第十章概率单元测试-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019）必修第二册

第十章 概率（单元测试） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为(　　) A.2 　 B.4 　 C.6 　D.8 2.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.以上说法都不对 3.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 4.在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192　907　966　925　271　932　812 458　569　683　 257　393　127　556 488　730　113　537　989　431 据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为(　　) A.0.25 　 B.0.4 　 C.0.6 　 D.0.75 5.从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的28 730人中随机抽取20人，测得他们的身高分别为(单位：cm) ：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150、151、152、160、165、164、179、149、158、159、175，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm－170.5 cm之间的概率为(　　) A. 　B. 　C. 　D. 6.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 7.给出下列三个说法，其中正确说法的个数是(　　) ①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A.0 B.1 C.2 D.3 8.在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192　907　966　925　271　932　812 458　569　683　257　393　127　556 488　730　113　537　989　431 据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为(　　) A.0.25 　B.0.4 　C.0.6 　D.0.75 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示： 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是(　　) A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64 B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29 C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1 D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1 10.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(　　) A.P(B)＝ B.P(A∪B)＝ C.P(A∩B)＝0 D.P(A∪B)＝P(C) 11.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是(　　) A.两人均获得满分的概率为 B.两人至少一人获得满分的概率为 C.两人恰好只有甲获得满分的概率为 D.两人至多一人获得满分的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种． 13.从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________ 14.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（15分）在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表： 年最高水位(单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18] 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率： (1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18]. 16.（15分）用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”． (1)写出试验的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A，B，C，D； (3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？说明理由． 17.（15分）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． (1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率． 18.(16分) 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． 地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 19.(16分)某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车(含电动自行车和电动汽车)免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50 000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本频数分布直方图如图． (1)采用分层随机抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率； (2)为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助300元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算． 参考答案及解析： 一、单项选择题 1.B　解析：设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4个样本点． 2.B　解析：因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件． 3.D　解析：从2至8的7个整数中随机取2 个不同的数，共有21种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝.故选D. 4.A　解析：20组数据中，都不含1，2，3，4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；故三只豚鼠都没被感染的概率为＝0.25．故选A . 5.B　解析：根据题意，分析20人的数据可得，身高在155.5 cm－170.5 cm之间的有9人，则在志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm－170.5 cm之间的概率为.故选B. 6.D　解析：根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D． 7.A　解析：①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．故选A． 8.A　解析：20组数据中，都不含1，2，3，4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；故三只豚鼠都没被感染的概率为＝0.25．故选A . 二、多项选择题 9.AD　解析：任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35．因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，A正确；B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何血型的人都可以给AB血型的人输血，知D正确． 10.ABC　解析：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝，P(A)＝，P(C)＝，则P(A∪B)＝，故A，B正确；显然，P(A∪B)≠P(C)，故D错误．故选ABC． 11.BCD　解析：∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的事件为M，N，则，M，N独立． ∴两人均获得满分的概率为，故A 正确； 两人至少一人获得满分的概率为1－＝1－(1－P(M))(1－P(N))＝1－，故B错误； 两人恰好只有甲获得满分的概率为＝P(M)(1－P(N))＝，故C错误； 两人至多一人获得满分的概率为：1－，故D 错误．故选BCD. 三、填空题 12.答案：36　 解析：将这个试验的所有结果一一列举出来为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．共有36种． 13.答案： 解析：用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名学生中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含的样本点的个数为3，故所求的概率为＝. 14.答案： 解析：甲、乙两球都落入盒子的概率为.甲、乙两球均未落入盒子的概率为，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－. 四、解答题 15.解：记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥． (1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82． (2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38． (3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24． 16.解：(1)由题意可知三个圆可能颜色一样，也可能有两个圆颜色一样，另一个圆异色，还可能三个圆异色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}． (2)A＝{(红，黄，蓝)}． B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}． C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}． D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}． (3)由(2)可知C⊆B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥． 17.解：(1)记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件A1，A2的和，P(A1)＝，P(A2)＝，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝， 所以第四盘棋甲赢的概率是. (2)记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，甲只在第三盘赢的事件为B1、只在第四盘赢的事件为B2、只在第五盘赢的事件为B3，则 P(B1)＝，P(B2)＝，P(B3)＝， 则有P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)= 所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为. 18.解：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是，所以样本包含三个地区的个体数量分别是 所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1，3，2． (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2， 则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有样本点为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个． 每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的． 记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有： {B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个． 所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为. 19.解：(1)根据分层随机抽样的原理知，电动自行车应抽取×9＝4(辆)，电动汽车应抽取×9＝5(辆)． 从9辆电动车中抽取2辆，设电动汽车和电动自行车分别为a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，可得抽法总数为36种，其中抽取的2辆均为电动自行车的有b1b2，b1b3，b1b4，b2b3，b2b4，b3b4，共6种． “设从这9辆中随机抽取2辆，至少有一辆为电动汽车”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－＝． (2)由条件可知，这100辆电动车中电动自行车有60辆，电动汽车有40辆，其中电池需要更换的电动自行车有8辆，电动汽车有1辆．根据补助方案可知，这100辆电动车共补助60×300＋40×500＋9×400＝41 600(元)． 由样本估计总体，市政府执行此方案的预算大约需要×50 000＝20 800 000(元)． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$