第04讲 特殊平行四边形中的最值模型-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第04讲 特殊平行四边形中的最值模型 【北师大版】 ·模块一 根据“两点之间，线段最短”原理求最值 ·模块二 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值 ·模块三 课后作业 模块一 根据“两点之间，线段最短”原理求最值 【模型一】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【模型二】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【模型三】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【考点1 菱形中的最值问题】 【例1】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，菱形中，对角线，分别是的中点，P是线段上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称-最短距离问题，菱形的性质，平行四边形的判定及性质，根据勾股定理得到，取的中点，连接，，结合题意可知四边形是平行四边形，，得，，可得，即可求解．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解： ∵四边形是菱形，与交于点， ∴，， ，，，， ∵， ， ，， ， 取的中点，连接，，则， ∵为的中点，为的中点， ∴，，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当、、三点在同一直线上时取等号， 故选：C． 【变式1.1】（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，点是菱形对角线上一动点，，，点，分别是边，的中点，则周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，勾股定理；先作点关于的对称点，连接 交于，此时有最小值．然后证明四边形 为平行四边形，即可求出 ，再求出的长即可求出答案． 【详解】如图，作点关于的对称点，连接 交于，此时有最小值，最小值为 的长． 菱形关于对称，是边上的中点， 是的中点， 又是边上的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，即的最小值为， 连结，过点作，垂足为点， ， 在中，， ， 的周长最小值是 ． 故选：D． 【变式1.2】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式1.3】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】连接，作关于直线的对称点，连接，，，，可得，，，证明四边形为平行四边形，可得，则，当三点共线时，此时取等于号，最小，证明当三点共线时，重合，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，， ∴，，， ∵菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，此时取等于号，最小， ∵菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴当三点共线时，重合， ∵， ∴，即最小值为4． 故答案为：4 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【考点2 矩形中的最值问题】 【例2】（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形中，，，点E是边的点，，点F是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，为斜边，连接，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，则可证明，得；取中点O，则，则点G在直线上运动，连接，则，，当三点共线时最小，从而最小，由勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点G作于H， 则， ； 四边形是矩形， ， ， ， ； ， ， ； 取中点O，连接，则， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 则点G在直线上运动； 连接，则垂直平分， ， ， 当三点共线时最小，从而最小， ， 则由勾股定理， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，确定点G运动的路径是解题的关键． 【变式2.1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．连接、、．根据三边关系，P，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、、． ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，点O、P分别是边、的中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ∵，， ∴的最小值为 故选：C． 【变式2.2】（2024·山东聊城·三模）如图，四边形是矩形，点是边上任意一点（不与点A，D重合），连接，．点E，F分别是，的中点，连接，，，过点F作，交于点H．若，，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，轴对称的性质．先求得矩形的边长，根据三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质求得，延长到，使，连接交于点，得到有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 延长到，使，连接交于点， 此时有最小值， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【变式2.3】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为 ． 【答案】 【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，即四边形APQE的周长最小． 【详解】在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．则四边形APQF是平行四边形 ∴PA=FQ=GQ ∵E为CD边的中点 ∴DE=EC=2 ∴ ∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴， ∴四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP =+EQ+2+AP =+EQ+2+QG =+EG+2 =． 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求． 【考点3 正方形中的最值问题】 【例3】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，利用正方形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出，长，再证明是直角三角形，然后由勾股定理求出长即可． 【详解】解：作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，   ， ∵正方形，， ∴，，，，， ∴点O关于的对称点F， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ∴， ∴最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 【变式4.1】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在正方形中，点E在边上，，点P，Q分别是直线，上的两个动点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接，，若正方形的边长为12，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理．明确线段和最小的情况是解题的关键． 由翻折的性质可知，，如图，作关于的对称点，连接，则，，，，当四点共线时，的值最小，如图，连接，则的最小值为，由勾股定理得，，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 由翻折的性质可知，， 如图，作关于的对称点，连接，则， ∴，， ∴， ∴当四点共线时，的值最小， 如图，连接，则的最小值为， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【变式4.2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，添加合适的辅助线是解答的关键．