第05讲 一元二次方程的应用（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第05讲 一元二次方程的应用（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型七 行程问题(一元二次方程的应用) 题型八 其他问题(一元二次方程的应用) 知识点01： 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点02： 一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 【典型例题一 传播问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（23-24九年级下·广东广州·开学考试）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程 ． 4．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ． 5．（23-24九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？ 6．（22-23九年级上·湖北咸宁·期末）张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 【典型例题二 增长率问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济宁·一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·广东云浮·一模）某小区新增了一家快递店，第一天揽件100件，第三天揽件144件．设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 4．（2024·重庆·三模）电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 ． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利元．4月份的盈利达到元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同． (1)求每个月盈利的增长率； (2)按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元． 【典型例题三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋城·三模）2024年，山西省政府提出“聚焦建设国际知名文化旅游目的地，集中力量打造旅游热点门户”．如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）已知矩形的长比宽多2，其面积为35，则矩形的长是 ． 4．（2024·陕西咸阳·一模）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米． 5．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，把校园的小圆形草地的半径增加得到大圆形草地，草地的面积是原来的2倍．求小圆形草地的半径．    6．（23-24九年级上·吉林·期中）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题． 【典型例题四 数字问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）两个连续整数的平方和为113，则这两个连续整数为 ． 4．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是 ． 5．（2024九年级·全国·竞赛）两个连续整数的积为，求这两个整数． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【典型例题五 营销问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）中秋节临近，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，如果降价1元，则每天可多售出2盒，若要平均每天盈利1650元，则每盒应降价多少元？设每盒应降价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为 ． 4．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的，由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少，因而高新产品C是今年销售的重点，若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加 ． 5．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元． 6．（2024·江苏常州·一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【典型例题六 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 2．（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动，当一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使的面积为． 4．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为 秒时，的面积为．    5．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 【典型例题七 行程问题(一元二次方程的应用)】 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 3．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 4．（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 5．（22-23九年级上·福建泉州·期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 6．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【典型例题八 其他问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热．某市青少年校园足球联赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现有校园足球联赛队伍支，共比赛了场，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·山西太原·三模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西九江·三模）某生物实验室需培育一批有益菌，现有40个有益菌，每个有益菌每次可分裂成若干个相同数目的有益菌，经过两轮分裂后，有益菌的数量为16000个． 设平均每个有益菌每次可分裂成x个有益菌，根据题意，可列方程： ． 4．（23-24九年级上·河南开封·期末）某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 ． 5．（2024·广东揭阳·三模）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，求八年级有多少个班级． 6．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）周末小明所在的数学兴趣小组组织了一次同学聚会，前来参会的每位同学都通过握手礼貌问候．经过统计后发现共握手了36次，请你帮小明计算出参加聚会的同学共有多少人？ 【变式训练1 传播问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东惠州·期中）某班在举行图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了1260本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 4．（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 5．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 6．（22-23九年级上·广东江门·期中）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 【变式训练2 增长率问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）《2024年春节联欢晚会》节目统计，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古通辽·二模）某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则 ． 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为 ． 5．（23-24九年级上·江西赣州·期末）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道，某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆225人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率． 6．（23-24九年级上·天津·期末）王庙村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．