第10讲拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法，知识清单+4类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法） 知识点01：用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 题型01利用向量法求点到直线的距离 【典例1】（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量法求点到直线的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得，，， ，，设向量与的夹角为， ， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 【典例2】（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可. 【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为正方体棱长为1，， 所以,, 设, 则, 而, 所以点到直线的投影数量的绝对值为 , 所以点到直线的距离为 ， 当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为， 故选：C. 【典例3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离； （2）利用法向量求解点面距. 【详解】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2， 则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形， 又都为等边三角形，连接， 所以为等边三角形， 取中点，连接，则， 又平面面，平面平面，面， 所以平面，则， 又因为，所以两两垂直. 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示， ， 由 则， 所以， 则， 所以点到直线的距离为. （2）由（1）知， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离. 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先求出直线的方向向量，然后依次求得，则到直线的距离为，求解即可. 【详解】由题意可知直线的方向向量为：， 又，则， ， 点到直线的距离为：. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】根据条件，求出，进而得出，再利用点到直线的距离的向量法即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·广东韶关·阶段练习）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，. (1)求二面角的正弦值； (2)求点到直线的距离； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法求出二面角的余弦值，再求正弦值. （2）用向量法求点到直线的距离. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 平面，而，则平面，为正方形的中心， 有，平面，则平面，显然直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 由平面，得平面的一个法向量为， 于是，所以二面角的正弦值为. （2）由（1）知，，， 所以点到直线的距离. 题型02点到平面的距离等体积法 【典例1】（23-24高一下·天津武清·阶段练习）如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】设与交于点O，连接，可证得平面，求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离，然后利用进行计算求解； 【详解】设与交于点，连接， 在正三棱柱中，显然点为的中点，又点为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 所以求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离， 因为，， ， 所以有，所以， 所以， 易得，所以， 设点到平面的距离为， 由，即， 所以有，解得， 即点到平面的距离为. 故答案为： 【典例2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，D是的中点，与交于点，且平面.若，则三棱柱的高为 . 【答案】/ 【分析】连接，设三棱柱的高为，分别求出相关的边和三角形面积，利用即可求得. 【详解】 如图，连接,设点到平面的距离为， 则即三棱柱的高. 因, D是的中点， 则, 由侧面为矩形易得,可得，, 则又， 因平面，因平面，则, 故, , 则的面积为, 的面积为, 由可得， 解得，即三棱柱的高为. 故答案为：. 【典例3】（2024·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出，最后得到答案． 【详解】如图，过作⊥，交于，过A作⊥，交于， 因为在中，,， 则，当四点共面时，点A到的距离最大． 因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即A到的最大距离为． 故答案为：． 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 . 【答案】/ 【分析】证明出平面，故的长即为点到平面的距离，求出，根据比例关系得到答案. 【详解】如图，设，又正方体棱长为1， 所以，平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 的长即为点到平面的距离，所以， 因为点O在线段上，且， 所以点O到平面的距离． 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）在正三棱柱中，，动点P在棱上，则点P到平面的距离为 . 【答案】 【分析】利用三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】在正三棱柱中，若， 平面，平面， 所以平面，动点P在棱上， 所以P到平面的距离等于到平面的距离， 由勾股定理可得， 在等腰三角形中，底边上的高长为， 所以等腰三角形的面积为， 由正三棱锥性质可得，， 且平面平面，平面平面， 所以到平面的距离为到的距离， 设点B1到平面的距离为， ， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在直三棱柱中，，则点B到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用等体积法求点面距离即可. 【详解】由题设为等边三角形，各侧面均为正方形，故， 所以中上的高为，则，若点B到平面的距离为， 又，由直棱柱的结构特征知：到面的距离是中边上的高为， 所以，则，即点B到平面的距离为. 故答案为： 题型03点到平面的距离的向量法 【典例1】（广西贵百河2023-2024学年高一下学期5月新高考月考测试数学试卷）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形三线合一可得，再由侧棱垂直于底面可得面即可得出结论； （2）可由等体积法计算即可得出. 