专题1.5 空间向量法求空间中的角度（3类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.5 空间向量法求空间中的角度 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 1 【考点2：直线与平面所成角的向量求法】 4 【考点3：平面与平面所成角的向量求法】 9 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 【知识点：直线与直线所成角的向量求法】 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 [0，π] 求法 1．（2024高二下·广西南宁·阶段练习）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二上·青海海东·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. (1)求证: (2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 8．（2024高三上·河北衡水·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，. (1)求证：平面； (2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值. 【考点2：直线与平面所成角的向量求法】 【知识点：直线与平面所成角的向量求法】 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. 1．（2024高二上·广东湛江·阶段练习）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为 ． 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 4．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在多面体中，都是等边三角形，平面为的中点. (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知正三棱柱中分别为的中点，. (1)证明:平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值. 6．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，正三棱柱所有的棱长均为2，点在棱上，且满足，点是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2024高二下·广东河源·阶段练习）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【考点3：平面与平面所成角的向量求法】 【知识点：平面与平面所成角的向量求法】 如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 1．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在三棱柱中，为的中点，，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 2．（2024高二上·吉林·阶段练习）在四棱锥中，平面，四边形是矩形， ，是线段的中点，是线段上一点，且垂直． (1)确定点 的位置； (2)求二面角的余弦值． 3．（2024高二上·广东湛江·阶段练习）在正四棱柱中，，为棱中点． (1)证明平面． (2)求二面角的正弦值． 4．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 5．（2024·青海·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，． (1)证明：． (2)若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 6．（2024高二下·云南昆明·阶段练习）如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 7．（2024高二下·云南·阶段练习）如图，在长方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)若，，长方体外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 8．（2024·山东烟台·三模）如图，在直三棱柱中，，M，N分别为，中点，且． (1)证明：； (2)若D为棱上的动点，当与平面所成角最大时，求二面角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 空间向量法求空间中的角度 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 1 【考点2：直线与平面所成角的向量求法】 9 【考点3：平面与平面所成角的向量求法】 19 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 【知识点：直线与直线所成角的向量求法】 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 [0，π] 求法 1．（2024高二下·广西南宁·阶段练习）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用求空间向量夹角余弦值的公式计算余弦值，然后利用同角三角函数关系求解正弦值即可. 【详解】设两条异面直线所成的角为， 且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以，即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：D 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量法求线线角解决即可. 【详解】以为原点，在平面过作的垂线交于， 以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则 ， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 4．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 5．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四面体嵌在长方体中，由题意可得长方体的长宽高的大小，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出直线，的方向向量的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，最后求出两条直线所成的角的余弦值． 【详解】将四面体放在如图所示的长方体中， 因为，， 设长方体的长，宽，高分别为，，， 则，可得，， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以的中点， 所以，， 所以， ，， 所以． 设直线，所成的角为，,， 所以,． 故选：A． 6．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值即可. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形， ，为等边三角形， 则，，，， 所以，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 7．（2024高二上·青海海东·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. (1)求证: (2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法从而求证； （2）利用空间向量法求解异面直线所成的角. 【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 可得，则， 所以，即. （2）是棱的中点，故，则， 设异面直线与所成角的大小为，， 则， 所以， 故异面直线与所成角的正切值为. 8．（2024高三上·河北衡水·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，. (1)求证：平面； (2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由菱形的性质得出，结合线面垂直的性质得出，从而由线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，由向量夹角的余弦的坐标公式即可得解. 【详解】（1）因为底面是平行四边形，且是等边三角形， 所以四边形是菱形，则有， 又平面，平面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面； （2）设， ∵是等腰三角形， ∴，， 以O为坐标原点，射线，分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系， 如图， 则，，，， 所以，， 设与所成角为， 所以 ， 即与所成角的余弦值为. 【考点2：直线与平面所成角的向量求法】 【知识点：直线与平面所成角的向量求法】 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. 1．（2024高二上·广东湛江·阶段练习）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出直线与平面夹角的正弦即可. 【详解】设直线和平面的夹角为，则， 所以直线和平面的夹角的余弦值是. 故选：B 2．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【答案】0/ 【分析】根据题意可得，可知∥平面或平面，即可得结果. 【详解】由题意可得：，即， 可知∥平面或平面， 所以直线与平面所成的角为0. 故答案为：0. 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】用向量法先求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可得答案. 【详解】 以为坐标原点,分别以为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为4，则， 所以 设平面的一个法向量为，所以， 所以，解得, 设直线与平面所成角为， 因为， 所以. 4．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在多面体中，都是等边三角形，平面为的中点. (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由全等三角形的判断方法和线面垂直的判定定理可得平而，进而可得，建立如图空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）由（1），利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）由都是等边三角形，， 可得. 取的中点为，则， 又，所以， 所以，即， 又平而，故平而. 因为，所以. 因为平面，平面， 所以，又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以，则. （2）由（1）知， 设平面的法向量为， 则即 取，则，所以， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知正三棱柱中分别为的中点，. (1)证明:平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助线线平行关系，先证平面，平面，从而可得面面平行； （2）以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角. 【详解】（1）分别为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以， 而平面平面，所以平面， 连接交于，连接OE，显然是的中点，因为为AB的中点， 所以，而平面，OE平面，所以平面， 又平面平面，所以平面平面 （2）因为为正三角形，所以， 因为三棱柱是正三棱柱，所以平面平面， 而平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为三棱柱是正三棱柱，， 所以侧面是矩形，分别为的中点， 以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 设平面的一个法向量为， 即，取，解得， 设直线与平面所成角为， 所以. 6．