（注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答） 解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示： ①2022年种的水稻平均每公顷的产量为____________； ②2023年种的水稻平均每公顷的产量为___________； (2)根据题意，列出相应方程___________； (3)解这个方程，得___________； (4)检验：___________； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为___________%． 【变式训练3 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）某地政府准备在如图所示的宽为25米的矩形地块上建一所学校，设计要求将该矩形地块分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地块恰好均为正方形，丙地块为矩形，甲地块为教学区，丙地块为行政办公场区，乙地块为学生活动区．若丙地块的面积为30平方米，则矩形地块的长为多少米，设矩形地块长为x米．根据题意列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．    5．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）有一张长为，宽的长方形薄钢片，在它的四个角上各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为．那么钢片各角切去的正方形的边长是多少？ 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，公园有一块正方形空地，现在从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（图中阴影部分），原空地边减少到点处，另一边减少到点处，若剩余空地是矩形且面积为． (1)求原正方形空地的边长． (2)实际建造时要求栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，且不改变的长度，求实际建造时的长度． 【变式训练4 数字问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 2．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ． 4．（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 5．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄． 6．（22-23九年级下·辽宁沈阳·开学考试）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由． 【变式训练5 营销问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·山西朔州·一模）某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ． 4．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）某超市将进货价为20元/盒的水彩笔套盒以25元/盒售出，每月能售出600盒．调查表明：这种水彩笔每盒的售价每上涨1元，每月的销售量会减少10盒．超市销售这种水彩笔要实现每月5500元的销售利润，且尽可能地让利于顾客，这种水彩笔每盒的售价应定为多少元？ 6．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）第19届亚运会于2023 年9月 23 日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套．为了喜迎亚运会，商场决定采取适当的降价措施回馈大众．经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套．商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？ 【变式训练6 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，中，，， 动点P从点A出发沿边以/秒的速度向点 B移动，点 Q从点B出发，沿边以/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，在运动过程中，设点P的运动时间为 t，则当的面积为时，t的值 （    ） A．2 或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 2．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在直角三角形中，，，，点从点开始沿以的速度向点运动，同时，点从点开始沿以的速度向点运动．当 时，四边形的面积为面积的．    4．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．    5．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中， 点P从点A出发沿以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点C出发沿以2cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时候为．t为何值时，的面积等于？ 6．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)试判断的形状； (2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？ (3)在（2）的条件下，当点出发多少秒时，四边形的面积最大？最大面积是多少？ 【变式训练7 行程问题(一元二次方程的应用)】 1．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 2．（203九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要 ． 4．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）如图，甲、乙两点分别从直径的两端点，出发以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为.则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是 . 5．（22-23九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 6．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【变式训练8 其他问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24八年级下·山东威海·期中）学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·模拟预测）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学每人写一份毕业录，全班同学共写了2756份，如果全班有x名学生，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南周口·二模）定义新运算：规定 例如 若 则x的值为 ． 4．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过，那么人均旅游费用为元；如果人数多于，那么每增加人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不得低于元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用元．设这次旅游可以安排人参加，根据题意建立方程为 ． 5．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）某剧院可容纳1200人，经调研在一场文艺演出中，票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张．要使门票收入达到47560元，票价应降低多少元？ 6．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？ 导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠． 领队：超过100人怎样优惠呢？ 导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元． 该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）．请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？ 1．（22-23九年级上·广东广州·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 2．（2024·天津河西·二模）某商品的价格为100元，因为积压，经过两次降价x%后的价格为81元，则x为（    ） A．10 B．11 C．12 D．20 3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?（    ） A．10元 B．8元 C．3元 D．5元 4．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东梅州·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）开始有2人患了流感，经过两轮传染后，共有72人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人． 7．（2024·上海松江·二模）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 8．