3.4 函数的应用（一）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.4 函数的应用（一） 学习目标 1.会用一次函数、二次函数、幂函数解决实际问题 2.体会利用函数模型解决实际问题的过程和方法 学习重点 学习难点 函数模型的应用 分段函数的应用 新课导入 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法. 新课学习 几类常见的函数模型 利用函数模型解决实际问题的步骤 （1）提炼问题； （2）收集数据； （3）分析数据； （4）建立函数模型； （5）求解、检验、还原. 例题来了-一次函数模型 例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示： (30,35) (0,29) 如意卡 （30,15） 便民卡 Y 值 0 30 29 35 Y 值 0 30 0 15 问题：(1)分别求出通话费用与通话时间之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． 解： 利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数． 例题来了-二次函数模型 问题：(1）将利润表示为产量的函数． (2）当年产量是多少时，企业所得利润最大？ 解题提示：(1）根据"利润＝销售收入﹣成本"可求解． (2）由利润函数是二次函数，知可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值 解： 二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题． 例题来了-幂函数模型 例3 某家庭进行理财投资,根据长期受益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(如图) 问题：（1）分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x（万元）的函数关系; （2）若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元? 解： 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式． 例题来了-分段函数模型 问题:（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式 ，图2表示的种植成本与时间的函数关系式 ; （2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？ 解： (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型． (2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． 课堂巩固 A C A C 40 总结一下 几类常见的函数模型 利用函数模型解决实际问题的步骤 THANK YOU 1.一次函数模型： 2.反比例函数模型： 3.二次函数模型： 4.幂函数模型： ( 是常数) 5.分段函数模型：以上两种或多种模型的组合. (1)由图象可设 ， ，把点B(30，35)，C(30，15)分别代 ， ，得k1＝ ，k2＝ . 所以 ， ． (2)令y1＝y2，即 x＋29＝ x，则x＝96 . 当x＝96 时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x＜96 时，y1＞y2，使用“便民卡”便宜； 当x＞96 时，y1＜y2，使用“如意卡”便宜． 例2 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台机器时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为 ，其中 是产品生产的数量（单位：百台） 设利润函数为 ，成本函数为 ,则依题意，得 当 时，产品能够全部售出，当 时，只能销售5百台 所以 整理，得 由（1）知当 时，利润函数 ， 当x=4.75时， 有最大值， 万元； 当x>5时， 万元. 所以当年产量为475台时，企业所得利润最大. （1）设两类产品的收益与投资的函数分别为 . 由已知得 ,所以 . （2）设投资债券产品为 万元，则给投资股票类产品为 万元. 依题意得 . 令 ，则 ， 所以当 ,即 时，收益最大， 万元. 例4 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P（单位：元 ）与上市时间比t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q（单位：元 ）与上市时间t（单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系. （1）由题图1可得市场售价P与上市时间t的函数关系式为 由题图2可得种植成本Q与上市时间t的函数关系式为 , . （2）设上市时间为t时的纯收益为 （单位：元/ ），则由题意，得 ， 即 当 时，整理，得 ，当 时， 取得最大值100； 当 时，整理，得 ，当 时， 取得最大值87.5. 综上，从2月1日起的第50天上市的西红柿的纯收益最大. 1.你见过古人眼中的烟花吗?那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”,是隋炀帝眼中的“灯树千光照,花焰七枝开”.烟花,虽然是没有根的花,是虚幻的花,却在达到最高点时爆裂,用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系式为 ,则烟花在冲击后爆裂的时刻是( ) A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 解析:由题意, , 则当 时,即烟花达到最高点,爆裂的时刻是第4秒.故选:A. 2.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为 和 .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售 辆，公司获利为 ， 当 或10时，L最大，为120万元.故选C. 3.某市家庭用水的使用量 和水费 （元）满足关系 .已知某家庭2023年前四个月的水费如下表： 月份 用水量（ ） 水费（元） 一月 3.5 4 二月 4 4 三月 15 18 四月 20 25 若五月份该家庭使用了 的水,则五月份的水费为( ) A.32元 B.33元 C.34元 D.35元 解析：根据一月份用水量 ,水费4元,根据二月份用水量 ,水费4元, 可知 , , 解得 , 所以 , 所以令 .故选：A. 4.某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算.以下说法正确的是( ) A.方案二比方案一更优惠 B.乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二 C.乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二 D.乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二 解析：A.应付车费与公里数有关，故错误； B.乘客甲打车行驶4公里，方案一：应付车费为 ； 方案二应付车费为 ，他应该选择方案一，故错误； C.乘客乙打车行驶12公里，方案一：应付车费为 ； 方案二应付车费为 ，他应该选择方案二，故正确； D.乘客丙打车行驶16公里，方案一：应付车费为 ； 方案二应付车费为 ，他应该选择方案一，故错误；故选：C. 5.有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为________. 解析：当 时，直线段过点 ， ， ， 此时方程为 . 当 时，直线段过点 ， ， ， 此时方程为 .即 . 故答案为： . 6.某商场以每件30元的价格购进一种商品,根据销售经验,这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数 ,若要每天获得最大的销售利润,则每件商品的售价应定为_______________元. 解析：设某商场每天获得销售利润为y（元）, 则 EMBED Equation.DSMT4 , 因为 ,所以当 （元）时,y取得最大值为 （元）. 所以若要每天获得最大的销售利润,则每件商品的售价应定为40元. 故答案为：40. $$