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，正三棱柱所有的棱长均为2，点在棱上，且满足，点是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小. 【详解】（1）如图： 取的中点，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 由， 取. 因为， 又直线平面，所以平面. （2）因为， 设直线与平面所成的角为， 则. 7．（2024高二下·广东河源·阶段练习）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）作出辅助线，得到，，由平行关系得到，得到三角形为等边三角形； （2）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面BCE的法向量，得到线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：由及AB，CD分别是上、下底面的直径可知，A，B，C，D四点共面． 作于点F，则，，故， 因为，所以， 故是等边三角形． （2）以为原点，过点与平面ABCD垂直的直线为x轴， 分别以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接， 则，，，由题易知，故， ，，， 设平面BCE的法向量为， 则即，取，得， 记直线BD与平面BCE所成的角为θ， 则． 故直线BD与平面BCE所成角的正弦值为． 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解答 (2) (3)存在， 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解； （3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解. 【详解】（1）如图1，取的中点，连接 因为且，又因为分别是的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以，令， 又因为，所以， 如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以 设点坐标为，则， 由得，则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由，令，则， 所以面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在，，理由如下： 设， 所以设，，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以存在满足条件的点，，则. 【考点3：平面与平面所成角的向量求法】 【知识点：平面与平面所成角的向量求法】 如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 1．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在三棱柱中，为的中点，，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接、，利用等腰三角形性质及线面垂直判定定理得平面，利用等边三角形的性质及线面垂直判定定理得平面，进而证得平面，即可利用线面垂直的定义可得证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数关系求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接、， 为的中点，，， ，， 又因为，平面，因此平面， 又是三棱柱，是平行四边形， ，， 、均为等边三角形，，则，， ， ，平面，平面， 平面，， ，在中，，，，又， ，即， 又平面，平面， 平面，. （2）由（1）可知、、两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由于是的中点，得，又由可得， ，，， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 设平面的法向量为，则，即， 令，得， 设平面与平面的夹角为， 则， ， 即平面与平面夹角的正弦值为. 2．（2024高二上·吉林·阶段练习）在四棱锥中，平面，四边形是矩形， ，是线段的中点，是线段上一点，且垂直． (1)确定点 的位置； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)是的中点 (2) 【分析】（1）由题意可知两两垂直，所以以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解； （2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）． 设，所以，，， 设，则，， 因为， 所以，得， 所以F是BC的中点； （2）由（1）知，，． 设平面的一个法向量为， 则 ， 令，则，，所以． 设平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以． 所以． 由图知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 3．（2024高二上·广东湛江·阶段练习）在正四棱柱中，，为棱中点． (1)证明平面． (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正四棱柱的性质，得到侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，结合，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为是正四棱柱，所以侧面， 而平面，所以 又，，平面，所以平面； （2）如图建立空间直角坐标系，则，，设，则， 所以，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 则，，， 设是平面的法向量， 所以取， 设是平面的法向量， 所以取， 设二面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 4．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由已知证出两两相互垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据，即可得证； （2）根据（1）再求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【详解】（1）证明：由，，，可得， ， 在直四棱柱中， 平面， 平面， 平面， 所以，， 所以两两相互垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以， 又平面，所以为平面的一个法向量， 又，即，所以平面平面． （2）由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角为， ， 所以平面和平面所成锐二面角的余弦值． 5．（2024·青海·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，． (1)证明：． (2)若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，，将线线垂直转换为线面垂直，即平面，通过线面垂直的判断定理证明即可； （2）先证明平面ABC，再建立空间直角坐标系求出各点的坐标，求出二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式即可得出结果. 【详解】（1）证明：取AB的中点，连接，，因为M为AC的中点，所以， 又，所以， 因为，所以，所以M，N，，四点共面， 因为，，，平面，平面， 所以平面，所以. （2）因为平面，所以， 又，，所以， 因为，，所以在中，，则， 由平面，可得.因为，所以平面ABC， 以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，以经过点且垂直于方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则由，可得， 令，得， 由题可知，平面的一个法向量为， ， 则平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 6．（2024高二下·云南昆明·阶段练习）如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，则由三角形的中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理得∥平面，由四边形为矩形结合线面平行的判定定理得∥平面，则平面∥平面，从而可证得结论； （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接， 因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为四边形为矩形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为平面，所以∥平面； （2）解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以， 因为二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 7．（2024高二下·云南·阶段练习）如图，在长方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)若，，长方体外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线性质证明，然后由线面平行的判定定理可证； （2）根据外接球表面积求出，然后以D为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由平面与平面夹角的向量公式求解可得. 【详解】（1）证明：因为E，F分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）解：长方体外接球的半径， 所以长方体外接球的表面积，解得. 以D为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，. 设平面的法向量为，则，即， 令，得，易知是平面的一个法向量， 由，得平面与平面夹角的余弦值为. 8．（2024·山东烟台·三模）如图，在直三棱柱中，，M，N分别为，中点，且． (1)证明：； (2)若D为棱上的动点，当与平面所成角最大时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，证明即可； （2）当与平面所成角最大时，求出此时点的位置，再求出二面角所对应的两个平面的法向量，结合向量夹角公式即可运算求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，而平面，平面， 所以，， 因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，， 所以两两互相垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，M，N分别为，中点， 所以，， 所以， 所以， 所以，即； （2） 由（1）得，， 设， 所以， 因为平面， 所以取平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 所以与平面所成角的正弦值为， 若要与平面所成角最大，则当且仅当最大， 所以当且仅当时，最大，此时， 因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，平面， 所以平面和平面是同一个平面， 所以平面， 所以可取平面的一个法向量为， 若的坐标为，且注意到， 所以， 设平面的法向量为， 由，可得，令，解得， 所以取平面的一个法向量为， 由图可知二面角是锐角， 所以二面角的余弦值为， 综上所述，二面角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$