（23-24九年级上·广东肇庆·期中）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有 人． 9．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，“L”形图形的面积为7，如果，那么 ． 10．（22-23八年级下·全国·单元测试）在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点 Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是 ． 11．（22-23九年级上·新疆塔城·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．求：每轮传染中平均一人传染了几人？ 12．（23-24九年级上·福建漳州·期末）漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 13．（22-23八年级上·河北邢台·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着CB边向点B移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ 14．（23-24九年级上·云南昆明·期中）2025年起，云南省新高考将采用“”新模式，改革对生物学科提出了更高的要求．云大附中星耀学校高中生物组为培养同学们观察实验现象，归纳实验规律的能力，在新校区内建立了一块矩形的生物实验田，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分需要用总长为28米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如下图所示）．设实验田的宽为x米． (1)该实验田的长为多少米（用含x的式子表示）？ (2)若实验田的面积为72平方米（栅栏的占地面积忽略不计），则该实验田的宽是多少米？ 15．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数． 所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)请判断78是第几个三角形数？写出判断过程． (2)若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程的应用（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型七 行程问题(一元二次方程的应用) 题型八 其他问题(一元二次方程的应用) 知识点01： 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点02： 一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 【典型例题一 传播问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．经过一轮感染，1台电脑感染了台电脑，这台电脑又感染给了，根据经过两轮感染了台电脑列等量关系即可． 【详解】解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑， 根据题意可得：， 整理得：， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意可列出关于x的方程，再求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故选：C． 3．（23-24九年级下·广东广州·开学考试）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得一个人发送信息条，则人发送信息条，即可求解. 【详解】解：∵每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息， ∴一个人发送信息条， 则人发送信息条， ∴ 故答案为：. 4．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．根据题意找出等量关系即可列出方程，主干+支杆+小分支． 【详解】解：设主干长出x个支干， ，整理得： 故答案为：． 5．（23-24九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算． 【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人， 列方程得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染巾平均一个人传染了个人． 6．（22-23九年级上·湖北咸宁·期末）张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 【答案】每人每周能够号召10人加入“志愿服务团” 【分析】设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据每人每周能够号召相同人数加入列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得： ， 即， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 【典型例题二 增长率问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 2．（2024·山东济宁·一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．首先根据3月份售价为21万元，月均下降率是可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为18万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：月份售价为21万元，月均下降率是，5月份售价为18万元， ． 故选：D． 3．（2024·广东云浮·一模）某小区新增了一家快递店，第一天揽件100件，第三天揽件144件．设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．根据题意，第三天揽件数量=第一天揽件数量×列方程即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 4．（2024·重庆·三模）电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每天的增长率是，列方程为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率． 【答案】月平均降价率是 【分析】设月平均降价率是x，由题意可列一元二次方程求解． 【详解】设月平均降价率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴月平均降价率是． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利元．4月份的盈利达到元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同． (1)求每个月盈利的增长率； (2)按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元． 【答案】(1)每个月盈利的增长率为 (2)按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到元 【分析】（1）设每个月盈利的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解增长率． （2）由第一问所求增长率即可求解． 【详解】（1）解：设每个月盈利的增长率为，依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每个月盈利的增长率为． （2）解：（元）． 答：按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到元． 【点睛】本题考查一元二次方程中的增长率问题．正确理解题意是解题关键． 【典型例题三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列一元二次方程解实际应用题．将三条路平移，草坪是一个长方形，如图所示，根据剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为，利用长方形面积公式得到，从而确定答案． 【详解】解：将三条路平移，如图所示： 剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为， ， 故选：C． 2．（2024·山西晋城·三模）2024年，山西省政府提出“聚焦建设国际知名文化旅游目的地，集中力量打造旅游热点门户”．如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设行车通道的宽度为，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：设行车通道的宽度为． 根据题意，得． 故选：D． 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）已知矩形的长比宽多2，其面积为35，则矩形的长是 ． 【答案】7 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设宽为，则长为，再根据面积公式列出方程，求出长和宽即可． 【详解】解：设宽为，则长为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ∴矩形的长为7， 故答案为：7． 4．（2024·陕西咸阳·一模）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，设通道的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】 解：设通道的宽为米， 根据题意得：， 解得：（不合题意舍去）或， 通道的宽为1米， 故答案为：1． 