4.5.1 函数的零点与方程的解课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 函数零点与方程的解 学习目标 1.了解函数零点的概念 2.了解函数的零点与函数对应方程根的关系 3.能够根据零点的判定方法判断零点所在的区间 学习重点 学习难点 零点的概念以及零点存在定理 零点存在定理的理解和应用 新课引入 复习一下 方程 函数 函数 图象 方程的实数根 x1=－1, x2=3 x1=x2=1 无实数根 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 －1 2 1 1 2 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 x2－2x－3=0 y= x2－2x+3 函数的图象与x轴交点 探究一下 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . 在零点附近，函数图象是连续不断 新课学习 函数的零点 零点是一个点吗？ 函数零点存在定理 判断一下 x y O a b 有一个零点 O y x b a 有五个零点 O y x b a 没有零点 O y x b a 没有零点 （1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，且它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点； （2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号； （3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数. 对定义的进一步理解 判断函数零点个数的四种方法 拓展 例题来了 解： 课堂巩固 C C B C B 2 总结一下 1.函数的零点 2.零点存在定理 观 看 谢 谢 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元 二次方程的实数根就是相应二次函数的零点。像 这 样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函 数研究它的解的情况呢? 对于二次函数 ，观察它的图象, 发现它在区间[2，4]上有零点这时，函数图象与x轴 有什么关系?在区间[-2，0]上是否也有这种关系?你认 为应如何利用函数 的取值规律来刻画这种关系? 再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区 间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究 用 的取值刻画这种关系的方法 函数 的图象与x轴有交点 对于一般函数 ，使 的实数 叫做函数 的零点. 方程 有实数根 如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的解. 1.方程法：求方程 的实数根． 2．图象法：对于不能用公式法求根的方程或不易求得实数根的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点，对于不易画出 图象的函数，可以转化为 ，分别画出 和 的图象，看两图象有几个交点. 3．结合函数的奇偶性判断 奇、偶函数的图象有一定的对称性，存在奇偶性的函数的零点（零除外）是成对出现的．因此，研究奇函数或偶函数在区间［-a,a］上的零点时，可以先研究其在区间（0,a］上的零点情况． 4．应用函数零点存在定理结合单调性判断 (1）若 ，函数 的图象在［a,b］上是一条连续不断的曲线且单调，则函数 在（a,b）内只有一个零点； (2）若 ，函数 的图象在［a,b］上是一条连续不断的曲线但不单调，则函数 在（a,b）内至少有一个零点. 分析：可以先借助计算工具画出函数 的图象 或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮 助. 例1 求方程 的实数解的个数. 设函数 ，利用计算工具，列出函数 的对应值 表如下表，并画出图象如图. x y 1 -4 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094 6 7.7918 7 9.9459 8 12.0794 9 14.1972 由表和图可知， ， ，则 . 由函数零点存在定理可知，函数 在区间 内至少有一个零点. 容易证明，函数 ， 是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程 只有一个实数解. 1.已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ） A. B. C. D. 解析：因为 ， ，所以由根的存在性定理可知：选C. 2.函数 的零点所在的大致区间是( ) A. B. C. D. 解析： 的定义域为 ，又 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增,又 ， ， ，所以 ，所以 在 上存在唯一的零点. 3.若函数 在区间 上存在一个零点，则a的取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 解析：根据函数零点的性质知， 与 一正一负，且 , ,所以 或 解得 或 .故选B. 4.已知函数 ,若 存在唯一的零点 ,且 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：利用特殊值验证.取 则 , ∴ , ∴ 在 上存在零点,不符合题意,排除选项 取 , 则 EMBED Equation.DSMT4 . ∴ , ∴ 在 上存在零点,不符合题意,排除选项 .故选 . 5.函数 的零点所在的区间为( ) A. B. C. D. 6.已知函数 在区间 上有零点，则 __________. 解析： 定义域为 ， 故 在 上恒成立， 故 在 上单调递增， 又 ， ， 因为 区间 上有零点，故 . $$