第07讲 确定圆的条件（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第07讲 确定圆的条件（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 三角形外接圆的说法辨析 题型二 求三角形外心坐标 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 题型五 判断三角形外接圆的圆心位置 题型六 判断确定圆的条件 题型七 确定圆心（尺规作图） 题型八 求能确定圆的个数 知识点一．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点二．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【典型例题一 三角形外接圆的说法辨析】 1．有下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．经过圆心的直线是圆的对称轴 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．三角形的外心到三角形三个边距离相等 3．三角形的外接圆： 经过三角形的 的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 ，三角形的外心到三角形 的距离相等． 4．三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 5．下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明． 证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：． 方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明． 【典型例题二 求三角形外心坐标】 1．如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .    4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 5．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题． （1）在图1中画出关于点D成中心对称的图形； （2）在图2中作出的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）； （3）外接圆的圆心M的坐标为____________． 【典型例题三 求特殊三角形外接圆的半径】 1．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 3．直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ． 4．在中，，，，则它的外心与顶点C之间的距离为 ． 5．如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【典型例题四 已知外心的位置判断三角形的形状】 1．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列语句中正确的是（    ） A．经过三个点一定可以作一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 3．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 4．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ． 5．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【典型例题五 判断三角形外接圆的圆心位置】 1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 3．如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 4．如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ；    5．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【典型例题六 判断确定圆的条件】 1．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 4．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，． (1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________． (2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出； (3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”） 【典型例题七 确定圆心（尺规作图）】 1．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点在轴上，点的坐标为，则该圆弧所在圆内的圆心坐标为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，． （1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为 ． （2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过 格点． 注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice point） 5．如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【典型例题八 求能确定圆的个数】 1．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 4．经过两点可以作 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆． 5．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【变式训练1 三角形外接圆的说法辨析】 1．下列命题中，正确的有（    ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长相等的弧是等弧．⑤相等的圆心角所对的弧度数相等 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 3．如图，在中，． 求作：，使得的三个顶点都在上． 作法： ①作边的垂直平分线，交于点O； ②以点O为圆心，长为半径作圆． 则为所求作的圆． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， （）（填推理依据）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 【变式训练2 求三角形外心坐标】 1．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一个圆经过，，三点，则该圆的圆心的坐标是 ． 3．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【变式训练3 求特殊三角形外接圆的半径】 1．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 2．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，且，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在平分线上移动，则点C到原点O的最大距离是 ． 3．如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 【变式训练4 已知外心的位置判断三角形的形状】 1．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 2．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 3．如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【变式训练5 判断三角形外接圆的圆心位置】 1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 3．如图，已知为等腰三角形，点E为的中点，请用尺规作图法，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练6 判断确定圆的条件】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧 2．平面直角坐标系内的三个点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 3．如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H． (1)在图1中作出∠AHG＝∠C． (2)在图2中作出∠AGH＝∠C． 【变式训练7 确定圆心（尺规作图）】 1．下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．不在同一直线上的三点确定一个圆 C．直径是弦，弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 2．如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1） ． （2）连接，则的最小值为 ． 3．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 【变式训练8 求能确定圆的个数】 1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（　　）    A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1） 2．