5．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，把校园的小圆形草地的半径增加得到大圆形草地，草地的面积是原来的2倍．求小圆形草地的半径．    【答案】 【分析】设小圆形草地的半径为，根据小圆面积大圆的面积列方程即可． 【详解】解：设小圆形草地的半径为， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：小圆形草地的半径为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据小圆面积大圆的面积列出方程是解题的关键． 6．（23-24九年级上·吉林·期中）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题． 【答案】长比宽多12步 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设长为x步，则宽为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设矩形的长为x步，列方程得 ． 解得，． ∴矩形的长为36步，宽24步， (步)． 答：长比宽多12步． 【典型例题四 数字问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据这两个数的积是783即可列出方程． 【详解】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为， 根据题意有：， 故选：A． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 3．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）两个连续整数的平方和为113，则这两个连续整数为 ． 【答案】7，8或-8，-7 【分析】设较小的一个数为x，则另外一个数为（x+1），根据两个数的平方和是313，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设较小的一个数为x，则另外一个数为（x+1）， 依题意，得：x2+（x+1）2=113， 整理，得：x2+x-56=0， 解得：x1=7，x2=-8， ∴x+1=8或x+1=-7． 故答案为：7，8或-8，-7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是 ． 【答案】7 【分析】解方程，求出方程的解，根据两位数的十位不为0从而求出答案． 【详解】依题意解方程： ， 又因为是两位数， 所以十位数字是7， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了用因式分解解一元二次方程，关键是正确求解方程，并结合题意两位数的十位确定出取值． 5．（2024九年级·全国·竞赛）两个连续整数的积为，求这两个整数． 【答案】这连个整数分别为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两个连续的整数分别为和，由题意可得方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这两个连续的整数分别为和， 则， 解得或， 这连个整数分别为或． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】257 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程． 【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则： ， 整理，得：， 所以． 所以或， 解得，或（舍去）， 则，， 则该三位数是257． 答：这个数是257． 【典型例题五 营销问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）中秋节临近，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，如果降价1元，则每天可多售出2盒，若要平均每天盈利1650元，则每盒应降价多少元？设每盒应降价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润=（售价-进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售月饼100盒，如果降价1元，则每天可多售出2盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利1650元， ∴， 故选：C． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设每件降价元，表示出每件盈利元，平均每天可销售件，根据总利润与单件利润的关系立方程即可． 【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可销售件， 依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——销售问题；根据所设未知数表示出每件利润和每天的销售量是解题的关键． 4．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的，由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少，因而高新产品C是今年销售的重点，若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加 ． 【答案】 【分析】把去年的总销售金额看作整体1．设今年产品C的销售金额应比去年增加x，根据今年的销售总金额和去年的销售总金额相等，列出方程，再求解即可． 【详解】设今年产品的销售金额应比去年增加， 由题意得，， 解得：． 答：今年产品的销售金额应比去年增加． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键在于设未知数，列方程，难点在于涉及百分数，运算易出错．此题注意把去年的总销售额看作整体1，即可分别表示出去年和的销售金额和的销售金额．根据今年的销售总金额和去年的销售总金额相等即可列方程． 5．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元． 【答案】3或4 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每箱利润是解题关键．利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可． 【详解】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱， ∴ ， 整理得： ， 解得： 或 ， 答：每箱降价3或4元． 6．（2024·江苏常州·一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】每本画册应降价4元． 【分析】设这种画册每本降价x元，根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去． 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设这种画册每本降价x元， 由题意可得，， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 【典型例题六 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 2．（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则，如图所示 当运动时间为秒时，，，， 依题意得：， 即， 解得：，． ∴当时，t的值为秒或秒， 故选D．    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动，当一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使的面积为． 【答案】 【分析】设秒后，可使的面积为．可列一元二次方程求解，再进行检验即可． 【详解】解：设秒后，可使的面积为． 则：， 解得： ∵当时， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．注意实际问题中的限制条件． 4．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为 秒时，的面积为．    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：依题意， 的面积为． 解得 故答案为：． 5．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 【答案】1秒 【分析】可设经过x秒后，△PBQ的面积是10cm2，根据三角形面积公式建立等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，由题意可得： 4x（6﹣x）÷2＝10， 解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）． 答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△PBQ的面积是10cm2”，找到等量关系是解决问题的关键． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设经x秒时间使的面积等于，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：设经x秒时间使的面积等于，根据题意得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 答：经2秒时间使的面积等于． 