1.5 三角计算的应用（练习）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（人教版2021·拓展模块一）

1.5三角计算的应用 同步练习 基础巩固 1.如图，两点在河的两岸，在河岸测量两点间的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（    ） A． B． C． D． 2．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他着见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的关系为（    ） A． B． C． D．不能确定大小 3．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C 岛和A岛成的视角，则B、C间的距离是 海里． 4．如图，设两点在河的两岸，测量者在与A同侧的河岸边选取点C，测得AC的距离是，，求两点间的距离. 5．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由. 能力进阶 6.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时（    ） A．5海里 B．海里 C．10海里 D．海里 7．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是（ ） A． B． C．3 D．或 8.有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(　　) A．5 B．10 C．10 D．10 9.如图，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是，求旗杆的高. 10.如图所示，为了计算一河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离．(假设在同一平面内)。 素养提升 11. 如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点，望对岸标记物，测得，，，则河的宽度为 ． 12．如图，设A,B两点在河的两岸，一测量者在A点的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°。∠CAB=105°，则A,B两点距离是（ ） A． B．50m C．100m D．60m 13.如图所示，甲，乙两船同时从港口O处出发，甲船以25海里/小时的速度向东行驶，乙船以15海里/小时的速度沿着北偏西30°的方向行驶，2小时后，甲船到达A处，乙船到达B处。问： （1）甲，乙两船的距离AB是多少海里？ （2）此时乙船位于甲船北偏西多少度的方向上？ 14．如图所示，要测量河两岸P,Q两点间的距离，在点P的同侧岸边选取两点A,B，（A，B，C，D在同一平面内），并测得AP=20m，BP=10m,∠APB=60°，∠PAQ=105°，∠PBQ=135°，,求：P,Q两点间的距离。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5三角计算的应用 同步练习 基础巩固 1.如图，两点在河的两岸，在河岸测量两点间的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意三个数据不易测量，因此应测量三个数据.故选:D. 2．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他着见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的关系为（    ） A． B． C． D．不能确定大小 【答案】C 【解析】如图，分别是第一，二，三辆车所在的位置，由题意可知， 在中，， 在中，， ，， ，故选：C. 3．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C 岛和A岛成的视角，则B、C间的距离是 海里． 【答案】 【解析】因为,所以,由正弦定理知，解得，故填． 4．如图，设两点在河的两岸，测量者在与A同侧的河岸边选取点C，测得AC的距离是，，求两点间的距离. 【答案】 【解析】， 由正弦定理， 得 故两点间的距离为. 5．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由. 【答案】城市A在h后会受到影响，持续的时间为（h） 【解析】如图所示，设台风的中心xh后到达位置Q，且此时. 在△AQP中，有=60°-30°=30°，且 ，， 因此由正弦定理可得 . 从而可解得，所以=60°或=120°. 当时，，因此，； 当=120°时，，因此，. 这就说明，城市A在h后会受到影响，持续的时间为（h）. 能力进阶 6.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时（    ） A．5海里 B．海里 C．10海里 D．海里 【答案】C 【解析】如图所示，由题意知，所以，可得， 在直角中，，所以这艘船的速度为（海里/小时）.故选：C. 7．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是 A． B． C．3 D．或 【答案】D 【解析】由题作出示意图，如图，易知，由正弦定理得，      因为，所以，又因为，所以有两解，即或. 当时，； 当时，.本题选择D选项. 8.有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(　　) A．5 B．10 C．10 D．10 【答案】C 【解析】如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度． 在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m， 由正弦定理，得BB′＝＝＝10 (m)． ∴坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°． 9.如图，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是，求旗杆的高. 【答案】 【解析】由题意可知，在中，， . 由正弦定理得，， ， 旗杆的高为. 10.如图所示，为了计算一河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离．(假设在同一平面内)。 【答案】. 【解析】设BD＝x，在△ABD中，∵AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°， 由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD×BD×cos∠BDA， 即1402＝1002＋x2－2×100xcos60°， 即x2－100x－9600＝0， 解得x1＝160，x2＝－60(舍去)， ∴BD＝160，又AD⊥CD，∠BCD＝135°， ∴∠CDB＝30°，在△BCD中，有正弦定理得出： ； 故两景点B，C间的距离为m. 素养提升 11. 如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点，望对岸标记物，测得，，，则河的宽度为 ． 【答案】 【解析】在△中，，，∴，.∴， 作，垂足为，则即为河的宽度．∴，∴河的宽度为.故答案为：. 12．如图，设A,B两点在河的两岸，一测量者在A点的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°。∠CAB=105°，则A,B两点距离是（ ） A． B．50m C．100m D．60m 【答案】A. 【解析】根据三角形内角和可知：∠ABC=30°；由正弦定理可知：；故选：D. 13.如图所示，甲，乙两船同时从港口O处出发，甲船以25海里/小时的速度向东行驶，乙船以15海里/小时的速度沿着北偏西30°的方向行驶，2小时后，甲船到达A处，乙船到达B处。问： （1）甲，乙两船的距离AB是多少海里？ （2）此时乙船位于甲船北偏西多少度的方向上？ 【答案】北偏西68.21°. 【解析】（1）由题意知：OA=25×2=50（海里）；OB=15×2=30（海里），∠AOB=90°+30°=120°； 由余弦定理得出： ； 解得AB=70（海里）； 即甲乙两船的距离为70海里； （2）由正弦定理：； 因为在△OAB中，∠AOB=90°+30°=120°； 所以∠OAB是锐角，即∠AOB≈21.79°； 即乙船位于甲船北偏西90°-21.79°=68.21°的方向. 14．如图所示，要测量河两岸P,Q两点间的距离，在点P的同侧岸边选取两点A,B，（A，B，C，D在同一平面内），并测得AP=20m，BP=10m,∠APB=60°，∠PAQ=105°，∠PBQ=135°，,求：P,Q两点间的距离。 【答案】27.32. 【解析】 如图所示，连接AB，在△ABP中，由余弦定理得： ∵； ∴； ∵； ∴∠ABP=90°，∠BAP=30°；解得∠QAB=75°，∠QBA=45°； 在△ABQ中，∠AQB=60°； 由正弦定理； 在△APQ中，由余弦定理得： ； 所以. 由余弦定理可得， 即,解得或.故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$