过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，，，由得当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在，， 即的最小值为， 故答案为： 【变式4.3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E是边长为4的正方形的边上一点，且，交对角线于点F，的平分线交于点M，点P是线段上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理解直角三角形，正方形的性质，三角形三边关系，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点P作于点G，连接，过点F作于点H，作于点N，得出四边形是矩形，再由三角形三边关系确定的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点P作于点G，连接，过点F作于点H，作于点N，    ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 模块二 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值 【模型】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【考点1 菱形中的最值问题】 【例1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的对称性可知点B、D关于对称，则的最小值即为DE的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设与相交于点O，连接，，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当D、P、E三点共线时最小，即最小， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 【变式1.1】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过作，过点作于，交于，过点作于，过点作于，由直角三角形的性质求出，令，得到，因此，求出的值，得到的值，即可求出的值，由，即可解决问题． 【详解】解：过作，过点作于，交于，过点作于，过点作于，如下图， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是通过作辅助线，构造直角三角形，由直角三角形的性质求出的长，由即可求出的最小值． 【变式1.2】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】分别取的中点，连接，由菱形的性质得到点为的中点，结合点为的中点，推出是的中位线，得到，；即，易证四边形是平行四边形，证明是等边三角形，则为定角，推出点在上运动，当时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：分别取的中点，连接， 四边形是菱形，四边形是菱形，， ∵O点为的中点， 点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ，，即， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 是等边三角形， 点在上运动， 当时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 此时， ； 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1.3】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知菱形的对角线与的长分别为和，点，分别是线段，上的动点（均不与端点重合），点，分别是线段，的中点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形，勾股定理，最短路径的知识，解题的关键是作关于的对称性，连接，根据对称性，则，根据三角形的中位线，则；当点，，三点共线且时，有最小值；根据菱形的性质，勾股定理求出，再根据菱形的面积公式，即可． 【详解】解：作关于的对称性，连接，    ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴， ∴， ∴， 当点，，三点共线且时，有最小值（如图）， 即； ∵四边形是菱形， ∴点是，的中点，， ∵，， ∴，， ∴， ∵菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【考点2 矩形中的最值问题】 【例2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接，过点B作，根据已知可证明四边形为矩形，得到，当时最短，最短，此时最短，利用三角形等面积法求出即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点B作，   ，， ， 为矩形，， ，， 四边形为矩形， ， 当时最短，最短，此时最短， 时最短， ， ， 故答案为：． 【变式2.1】（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据面积法可计算的长为，根据三角形的三边关系可得：是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，所以垂线段最短，可知的长是的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ，， ， ， 是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，如下图所示，过点作于，过点作于，过点作于，所以垂线段最短，则的最小值为的值， ， ， ， 中，， ，， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式2.2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 【变式2.3】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于，首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小，求出、的长即可得到答案． 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 点的在射线上运动， 当时，的值最小， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题． 【考点3 正方形中的最值问题】 【例3】（23-24九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形性质，轴对称性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键． 作点F关于对称点，根据正方形是轴对称图形，是一条对称轴，可得点F关于的对称点在线段上，连接，P为上的一个动点，，则，的最小值为的长即可． 【详解】解：作点F关于对称点， ∵正方形是轴对称图形，是一条对称轴， ∴点F关于的对称点在线段上，连接， ∵P为上的一个动点， ∴， 则， 的最小值为的长， ∵，， ∴， 过点E作于点G， 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3.1】（2023·河南南阳·模拟预测）如图，正方形边长为4，F为对角线上一个动点，过C作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先过作交于，再连接、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案． 【详解】解：如图，过作交于，连接、， ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， 当时，取得最小值，此时， 周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题及矩形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质． 【变式3.2】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，，连接，在上截取，使得，连接，过点D作于点H．证明，推出，推出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，作出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，在上截取，使得，连接，过点D作于点H．    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵ ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【变式3.3】（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、角平行线的定义，线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，连接与交于点，交于点，连接，，证明，得到，，进而可证明，得到，推导出是线段的垂直平分线，得到，由两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，进而由，求出即可求解，确定出点与点重合时，的值最小是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，交于点，连接，，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 即的最小值是的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴ ∴的最小值为， 故选：． 模块三 课后作业 1．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小值时的情况是解题的关键． 