【典型例题七 行程问题(一元二次方程的应用)】 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得： BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm， 因为BC2+DC2＝BD2， 则（10﹣16x）2+（12x）2＝62， 解得：x1＝x2＝0.4． 答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km． 故选A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值． 3．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·福建泉州·期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可； （2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可． 【详解】(1)当时， （）， 答：甲运动4后的路程是14； （2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆． 6．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【典型例题八 其他问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热．某市青少年校园足球联赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现有校园足球联赛队伍支，共比赛了场，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，理解单循环赛的比赛方法，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：根据单循环赛事的比赛方法可得，， 故选： ． 2．（2024·山西太原·三模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人拥抱应该只算一次并据此列出方程是解题的关键． 因为每位同学都要与除自己之外的名同学拥抱一次，所以共拥抱次，由于每次拥抱都是两人，应该算一次，所以共拥抱次，即可列方程． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 3．（2024·江西九江·三模）某生物实验室需培育一批有益菌，现有40个有益菌，每个有益菌每次可分裂成若干个相同数目的有益菌，经过两轮分裂后，有益菌的数量为16000个． 设平均每个有益菌每次可分裂成x个有益菌，根据题意，可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意可得． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·河南开封·期末）某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得知个班要与各班进行比赛，结合单循环赛即可列出方程． 【详解】解：由题意得：个班要与各班进行比赛， ∵进行单循环赛（每两班赛一场）， ∴， 故答案为： 5．（2024·广东揭阳·三模）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，求八年级有多少个班级． 【答案】八年级有6个班 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设八年级有个班，“根据各班均组队参赛，赛制为单循环形式且共需安排场比赛”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设八年级有个班， 解得，（舍）， 则八年级有6个班． 6．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）周末小明所在的数学兴趣小组组织了一次同学聚会，前来参会的每位同学都通过握手礼貌问候．经过统计后发现共握手了36次，请你帮小明计算出参加聚会的同学共有多少人？ 【答案】9人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．设参加同学聚会的人数为x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握次手，所以人共握手次，又知共握手36次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解． 【详解】解：设参加同学聚会的人数为x人， 由题意列方程为 解得，（不合题意，舍去） 答：参加同学聚会的人数为9人． 【变式训练1 传播问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 2．（22-23九年级上·广东惠州·期中）某班在举行图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了1260本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设全班共有x名同学，则每名同学都要给其他名同学赠送一本图书，再根据全班共互赠了1260本书列出方程即可． 【详解】解：设全班共有x名同学， 由题意得，， 故选：A． 3．（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可. 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： . 故答案为. 4．（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一人传染了7个人． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出数量关系正确列方程是解题关键．设每轮传染中平均一人传染了个人，由题意可知，第一轮患病人数为人，第二轮患病人数为人，据此列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了个人， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每轮传染中平均一人传染了7个人． 6．（22-23九年级上·广东江门·期中）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 【答案】8 【分析】设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场”列方程并求解即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛， 由题意得，， 整理得，， 解得，，（不合题意，舍去）， 答：比赛组织者应邀请8个队参加比赛． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【变式训练2 增长率问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）《2024年春节联欢晚会》节目统计，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 3．（2024·内蒙古通辽·二模）某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为，列出方程，求解方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是掌握增长率的知识．先表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程． 【详解】解：根据题意，可列方程为． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江西赣州·期末）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道，某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆225人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确地列出方程是解题的关键．先分别表示出第一个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆225人次，列方程求解． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x，依题意得： ， 解得：（不合题意，舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率为． 6．（23-24九年级上·天津·期末）王庙村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．（注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答） 解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示： ①2022年种的水稻平均每公顷的产量为____________； ②2023年种的水稻平均每公顷的产量为___________； (2)根据题意，列出相应方程___________； (3)解这个方程，得___________； (4)检验：___________； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为___________%． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4)都是原方程的根，但不适合题意，舍去，只取 (5)10 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，列出代数式和方程，是解题的关键． （1）根据增长率写出代数式即可； （2）根据（1）中所列的代数式以及2023年平均每公顷产，列出方程即可； （3）直接开方法解方程即可； （4）根据题意，进行检验即可； （5）根据方程的解，作答即可． 