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 4．过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆． 5．如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）下列命题中，正确的有（    ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长相等的弧是等弧．⑤相等的圆心角所对的弧度数相等 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 5．（2023九年级下·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 6．（2023·江苏盐城·模拟预测）在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 7．（2023·湖北襄阳·二模）在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 8．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 9．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 11．（2024·山东青岛·一模）画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x． 12．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 13．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，已知，请用尺规作图法，在中求作一点O，使点O为外接圆的圆心，并画出．（保留作图痕迹，不写作法） 14．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 15．（2024·广西南宁·一模）在格点图中，已知的三个顶点A，B，C均在格点上． (1)将向上移五格，得到； (2)用直尺作出的外接圆圆心O．（保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 确定圆的条件（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 三角形外接圆的说法辨析 题型二 求三角形外心坐标 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 题型五 判断三角形外接圆的圆心位置 题型六 判断确定圆的条件 题型七 确定圆心（尺规作图） 题型八 求能确定圆的个数 知识点一．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点二．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【典型例题一 三角形外接圆的说法辨析】 1．有下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，确定圆的条件，三角形的外心的性质；根据圆中的有关概念、定理进行分析判断． 【详解】解：①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故错误； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确． 故选：C． 2．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．经过圆心的直线是圆的对称轴 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．三角形的外心到三角形三个边距离相等 【答案】B 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理逆定理，确定圆的条件等知识，熟悉圆的概念和简单性质是解题关键．根据圆的性质、垂径定理逆定理，确定圆的条件即可解题． 【详解】解：三个不在同一条直线上的点确定一个圆，A错误； 经过圆心的直线是圆的对称轴，B正确； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，C错误； 三角形的外心到三角形三个顶点距离相等，D错误； 故选B． 3．三角形的外接圆： 经过三角形的 的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 ，三角形的外心到三角形 的距离相等． 【答案】 三个顶点 三条边垂直平分线 外心 三个顶点 【分析】根据三角形外心的定义以及性质完成填空即可求解． 【详解】解：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 故答案为：三个顶点；三条边垂直平分线；外心；三个顶点． 【点睛】本题考查了三角形外心的定义以及性质，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 4．三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 【答案】 不在同一直线上 顶点 外接圆 垂直平分线 顶点 【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．外心到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径．据此填空即可． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆； （3）三角形的外心：三角形外接圆的圆心．它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等． 故答案为：不在同一直线上；顶点；外接圆；垂直平分线；顶点． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和内心的确定等，熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点是解题的关键． 5．下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明． 证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：． 方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明． 【答案】证明过程见详解 【分析】根据矩形的性质，对角线相等且相互平分；根据圆的性质，从圆心到圆上的点所成的半径相等即可求解． 【详解】解：方法一：利用矩形判定和性质证明． 如图所示，过点作，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵是斜边上的中线，即点是斜边上的中点， ∴点D也是的中点， ∴， ∴； 方法二：利用圆的性质证明． 如图所示，是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，以为圆心，以为半径画圆，且，即为的直径， ∴内接于，则点在圆上，且， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，圆的性质，理解并掌握矩形中对角线相等且相互平分，从圆心到圆上的半径相等的知识是解题的关键． 【典型例题二 求三角形外心坐标】 1．如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：， 故选：B． 2．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可． 【详解】方法一、如图，连接，    ∵点是的外心， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 方法二、如图，    ∵点是的外心， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后根据坐标系直接写出的外接圆的圆心坐标． 【详解】解：如图所示：点P即为外接圆的圆心；      所以点的坐标为． 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义． 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为， 故答案为：． 5．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题． （1）在图1中画出关于点D成中心对称的图形； （2）在图2中作出的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）； （3）外接圆的圆心M的坐标为____________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接三角形的顶点与D，并延长至恰当的格点即可； （2）如图连接AE、FG，交点即为的外接圆的圆心M； （3）求出两条直线的解析式，求交点即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求三角形； （2）如图连接AE、FG，交点即为的外接圆的圆心M； （3）由题意可知，，，， 设AE解析式为，代入，得， ，解得，AE解析式为， 同理可求FG解析式为， 联立方程组得，，解得 M的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图和外接圆圆心的确定，解题关键是熟练运用相关知识在网格中作图，利用一次函数知识求点的坐标． 【典型例题三 求特殊三角形外接圆的半径】 1．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形外接圆，根据勾股定理得出，再由直角三角形的外接圆的直径是斜边长即可得出答案，熟练掌握直角三角形的外接圆的直径是斜边长是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在中，若两条直角边的长分别为6和8，即，， ， ， 是外接圆直径， 这个三角形的外接圆半径为， 故选：C． 