作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ， ， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， 四边形是正方形， ， 点在边上， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得，， 的最小值是13 故选：B． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，      四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 3．（2023·山西朔州·一模）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，连接与相交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O是菱形的中心， 连接，取中点M，连接，，则，为定长， ∵菱形的边长为8，， ∴， 由勾股定理可得：， ∵M是的中点， ∴， 在Rt中，， 在Rt中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，最小为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值． 4．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点M、N分别是边的中点，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，中位线的性质等，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 连接，过点C作交延长线于点G，根据旋转的性质得出点F的运动轨迹为线段，确定，过点D作，再由等腰直角三角形的性质确定最小，利用中位线的性质即可求解 【详解】解：连接，过点C作交延长线于点G，如图所示： ∵E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴点F的运动轨迹为线段， ∵边长为的正方形， ∴，，， 过点D作， 此时最小， ∴， ∵点M、N分别是边的中点， ∴的最小值为， 故选：B 6．（2023·四川泸州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最短路线问题．取的中点，连接，，，，根据数量关系确定的最小值为的长度，求出的值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 为的中点， 为的中位线，即，且， 正方形的边长为2， ， ， ， ，且，即四边形为平行四边形， ， 连接，，根据正方形的对称性可知，， ， 根据两点间线段最短可得，当点，，在同一直线上时，取得最小值， 即此时的最小值为线段的长度， 连接，则在中， ，， ， 故的最小值为， 故答案为：． 7．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，点M是边的中点，点N是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点作交的延长线于点，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出，当点运动到线段上的点时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， 当点运动到线段上的点时，取得最小值， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出． 8．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．    【答案】 【分析】作点E关于的对称点N，连接，交于点G，根据两点之间线段最短，所以为的最小值，过点F作于点M，在直角中，求得的最小值为13，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，    作点E关于的对称点N， 因为正方形是轴对称图形，且为对称轴， 所以点N在上， 连接，交于点G，根据两点之间线段最短， 所以为的最小值， 过点F作于点M， 则，， 根据轴对称性质可知：， 所以， 在直角中，由勾股定理，得： ， 所以， 即的最小值为13， 在中，， 所以， 所以周长的最小值是． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路径问题，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 9．（22-23九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在矩形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕点E顺时针旋转到位置，连接和，则的最小值为 ．    【答案】4 【分析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，可得点在直线HG上运动，则当时，有最小值为，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转30度，得到，连接HG，过点作于，过点作于，     将绕着点顺时针旋转到的位置，将绕点顺时针旋转30度，得到， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在直线HG上运动， 当时，有最小值为， ，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ，， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】首先证明，求出的最小值即可，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：如图，连接． ，， ， ， 求出的最小值即可， 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：．    【点睛】本题考查轴对称最短问题，三角形中位线定理，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题． 11．（22-23八年级下·重庆万州·期末）如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，可得，从而的最小值为13． 【详解】解：连接、，如图： ，，， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形， 由正方形的对称性可得， ， ， 当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图： ，， ， ， 的最小值为13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是把求的最小值问题转化成求的长． 12．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在长方形ABCD中，，，点P为边AB上的一个动点，过点P作，分别交BD、CD于点E、Q，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】在长方形中，求出，，设，用勾股定理可得，可得，用勾股定理可得最小值． 【详解】解：在长方形中，，， ，， 设，则，， 在中， ，， ， 在中，， ， 在中， ， ， 如图：设，，，，，， 则，， 由图可知，当、、共线时，最小，最小值为的长， 过作交延长线于，则四边形是矩形， 在中， ，， ， 最小值是4， 最小值是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查矩形中的最短路径问题，解题的关键是设，用含的代数式表示，再构造数学模型用勾股定理即可求得答案． 13．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，四边形是边长为的正方形，M为对角线（不含B点）上任意一点． （1）的最小值是 ． （2）的最小值是 ． 【答案】 2 +1 【分析】（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，根据正方形的边长求出AC即可； （2）以AB为边作等边△ABE，连接CE，根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，求出EF和BF，再利用勾股定理求出CE的长即可． 【详解】解：（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC， ∵AB=BC=CD=DA=， ∴AC=2； （2）如图，以AB为边作等边△ABE，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小． 理由如下：在EC上截取EN=CM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°， 又∵BM=BM， ∴△ABM≌△CBM（SAS）， ∴AM=CM， ∵△ABE是等边三角形， ∴AB=BE=BC，∠ABE=60°， ∴∠BEC=∠BCE=15°， 又∵BE=BC，EN=CM， ∴△BEN≌△BCM（SAS）， ∴BM=BN，∠EBN=∠CBM=45°， ∴∠ABN=15°， ∴∠MBN=60°， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM=MN， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM， 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短， ∴当点M在BD上使∠BCM=15°时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长． ∵正方形ABCD的边长为， 如图，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF=90°-60°=30°， ∴EF=BE=， ∴BF==， ∴EC===+1， 故答案为：2，+1． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键确定点M的位置． 14．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将绕点A顺时针旋转至，将绕点D逆时针旋转至，则和是正三角形，进而可证当六点共线时的值最小．连接，则和是等边三角形，然后分别求出的值即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴ ， ∴当六点共线时的值最小． 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， 同理可证， ∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可求， ∴， 即的值最小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为4，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长，却，连接，，，过点O作于点H，证明，得出，证明垂直平分，得出，证明，根据当、E、G三点共线时，最小，即最小，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、E、G三点共线时，最小，即最小， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 特殊平行四边形中的最值模型 【北师大版】 ·模块一 根据“两点之间，线段最短”原理求最值 ·模块二 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值 ·模块三 课后作业 模块一 根据“两点之间，线段最短”原理求最值 【模型一】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【模型二】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【模型三】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【考点1 菱形中的最值问题】 【例1】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，菱形中，对角线，分别是的中点，P是线段上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C．5 D． 【变式1.1】（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，点是菱形对角线上一动点，，，点，分别是边，的中点，则周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【变式1.3】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ． 【考点2 矩形中的最值问题】 【例2】（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形中，，，点E是边的点，，点F是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，为斜边，连接，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式2.1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2024·山东聊城·三模）如图，四边形是矩形，点是边上任意一点（不与点A，D重合），连接，．点E，F分别是，的中点，连接，，，过点F作，交于点H．若，，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【变式2.3】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为 ． 【考点3 正方形中的最值问题】 【例3】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在正方形中，点E在边上，，点P，Q分别是直线，上的两个动点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接，，若正方形的边长为12，则的最小值为 ． 【变式4.2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为 ． 【变式4.3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E是边长为4的正方形的边上一点，且，交对角线于点F，的平分线交于点M，点P是线段上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为 ．    模块二 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值 【模型】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【考点1 菱形中的最值问题】 【例1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值是 ． 【变式1.1】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为 ． 【变式1.2】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 【变式1.3】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知菱形的对角线与的长分别为和，点，分别是线段，上的动点（均不与端点重合），点，分别是线段，的中点，则的最小值为 ．    【考点2 矩形中的最值问题】 【例2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【变式2.1】（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 【变式2.2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 【变式2.3】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【考点3 正方形中的最值问题】 【例3】（23-24九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 【变式3.1】（2023·河南南阳·模拟预测）如图，正方形边长为4，F为对角线上一个动点，过C作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 【变式3.2】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【变式3.3】（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·山西朔州·一模）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点M、N分别是边的中点，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 6．（2023·四川泸州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 7．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，点M是边的中点，点N是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ． 8．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．    9．（22-23九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在矩形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕点E顺时针旋转到位置，连接和，则的最小值为 ．    10．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ．    11．（22-23八年级下·重庆万州·期末）如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为 ． 12．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在长方形ABCD中，，，点P为边AB上的一个动点，过点P作，分别交BD、CD于点E、Q，则的最小值为 ． 13．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，四边形是边长为的正方形，M为对角线（不含B点）上任意一点． （1）的最小值是 ． （2）的最小值是 ． 14．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为4，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$