【详解】（1）解：①2022年种的水稻平均每公顷的产量为； 故答案为：； ②2023年种的水稻平均每公顷的产量为； 故答案为：； （2）由题意，可列方程为：； 故答案为：； （3）∵， 解得：； 故答案为：； （4）都是原方程的根，但不适合题意，舍去，只取； （5）， 答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为； 故答案为：10． 【变式训练3 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）某地政府准备在如图所示的宽为25米的矩形地块上建一所学校，设计要求将该矩形地块分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地块恰好均为正方形，丙地块为矩形，甲地块为教学区，丙地块为行政办公场区，乙地块为学生活动区．若丙地块的面积为30平方米，则矩形地块的长为多少米，设矩形地块长为x米．根据题意列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，结合图形，根据图形面积的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得， 整理得：， 故选：B． 2．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设小华添加的边框的宽度是，根据整个图形面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小华添加的边框的宽度是，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故小华添加的边框的宽度是； 故选A． 3．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，设道路的宽为，由此列式求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽为， ∴，整理得，， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为， 故答案为：2 ． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．    【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，利用平移，得到草坪的长和宽分别为：米和米，根据草坪的面积为243平方米，列出方程即可． 【详解】解：设草坪的长和宽分别为：米和米， 由题意，得：，整理得：； 故答案为：． 5．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）有一张长为，宽的长方形薄钢片，在它的四个角上各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为．那么钢片各角切去的正方形的边长是多少？ 【答案】钢片各角切去的正方形的边长是． 【分析】设钢片各角切去的正方形的边长是．根据无盖方盒的底面积为列出一元二次方程，解方程即可得到答案，此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设钢片各角切去的正方形的边长是． 由题意得： 化简得： 解得：，（舍） 答：钢片各角切去的正方形的边长是． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，公园有一块正方形空地，现在从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（图中阴影部分），原空地边减少到点处，另一边减少到点处，若剩余空地是矩形且面积为． (1)求原正方形空地的边长． (2)实际建造时要求栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，且不改变的长度，求实际建造时的长度． 【答案】(1)原正方形空地边长为6米 (2)实际建造时的长度为4.5米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设原正方形空地的边长为根据剩余空地是矩形且面积为．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）根据实际建造时栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设原正方形空地的边长为 由题意得：， 解得，（舍）. 答：原正方形空地边长为6米. （2）解：依题意， 答：实际建造时的长度为4.5米. 【变式训练4 数字问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设较小的一个数为，则另外一个数为，根据两个数的平方和是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设较小的一个数为，则另外一个数为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 这两个数的积为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 即 ∴ ∴ 解得：或 故答案为：或． 5．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄． 【答案】周瑜去世时的年龄为岁 【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为根据题意建立方程求出其值即可． 【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为，依题意得： ， 解得，， 当时，，（不合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， 答：周瑜去世时的年龄为岁． 【点睛】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键． 6．（22-23九年级下·辽宁沈阳·开学考试）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由． 【答案】最小的数是5，理由见解析 【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)， 由题意得x(x+8)=33， 解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合实际舍去； 由题意得x(x+8)=65， 解得x1=-13（舍去），x2=5， 所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式训练5 营销问题(一元二次方程的应用)】 1．（2024·山西朔州·一模）某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得： ， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为x元/台，根据利润销售量每台风扇的利润，列方程即可． 【详解】解：设售价为x元/台， 根据题意可得：， 故选：D． 3．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设每件商品售价降低元，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每件商品售价降低元 则每天的利润为：， 故答案为：． 4．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 根据题意得：， 整理得： 解得： 又∵要尽快减少库存， ∴， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）某超市将进货价为20元/盒的水彩笔套盒以25元/盒售出，每月能售出600盒．调查表明：这种水彩笔每盒的售价每上涨1元，每月的销售量会减少10盒．超市销售这种水彩笔要实现每月5500元的销售利润，且尽可能地让利于顾客，这种水彩笔每盒的售价应定为多少元？ 【答案】这种水彩笔套盒每盒的售价应定为30元． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能地让利于顾客， ∴； 答：这种水彩笔套盒每盒的售价应定为30元． 6．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）第19届亚运会于2023 年9月 23 日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套．为了喜迎亚运会，商场决定采取适当的降价措施回馈大众．经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套．商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？ 【答案】每套徽章降价20元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．根据利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每套吉祥物徽章降价x元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， 题目要求尽快减少库存， （舍去）， ， 答：每套徽章降价20元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元． 【变式训练6 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，中，，， 动点P从点A出发沿边以/秒的速度向点 B移动，点 Q从点B出发，沿边以/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，在运动过程中，设点P的运动时间为 t，则当的面积为时，t的值 （    ） A．2 或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当运动时间为t秒时，，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值． 