，求过线段AB的中点M，且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程. 9．（2024·高二·安徽·阶段练习）在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 10．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 11．（2024·高二·甘肃庆阳·期中）（1）求经过，且斜率为的直线方程； （2）已知直线l过点，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，求直线l的斜率． 12．（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 13．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线l：． （1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 直线的方程 课程标准 学习目标 1、能说出平面直角坐标系中确定直线的几何要素，能结合直线的点斜式方程求解过程，说明“直线的方程”和“方程的直线”之间的关系． 2、能根据确定直线的几何要素（一点和方向）建立点斜式方程，能通过点的特殊化得出斜截式方程． 3、能利用点斜式推出两点式，能通过特殊化得出截距式． 4、能通过归纳点斜式、斜截式、两点式、截距式的共性，概括出直线的一般式方程；能用自己的语言解释直线与二元一次方程的关系． 5、能用直线的方程解决简单的问题． 1、了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程． 2、掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 3、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 4、掌握直线的一般式方程 5、会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 【即学即练1】（2024·高二·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 故选： 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 【即学即练2】（2024·高二·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【解析】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 【即学即练3】（2024·高二·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 知识点四：直线的截距式方程 若直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．叫做直线在x轴上的截距，叫做直线在轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令得直线在轴上的截距；令得直线在轴上的截距． 【即学即练4】（2024·高二·全国·课后作业）过两点，的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于直线过，两点， 所以直线在x轴，y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为． 故选：D 知识点五：直线方程的一般式 关于和的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 【即学即练5】（2024·高二·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 【答案】 【解析】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 题型一：求直线的点斜式方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的方程是，则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为（    ） A．（－1，2），－1 B．（2，－1），－1 C．（－1，－2），－1 D．（－2，－1），1 【答案】C 【解析】由，得，所以直线的斜率为－1，过定点（－1，－2）． 故选：C. 【典例1-2】（2024·高二·河南·阶段练习）经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，经过点，斜率为的直线的点斜式方程为. 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1-1】（2024·高二·山东·阶段练习）经过点，斜率为3的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据直线的点斜式方程：过点且斜率为的直线方程是， 所以经过点，斜率为3的点斜式方程为： 故选：A. 【变式1-2】（2024·高一·陕西延安·期末）若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，经轴反射，则反射直线的点斜式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】光线沿倾斜角为的直线射向轴上经轴反射，则反射直线的倾斜角为, 反射光线斜率为,且反射光线过点, 这反射光线所在直线方程为点斜式方程是. 故选:B. 题型二：求直线的斜截式方程 【典例2-1】（2024·高二·广东湛江·阶段练习）倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 【答案】 【解析】由题意得，直线斜率为， 故直线的斜截式方程为. 故答案为： 【典例2-2】（2024·高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 【变式2-1】（2024·高一·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【答案】 【解析】设直线l的倾斜角为，则，则， 所以直线， 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：. 题型三：用两点式求直线的方程 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确. 故选：D. 【典例3-2】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 【方法技巧与总结】 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式3-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·上海金山·阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为， 故答案为：. 题型四：用截距式求直线的方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 【答案】 或 或 【解析】（1）设直线方程为，因为直线过点， 所以，整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． （2）由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为－2， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5， 则所求直线方程为或 故答案为：（1）或；（2）或. 【典例4-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线经过点和两点，求直线的一般式方程和截距式方程，并画出图象． 【解析】由直线过点和两点， 根据直线的两点式方程，可得， 可得直线的一般式方程为， 可得，可得截距式方程为， 图象如图所示， 【方法技巧与总结】 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式4-1】（2024·高二·全国·专题练习）将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 【解析】（1）将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为， 则直线的斜率为，在轴上的截距为. （2）将原方程化简为，可得直线的截距式方程为， 所以直线在轴和轴上的截距分别为. 【变式4-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 【解析】（1）由题意得的方程为，其斜截式方程为. （2）设的截距式方程为. 由题意得，得，所以的截距式方程为. 题型五：直线的一般式方程 【典例5-1】（2024·高二·山东青岛·期末）直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为 . 【答案】 【解析】由题意，直线l的截距式方程为， 化为一般式方程为. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）（1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程． （2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程． 【解析】（1）由倾斜角为可得直线斜率为，由于经过点， 代入点斜式方程得，即：； （2）设边的中点为，根据中点坐标公式得， 从而可得中线所在直线方程为，即：． 【方法技巧与总结】 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式5-1】（2024·高二·全国·专题练习）的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】，，∴边中点为， ∴中线方程为，即． 故答案为：. 题型六：中点坐标公式 【典例6-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）若点与的中点为，则直线必定经过点 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由中点坐标公式可得，所以直线化为，令，定点 【典例6-2】（2024·高二·湖北·阶段练习）直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为 . 