2．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ， ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 3．直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形的斜边等于其外接圆的直径可得这个三角形的外接圆的半径． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴直角三角形的斜边， 所以这个三角形的外接圆的半径， 故答案为：5． 4．在中，，，，则它的外心与顶点C之间的距离为 ． 【答案】/厘米 【分析】先利用勾股定理计算出，由于的外心为斜边的中点，则可得的外接圆半径为，从而确定它的外心与顶点的距离． 【详解】解：，，， ， 的外心为斜边的中点， 的外接圆半径为， 它的外心与顶点的距离为． 故答案为：． 5．如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 【典型例题四 已知外心的位置判断三角形的形状】 1．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 2．下列语句中正确的是（    ） A．经过三个点一定可以作一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识，解答本题一定要死扣定义、定理内容，一些限制条件是必不可少的．根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法不正确； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确． 故选：D． 3．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 4．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】点是的外心 是等腰三角形 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键． 5．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【详解】（1）如图1，点D即为的外心； （2）如图2，点F即为所作； 【典型例题五 判断三角形外接圆的圆心位置】 1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示： 的外心是点， 故选：A． 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键． 根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 3．如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的外心是三边中垂线的交点，由的坐标可知，圆心M必在直线上；由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到． 【详解】解：设的外心为M， ， ∴M必在直线上，由图知：的垂直平分线过，故， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心是三边中垂线的交点、确定圆心的位置是解题的关键． 4．如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ；    【答案】 【分析】先根据点A的坐标建立坐标系，再根据圆心一定是线段和线段垂直平分线的交点进行画图求解即可． 【详解】解：如图所示，建立坐标系， 由图可知该圆弧所在圆的圆心坐标是， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，确定圆心的位置，熟知圆心一定在圆中弦的垂直平分线上是解题的关键． 5．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 【典型例题六 判断确定圆的条件】 1．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断，⑤根据等弧的定义判断，⑥根据圆的对称性质进行判断． 【详解】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确． ③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中； ④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确， ⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，条件是在同圆或等圆中； ⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确． ∴正确的有②④⑥，共3个． 故选：C． 2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】 本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 3．已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 4．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 ． 【答案】n≠﹣8 【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可． 【详解】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（1，2），B（3，﹣3）， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为， ∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时， ∴点C不在直线AB上， ∴当点C在直线AB上时，， ∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8， 故答案为：n≠﹣8． 【点睛】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，能够了解确定一个圆时三点不共线是解答本题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，． (1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________． (2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出； (3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)不能． 【分析】（1）根据平移的性质可得答案； （2）先作出，由旋转后点D在线段上可知绕点B顺时针旋转，根据旋转的性质确定点D、E的位置，然后顺次连接即可； （3）根据A、B、E三点共线可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴点B向上平移4个单位长度，得到点C，点C的坐标是， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图可得，A、B、E三点共线， ∴经过A，B，E三点不能确定一个圆， 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了平移的性质，画旋转图形，旋转的性质，确定圆的条件等知识，熟练掌握旋转的性质，作出旋转后的图形，得出A、B、E三点共线是解答本题的关键． 【典型例题七 确定圆心（尺规作图）】 1．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解． 【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心， 由图得点D的坐标为． 故该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：B． 2．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 3．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点在轴上，点的坐标为，则该圆弧所在圆内的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置． 4．如图，在平面直角坐标系中，． （1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为 ． （2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过 格点． 注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice point） 【答案】 （2，0） 8 【分析】（1）根据不共线三点确定圆心，找到的垂直平分线的交点，继而根据点M的位置写出坐标即可 （2）根据平面直角坐标系直接判断即可． 【详解】（1）如图， （2）如图，经过点，共8个格点 故答案为：8 【点睛】本题考查了不共线三点确定圆心，坐标与图形，找到圆心是解题的关键． 5．如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了确定圆心，求圆的周长； （1）先确定圆心，在小圆上任意取三点，作出两条线段，作这两条线段的垂直平分线，交于同一点即为圆环的圆心，进而画出车轮的圆环图； （2）根据圆环外径（外圆的直径）是，根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图为所求作的图形． （2）圆的周长， ∴车轮滚动一圈直走的路程是． 【典型例题八 求能确定圆的个数】 1．