【详解】解：当运动时间为t秒时，， 依题意得： ， 整理得：， 解得：． 故选：B． 2．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程在几何图形中的应用，当运动时，，，根据“的面积为”即可列出方程． 【详解】当运动时，，，， ∵， ∴， 即． 故选：D 3．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在直角三角形中，，，，点从点开始沿以的速度向点运动，同时，点从点开始沿以的速度向点运动．当 时，四边形的面积为面积的．    【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意设运动时间，得到，，进一步求得，，，依据题意列方程求解即可． 【详解】解：设t秒后，，， 则，，， 根据题意得，解得，（舍去）． 故答案为：3． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．    【答案】3或5/5或3 【分析】根据题意，知，则可求出，再由面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ， ∵五边形的面积等于， ∴ ， 矩形， ， ， ， ∴3秒或5秒后五边形的面积等于． 故答案为：3或5． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．利用长方形的性质与三角形面积，找出等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中， 点P从点A出发沿以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点C出发沿以2cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时候为．t为何值时，的面积等于？ 【答案】当时，的面积等于 【分析】分别用含t的式子表示出长，再根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵的面积等于，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴当时，的面积等于． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的几何意义，正确理解题意根据三角形面积列出方程求解是解题的关键． 6．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)试判断的形状； (2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？ (3)在（2）的条件下，当点出发多少秒时，四边形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)直角三角形 (2)当点出发1秒或5秒时，四边形的面积为 (3)当点出发3秒时，四边形的面积最大，最大面积是 【分析】（1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解； （2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解； （3）由二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，设点出发时间为秒，则，， ∴四边形的面积，即，解方程得，或， ∴当点出发1秒或5秒时，四边形的面积为． （3）解：∵四边形的面积， ∴当时，四边形的面积的最大值为， ∴当点出发3秒时，四边形的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题主要考查动点问题，直角三角形的性质，平行四边形的性质，二次函数的性质，解题的关键的是根据图形的性质确定动点运动的规律列出二次函数． 【变式训练7 行程问题(一元二次方程的应用)】 1．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 2．（203九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要 ． 【答案】 【分析】汽车行驶的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系是：s=10t+3t2，可以根据这个关系式，把s=200m代入关系式求得时间t即可． 【详解】依题意：10t+3t2=200， 整理得3t2+10t−200=0， 解得t1=−10(不合题意舍去)，t2=． 即行驶200m需要s． 故答案为 【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，根据题目列出方程是解题的关键． 4．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）如图，甲、乙两点分别从直径的两端点，出发以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为.则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是 . 【答案】 【分析】由题意可知乙的运动路程为，甲、乙第一次相遇时一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，利用总路程等于甲的路程加乙的路程列方程即可. 【详解】如下图所示：红色线为甲走的路程，蓝色线为乙走的路程，虚线位置是第一次相遇时，箭头位置是第二次相遇时， 由图可知：甲、乙第一次相遇时，一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，故甲、乙行驶的总路程为： ∵乙以的速度匀速运动 ∴乙的运动路程为， 根据总路程等于甲的路程加乙的路程列方程 ∴ 解得：（不符合实际，舍去） 故答案为 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用：行程问题，解决此题的关键是找到图中的等量关系是列出方程. 5．（22-23九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 【变式训练8 其他问题(一元二次方程的应用)】 1．（23-24八年级下·山东威海·期中）学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识．赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故选：D． 2．（2024·云南·模拟预测）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学每人写一份毕业录，全班同学共写了2756份，如果全班有x名学生，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据每个同学都要给其他同学写一份毕业录，可得每位同学收到份毕业录，全班同学共写了2756份毕业录，即可求解． 【详解】解：设全班同学有名学生，根据题意可得， ， 故选：A 3．（2024·河南周口·二模）定义新运算：规定 例如 若 则x的值为 ． 【答案】或 【详解】本题考查一元二次方程的解法，借助于定义的新运算把所给的条件转化成一元二次方程，解方程即可求解． 【分析】解：由题意可得： 整理，得： 解得： 故答案为：或 ． 4．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过，那么人均旅游费用为元；如果人数多于，那么每增加人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不得低于元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用元．设这次旅游可以安排人参加，根据题意建立方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据题意得，可以得出人数大于人；设这次旅游可以安排人参加，可得人均旅游费为：，根据题意建立方程求解即可． 【详解】根据题意得， 所以该公司的人数大于人， 设这次旅游可以安排人参加，则人均旅游费为元， 由题意得：， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）某剧院可容纳1200人，经调研在一场文艺演出中，票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张．要使门票收入达到47560元，票价应降低多少元？ 【答案】9 【分析】设票价应降低x元，由题意：票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张．要使门票收入达到47560元，列出一元二次方程，解一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设票价应降低x元，则： ， 解得，（舍去）， 答：票价应降低9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？ 导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠． 领队：超过100人怎样优惠呢？ 导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元． 该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）．请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？ 【答案】学校这次到该景点参加秋游活动的学生有200人 【分析】设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为元，根据该学校共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为元， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：学校这次到该景点参加秋游活动的学生有200人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．