【详解】（1）法一:是等边三角形，且是中点 面，面 面，面，且 面 面 法二：取的中点，则面，可知两两垂直， 如图以为轴，为轴，为轴，则，，，； 所以，，则，即； （2）法一：由题可知：； 在中，，； 取中点，在中，， 边上的高为； ； 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为． 法二：，，，， 设面的法向量为，； 设点到面的距离为， 故点到平面的距离为. 【典例2】（23-24高二下·甘肃武威·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可得且，从而得到，再根据线面平行的判定定理得到平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，利用点到平面的距离的向量计算公式即可求得点到平面的距离. 【详解】（1） 取的中点，连接，则， 且，所以且， 则四边形为平行四边形，． 又平面平面， 平面． （2）直三棱柱中，， 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则， 即令，则，得到平面的一个法向量， 又，， 所以点到平面的距离． 【典例3】（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）. (1)证明：平面平面； (2)若点为的中点，求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得，，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证. （2）由线面平行判定定理可证得平面，则点到平面的距离即为到平面的距离.方法一：以为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法计算即可. 【详解】（1）证明：连接，如图所示， 平面， ， ，即， 又为中点，则，且， 四边形为正方形，， 平面平面， 又，、平面，平面， 又平面平面平面. （2）在中，分别为中点，， 又平面平面，平面， 点到平面的距离即为到平面的距离， （方法一） ， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 设是平面的法向量， ， 取，则是平面的一个法向量， 点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. （方法二） 连接、，如图所示， 为等腰直角三角形，， 又平面是三棱锥的高， ， ， ， ， 设到平面距离为，则， ， 即到平面的距离为. 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，.    (1)证明：； (2)若三棱柱的体积为3，且直线与平面ABC所成角为60°，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，借助等边三角形的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，再利用体积公式与空间向量夹角公式，结合点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以， 又，所以，且，平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以；    （2）在平面中，作，垂足为D， 由（1）知平面，平面，所以， 而，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由为中点，所以， 所以可过点O作Oz轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为三棱柱的体积为3， 所以，故， 则，，，设，， 所以 平面ABC的一个法向量为， 所以，解得， 此时，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得，，所以， 又， 故点到平面的距离为. 【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为，的中点，点G在棱上，，直线与平面相交于点H. (1)从下面两个结论中选一个证明： ①；②直线，，相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）选①，易知，从而得平面，再由线面平行的性质定理，即可得；选②，易知与不平行，设，根据点、线、面的位置关系，可证，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离即可． 【详解】（1）证明：选①，因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以． 选②，因为，是的中点，所以与不平行， 设，则，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面，所以， 所以直线，，相交于一点． （2）连接，， 因为与均为正三角形，且是的中点， 所以，， 又平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,0,，,,,， 所以,，故,,， 所以 ,,,,,,， 设平面的法向量为,,，则， 令，则，，所以,1,， 所以点到平面的距离为， 故点与平面的距离为． 【变式3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，二面角的大小为，点到底面的距离为． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证； （2）取的中点，的中点，证明平面，建立空间直角坐标系，由条件求平面的法向量和，利用空间向量法求点到平面的距离． 【详解】（1）取的中点，连接、，因为是的中点， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）取线段的中点为，线段的中点为， 连接， 因为为直角梯形，， 所以，又， 所以， 因为，所以， 又，平面， 所以平面， 过点在平面内作直线， 则直线两两垂直， 以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 过点作，交直线于点， 因为，平面，， 所以平面，故平面， 又点P到底面的距离为，所以， 因为，， 所以为二面角的平面角， 由已知可得，所以， 所以， 所以， 所以，， 因为，所以， 所以 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 题型04点到平面的距离的探索性问题 【典例1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 . 【答案】 【分析】由面到点的距离的最小值转化为点到面的距离的最小值，建立合适的空间直角坐标系，由点到面的距离即可求得平面上任意一点到底面中心距离的最小值. 【详解】四棱锥的底面为边长为2的正方形，连接且相交于点，则点是底面中心，， 取的中点，连接，则， 又， 又， 面 又面， 面面 又，为面与面的交线，平面 面 又面，面， 以点为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，设平面的法向量为，设到平面的距离为， 则 令，则， 代入距离公式得， 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.      (1)证明：∥平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)（i），（ii）存在点，. 