5.1.1 相交线 课件 -2023-—2024学年人教版数学七年级下册

第五章　相交线与平行线 5.1.1　相交线 相交线和平行线是我们日常生活和生产中经常见到的，研究它们对今后的学习、工作和生活都很有用. 这节课 我们先来研究相交线. 观察思考 当转动一木条的位置时， 什么也随着发生了变化？ A B C D O 直线AB、CD相交于点O. 如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线的交点. 握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题. 观察图5.1-1，注意剪刀剪开布片过程中有关角的变化. 请你画出任意两条相交直线，用量角器量一量四个角的度数，看看这四个角有什么关系? 问题：两条相交直线形成的小于平角的角有几个？ 观察图5.1-1，注意剪刀剪开布片过程中有关角的变化. O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ 邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边 互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角. 注意：(1)邻补角的本质特征是：①两个角有一条公共边； ②两角的另一条边互为反向延长线. (2)如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α ＋∠β =180；反之，如果∠α ＋∠β =180，则∠α与∠β不一定是邻补角. (3)邻补角是有特殊位置的两个互补的角. 如图∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补）具有这种关系的两个角，互为邻补角. O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ 对顶角：如果两个角有一个公共点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角. 如图：∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的， 它们有一个公共顶点O，并且两边互为反向延长线所以互为对顶角. 自己再找一找图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？ 答：∠2和∠4也是对顶角. 紧扣对顶角定义注意以下两点： (1)辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边，符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行. (2)对顶角是成对存在的，它们是互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角， 同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角. 对顶角的性质： 由同角的补角相等可得出：对顶角相等. O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ 对顶角的性质：对顶角相等. O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ 为什么? 已知：直线AB与CD相交于O点(如图)， 求证：∠1=∠3、 ∠2=∠4. 证明：∵直线AB与CD相交于O点， ∴∠1+∠2=180°， ∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠3， 同理可得：∠2=∠4. 1 练习1.下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？ 2 1 2 1 2 ) ( ( ( ) ) 不是 不是 不是 1 练习2.下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？ 2 1 2 1 2 是 不是 不是 练习3.如图，已知直线AE、BD相交于点C. (1)图中哪些角是对顶角？ A C D E B 答：邻补角有四对： ∠ACB与∠ACD、∠ACB与∠BCE、 ∠DCE与∠ACD、∠DCE与∠BCE. 答：对顶角有两对： ∠ACB与∠DCE、∠ACD与∠BCE. (2)哪些角是邻补角？ 练习4.下列各图中有邻补角吗？有对顶角吗？如果有，请把它们指出来. 解：无对顶角，有两对邻补角： ∠AOC与∠BOC， ∠AOD与∠BOD. 解：无对顶角，有两对邻补角： ∠AOC与∠BOC， ∠APD与∠BPD. 解：无对顶角，有三 对邻补角： ∠AOC与∠BOC， ∠AOD与∠BOD， ∠AOE与∠BOE. 解：无对顶角，有三 对邻补角： ∠AOE与∠BOE， ∠AOC与∠BOC， ∠AOD与∠BOD. A A A A B B B B C C C C D D D D O O O O P E E (1) (2) (4) (3) 练习5.下列说法是否正确？为什么？ (1)有公共顶点的两个角是对顶角. 答：不正确.如图1，∠AOB与∠COD有公共顶点O， 但它们不是对顶角. A O C D B (2)有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角. 答：不正确.如图1，∠AOB与∠COD有公共顶点O，而且没有公共边， 但它们不是对顶角. (3)相邻的两个角是邻补角. 答：不正确.如图2，∠AOB 与∠BOC 有公共顶点和一条公共边，是相邻的两个角，但不互补，所以不是邻补角. A C B O 图1 图2 15 练习6.如图，AB、CD、EF是经过点O的三条直线，说出： ∠AOC 的对顶角 ， ∠FOB 的对顶角 ， ∠DOF 的对顶角 ， ∠AOD 的对顶角 ， ∠EOB 的对顶角 ， ∠AOF 的邻补角 . A B C E F D O 是∠BOD 是∠AOE 是∠COE 是∠BOC 是∠AOF 是∠BOF 和∠AOE 练习7.下列图形中，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ） 1 1 1 1 2 2 2 2 A. B. C. D. C ∠2＝180°－∠1 ＝180°－ 40° 解：由邻补角的定义， ∠1=40°可得 ＝140°， 由对顶角相等，可得 ∠3＝∠1＝40°， ∠4＝∠2＝140°. 例题讲解 例1.如图，直线a、b相交，若∠1=40°，求 ∠2、∠3、∠ 4的度数. 例2.三条直线 a、b、c 相交于O点，∠1=40°，∠2=30°，求∠3的度数. b c a 1 2 3 4 解：∵∠4 =∠2=40°(对顶角相等 )， ∴∠3 =180°－40°－ 30°， ∠3=180 °－∠4－∠1， ∠3 =110°(补角定义). O 例3.如图，若∠1:∠2=2:7 ，求各角的度数. 解：设∠1=2x°，则∠2=7x°， 根据邻补角的定义，得 2x+7x=180， x=20， 则∠1=40°，∠2=140°， 根据对顶角相等,得 ∠3=40°， ∠4=140°. 看谁做得棒！ E O A B C D 解： OA平分∠EOC，∠EOC=70°， 所以∠AOC＝35°， ∠AOC＝ ∠BOD (对顶角相等)， ∠BOC ＝180°－ ∠BOD ， ＝180°－35°＝145°(邻补角定义). 已知 直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，求∠BOD和∠BOC的度数. 达标测试 一、判断题 1.有公共顶点且相等的两个角是对顶角.（ ） 2.两条直线相交，有两组对顶角. （ ） 3.两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角， 那么其余的三个角也是直角. （ ） × √ √ 二、选择题 1.如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ） A.∠AOC和∠BOE是对顶角； B.∠COE和∠AOD是对顶角； C.∠BOC和∠AOD是对顶角； D.∠AOE和∠DOE是对顶角。 2.如右图中直线AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分线 且∠BOE=50度，那么∠AOE=（ ）度. A.80 B.100 C.130 D.150 A B C D O E C C 归纳小结 角的 名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对 顶 角 邻 补 角 对顶 角相 等 邻补 角互 补 ②有公共顶点 ③没有公共边 ①两条直线相交形成的角 ①两条直线相交而成 ②有公共顶点 ③有一条公共边 ①都是两条直线相交而成的角 ③都是成对出现的 ②都有一个公共顶点 ②两直线相交时，对顶角只有两对 邻补角有四对 ①有无公共边 本课结束 $$