（22-23九年级上·广东广州·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，按照题意找到正确的等量关系，列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据题意，每轮传染中平均一个人传染了人，经过两轮传染后共有人患了流感，列出关于的一元二次方程，解方程，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 每轮传染中平均一个人传染了人， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：． 2．（2024·天津河西·二模）某商品的价格为100元，因为积压，经过两次降价x%后的价格为81元，则x为（    ） A．10 B．11 C．12 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程增长率问题，熟悉掌握方程的列法是解题的关键． 根据增长率列出方程运算即可． 【详解】解：， 解得：， 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?（    ） A．10元 B．8元 C．3元 D．5元 【答案】D 【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可． 【详解】解：设每千克应涨价x元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 4．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 5．（23-24九年级上·广东梅州·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元二次方程，先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可． 【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文， 则可列方程为， 故选：A． 6．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）开始有2人患了流感，经过两轮传染后，共有72人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，以及利用开平方法解一元二次方程，设平均每人传染了x个人，第一轮有人被传染，第二轮有人被传染，然后根据已知条件列出关于x的一元二次方程，解方程，把不合适的解舍去即可． 【详解】解：设平均每人传染了x个人，第一轮有人被传染，总共有人患了流感， 第二轮有人被传染，总共有人患了流感， 根据题意有：， 整理得：， 即， 则， 则或， ∴，（舍去）， ∴平均每人传染了5个人， 故答案为：5． 7．（2024·上海松江·二模）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 【答案】13.2 【分析】本题考查了销售增长率的问题，利用“第二季度的销量=第一季度的销量（1+增长率），第三季度的销量=第二季度的销量（1+增长率）”，即可求解． 【详解】， 故答案为：13.2． 8．（23-24九年级上·广东肇庆·期中）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有 人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 解得：（舍去）． 则该群一共有10人 故答案为：10． 9．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，“L”形图形的面积为7，如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形的面积建立一元二次方程．将图形分成两个长方形，根据图形的面积建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得：， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； 故答案为：4． 10．（22-23八年级下·全国·单元测试）在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点 Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是 ． 【答案】 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点，运动秒时，能使的面积为， 则的长为，的长为． 可列方程为， 解得，（舍去）， 动点，运动3秒时，能使的面积为． 故答案为：3． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 11．（22-23九年级上·新疆塔城·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．求：每轮传染中平均一人传染了几人？ 【答案】7人 【分析】设每轮传染中平均一人传染了x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了x人， 根据题意得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一人传染了7人． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 12．（23-24九年级上·福建漳州·期末）漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月均增长率为20% (2)该品牌头盔的销售价应定为50元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题的关键； （1）根据增长率公式列出方程即可； （2）利用单个头盔的利润乘以销售量等于总利润列出方程求解即可． 【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月均增长率为x，依题意，得 ． 解这个方程，得，(不合题意，舍去)． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%． （2）设该品牌头盔的销售价为y元，依题意，得 ． 解这个方程，得，(不合题意，舍去)． 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 13．（22-23八年级上·河北邢台·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着CB边向点B移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ 【答案】5秒 【分析】设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，在△ABC中，∠C=90°，根据面积关系，可得方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，则CP=4xcm，CQ=3xcm， 由题意得：×3x×4x=×30×40×， 解得：x1=5，x2=-5（不符合题意，舍去）， 答：5秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据△PCQ与△ABC的面积关系列出方程是解决问题的关键． 14．（23-24九年级上·云南昆明·期中）2025年起，云南省新高考将采用“”新模式，改革对生物学科提出了更高的要求．云大附中星耀学校高中生物组为培养同学们观察实验现象，归纳实验规律的能力，在新校区内建立了一块矩形的生物实验田，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分需要用总长为28米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如下图所示）．设实验田的宽为x米． (1)该实验田的长为多少米（用含x的式子表示）？ (2)若实验田的面积为72平方米（栅栏的占地面积忽略不计），则该实验田的宽是多少米？ 【答案】(1)实验田的长为米 (2)当围成的实验田面积为72平方米时，该实验田的宽为6米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的实验田的面积为72平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵栅栏的总长为28米，实验田的前端各设计了两个宽1米的小门，且实验田的宽为x米， ∴长为米， 答：实验田的长为米； （2）解：根据题意得：， 解得：． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当围成的实验田面积为72平方米时，该实验田的宽为6米． 15．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数． 所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)请判断78是第几个三角形数？写出判断过程． (2)若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数． 【答案】(1)78是第12个三角形数，理由见解析 (2)55和66 【分析】（1）根据题意易得第n个三角形数可以表示为，则有，然后求解即可； （2）设较小的三角形数是，则较大的三角形数是，由题意可知，，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据材料可知，第n个三角形数可以表示为 当时，得， 解得， 因为n是正整数，所以舍去． ∴78是第12个三角形数． （2）解：设较小的三角形数是，则较大的三角形数是 由题意可知，． 解得，（舍去） 当时，；． 所以这两个三角形数是55和66． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$