【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又，， ，， 所以四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面.    （2），，又，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ，又， 所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， （i）设平面的一个法向量为，则 ，即，令，可得，， ， 又平面的一个法向量为， ， 所以二面角的余弦值为. （ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为， 设，，， ， 由（i）知平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 则，解得或， 又，所以， 即存在点到平面的距离为，且. 【变式1】（23-24高二上·湖北宜昌·期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到，，利用求出，再利用点到平面距离公式， 代入相关向量坐标，解出即可. 【详解】过点作，交于点，，为中点， ，又，且，平面， 平面，平面，则， 则易得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别建立轴，如图所示： 则点,又知，，为中点，则， 故，，，， ，,， 又，， 设平面法向量为，则，且 有，令，则， 到平面的距离， ，化简得，故 故答案为：. 【点睛】本题涉及到点到平面的距离的计算方法，我们常用以下几种方法计算点到平面距离：（1）等体积法；（2）定义法；（3）转化法；（4）空间向量法。本题我们采用空间向量法求解相关参数，首先我们需要建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，再利用点到平面距离公式，其中为相关平面的法向量，此方法可操作性强，按步骤算出相关向量即可. 【变式2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）正方体中，，点在线段上. (1)当时，求异面直线与所成角的取值范围； (2)已知线段的中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意引入参数，建立适当的空间直角坐标系，将问题转换为两直线方向向量夹角的余弦的范围，然后结合异面直线角的范围即可得解. （2）引入参数，利用等体积法转换为求的体积，只需求到平面的距离以及即可得表达式，从而进一步得解. 【详解】（1）由题意正方体的三条棱长两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： ，由题意不妨设， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 令， 当时，， 当时，， 综上，， 所以异面直线与所成角的取值范围为. （2）如图所示： 由题意线段的中点是，，不妨设， 所以， 取平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 而 ， 所以三棱锥的体积为， 所以当且仅当时，三棱锥的体积取最小值. 【点睛】关键点睛：第一问关键是引入适当参数将问题先转换为求方向向量夹角的余弦，第二问的关键是等体积转换法，这样大大减少了计算量. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法） 知识点01：用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 题型01利用向量法求点到直线的距离 【典例1】（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 . 【变式3】（23-24高二上·广东韶关·阶段练习）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，. (1)求二面角的正弦值； (2)求点到直线的距离； 题型02点到平面的距离等体积法 【典例1】（23-24高一下·天津武清·阶段练习）如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为 ． 【典例2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，D是的中点，与交于点，且平面.若，则三棱柱的高为 . 【典例3】（2024·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为 . 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 . 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）在正三棱柱中，，动点P在棱上，则点P到平面的距离为 . 【变式3】（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在直三棱柱中，，则点B到平面的距离为 . 题型03点到平面的距离的向量法 【典例1】（广西贵百河2023-2024学年高一下学期5月新高考月考测试数学试卷）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【典例2】（23-24高二下·甘肃武威·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【典例3】（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）. (1)证明：平面平面； (2)若点为的中点，求直线到平面的距离. 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，.    (1)证明：； (2)若三棱柱的体积为3，且直线与平面ABC所成角为60°，求点到平面的距离. 【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为，的中点，点G在棱上，，直线与平面相交于点H. (1)从下面两个结论中选一个证明： ①；②直线，，相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. (2)求点A到平面的距离. 【变式3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，二面角的大小为，点到底面的距离为． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 题型04点到平面的距离的探索性问题 【典例1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 . 【典例2】（23-24高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.      (1)证明：∥平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式1】（23-24高二上·湖北宜昌·期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为 ． 【变式2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）正方体中，，点在线段上. (1)当时，求异面直线与所成角的取值范围； (2)已知线段的中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$