【答案】. 【解析】由题意，设，由中点坐标公式得，则，则直线l的方程为：. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 已知点、，则AB的中点. 【变式6-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三顶点坐标为， 又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：， 则直线的两点式方程为：，故截距式方程为. 故选：A． 【变式6-2】（2024·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线与和，分别交于点和， 因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得， 所以和，则， 可得直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高二·全国·专题练习）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，设P（x，1），Q（7，y）， ∵线段PQ的中点坐标为（1，0）， ∴，解得x＝﹣5，y＝﹣1，∴P（﹣5，1）， ∴直线l的斜率， 故直线l的方程为y﹣0（x﹣1），即， 故答案为：． 【变式6-4】（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为 . 【答案】 【解析】因为点，，线段PQ的中点为， 所以，所以， 所以， 所以直线PQ的方程为，即， 故答案为：. 题型七：判断动直线所过定点 【典例7-1】（2024·高二·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【解析】已知直线方程化为， 由得，所以直线过定点． 故答案为：． 【典例7-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】直线即， 由题意，解得，即直线恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【方法技巧与总结】 合并参数 【变式7-1】（2024·高二·四川·期中）已知直线经过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】直线即，由得， 所以点的坐标为. 故答案为： 【变式7-2】（2024·高二·陕西安康·期末）直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】将直线化为， 令，解得， 故直线的恒过点为. 故答案为： 题型八：直线与坐标轴形成三角形问题 【典例8-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【解析】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 【典例8-2】（2024·高二·浙江绍兴·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【解析】（1）作，则. 由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 【方法技巧与总结】 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式8-1】（2024·高二·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 【变式8-2】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： (1)直线的斜率为； (2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为. 【解析】（1）由题意可知，直线的斜率为，解得. （2）由题意可知，在直线的方程中，令，可得， 令时，可得， 所以，直线分别交、轴于点、， 由题意可得，解得. 由题意可得，整理可得， 因为，解得. 题型九：直线方程的综合问题 【典例9-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. （2）设点A的坐标为，若，则， 则、，直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 此时直线与轴的交点为，则，，， 此时的周长为. 所以，存在直线满足题意. 【典例9-2】（2024·高二·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 【解析】（1）由题意易得直线AB过定点，又 ，且， 则，而是直角三角形， 故M为AB的中点， 故， 故． （2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成， 将代入得，， 故， 当且仅当，即，亦即时取等号， 故的最小值为． 【方法技巧与总结】 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 【变式9-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知为直线的方向向量，，A为MN的中点． (1)求出点A的坐标； (2)若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程； 【解析】（1）因为直线的斜率， 由题意可得：，解得， 则，所以MN的中点A的坐标为，即. （2）因为直线过点，设直线在x轴上的截距为，则在y轴上的截距是的， 则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即； 当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 【变式9-2】（2024·高二·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 【解析】（1）当直线过原点时，设，因为点在上，所以，即， 此时直线的方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为，点在上，，即， 此时直线的方程为， 综上所述：直线的方程为或； （2）设，，，，则的方程为， 点在上，故， ，当且仅当，即时等号成立， 故当时，取得最小值且最小值为． 1．（2024·高二·安徽芜湖·期末）经过点，倾斜角为的直线的点斜式方程为（    ） A． B．. C． D． 【答案】A 【解析】因为倾斜角为，则斜率，且过点， 则，即. 故选：A 2．（2024·高二·全国·课后作业）直线的点斜式方程可以表示（    ）. A．任何一条直线         B．不过原点的直线 C．不与y轴垂直的直线         D．不与x轴垂直的直线 【答案】D 【解析】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线． 故选：D. 3．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【答案】或 【解析】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知点、，则直线AB的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】直线的两点式方程为： 将点、代入得：. 故答案为：. 5．（2024·高二·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【解析】令，解得，故经过定点坐标为. 故答案为： 6．（2024·高二·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【答案】 【解析】由题意，在 令，解得， 不论m，n取什么值，直线必过一定点. 故答案为： 7．（2024·高二·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 【答案】 【解析】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点． 故答案为：． 8．（2024·高二·全国·专题练习）已知点，求过线段AB的中点M，且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程. 【解析】由题意中点M的坐标是. 设在轴，轴上的截距分别为，若截距不为0， 设方程为， 由已知得，解得. 所求方程为. 若，则此直线过点和原点， 所以方程为. 所以，所求直线方程为或. 9．（2024·高二·安徽·阶段练习）在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 【解析】（1）因为直线在y轴上的截距为1，所以其过点， 所以直线的方程为：，化简得. 由已知直线的斜率为：， 所以直线的方程为：，化简得. （2）由（1）知：直线为，令，得，故. 直线为，令，得，故， 所以. 10．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【解析】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 11．（2024·高二·甘肃庆阳·期中）（1）求经过，且斜率为的直线方程； （2）已知直线l过点，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，求直线l的斜率． 【解析】（1）由题可得直线方程为， 即所求直线的方程为； （2）设直线l的方程为，则 由题意有， 解得或， 由可知直线的斜率为， 所以直线 l 的斜率为或． 12．（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【解析】（1）由题意可得. （2）在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 13．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线l：． （1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 【解析】（1）由方程可知：时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，． 直线不经过第二象限，，解得 当时，直线变为满足题意． 综上可得：k的取值范围是； （2）由直线l的方程可得，． 由题意可得，解得． 当且仅当时取等号． 的最小值为4，此时直线l的方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$