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 2．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 3．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 4．经过两点可以作 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆． 【答案】 无数 三 【分析】根据确定圆的条件解答即可． 【详解】解：经过两点可以做无数个圆， 不在同一直线的三个点可以确定一个圆， 故答案为：无数，三． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【变式训练1 三角形外接圆的说法辨析】 1．下列命题中，正确的有（    ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长相等的弧是等弧．⑤相等的圆心角所对的弧度数相等 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】①对称轴是一条直线②经过在一条直线上的三点无法做圆③外心的定义及性质④⑤等弧的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了圆，三角形外心的性质，等弧，解题的关键是：熟练掌握相关性质． 【详解】解：①圆的对称轴是直径所在的直线，故此命题错误， ②不在同一直线上的三点确定一个圆，故此命题错误， ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故此命题正确， ④在同圆或等圆中，长相等的弧是等弧，故此选项错误， ⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧度数相等，故此命题错误， 综上所述，只有③正确， 故选：． 2．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可．本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或 3．如图，在中，． 求作：，使得的三个顶点都在上． 作法： ①作边的垂直平分线，交于点O； ②以点O为圆心，长为半径作圆． 则为所求作的圆． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， （）（填推理依据）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 【答案】(1)见详解 (2)，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据要求作出图形即可． （2）利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】（1）补全图形如图所示： （2）证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 【变式训练2 求三角形外心坐标】 1．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键． 2．在平面直角坐标系中，一个圆经过，，三点，则该圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据圆的定义，可知圆心在线段的垂直平分线上，继而设圆心，由建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆心在线段的垂直平分线上，设圆心， ∴， 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的定义、垂径定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 3．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)在圆外 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 【变式训练3 求特殊三角形外接圆的半径】 1．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理解三角形的应用．依题意画出图形，连接，，过点作于点，利用等边三角形的性质和垂径定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，   ，． 过点作于点，则， 连接，，则， ， ． ， ， ∴， 在中，，， ∴， ． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，且，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在平分线上移动，则点C到原点O的最大距离是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 作的外接圆，连接，过点N作，交的延长线于H，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：点B在平分线上移动， ， 如图，作的外接圆，连接，过点N作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点N在上时，有最大值为， 的最大值为， 故答案为：． 3．如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 【答案】(1)见解析 (2)，外接圆的半径是 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键． （1）作和的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出； （2）连接并延长交于点D，连接，在直角中，利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径． 【详解】（1）解：即为所作；    （2）连接并延长交于点D，连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径是r，则，， 在直角中，，即， 解得：，则外接圆的半径是． 【变式训练4 已知外心的位置判断三角形的形状】 1．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 2．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键． 3．如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据点D和点E同时出发，速度相同，得出，即可用证明； （2）根据，得出，即可求解； （3）分别求出当时，和当时，的度数，即可解答． 【详解】（1）证明：∵点D和点E同时出发，速度相同， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，，    当时，，    ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角形的定义和三角形的外心，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；全等三角形的判定方法和全等三角形对应边边相等；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【变式训练5 判断三角形外接圆的圆心位置】 1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理等知识点，根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可，解答本题的关键是明确三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点． 【详解】由图可知，， ∴， ∴F点在三边的垂直平分线上， ∴点F是外心， 故选：C． 2．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查过不在同一直线上三点的圆，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键． 【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 3．如图，已知为等腰三角形，点E为的中点，请用尺规作图法，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．作线段的垂直平分线交直线于O，以O为圆心，为半径作，即为所求． 【详解】解：作线段的垂直平分线交直线于O，以O为圆心，为半径作，即为所求． 【变式训练6 判断确定圆的条件】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧 【答案】A 【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．由等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意； B. 不在同一条直线上的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项不正确，不符合题意； D. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．平面直角坐标系内的三个点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，， ∴点A、B、C不共线， ∴三个点，，能确定一个圆． 故答案为：能． 【点睛】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H． (1)在图1中作出∠AHG＝∠C． (2)在图2中作出∠AGH＝∠C． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将BC向上平移，使点B，点C 均在格点上即可； （2）作 交AB于G，交AC于H，可得线段EF，此时 【详解】（1）如图，线段EF，∠AHG即为所作， （2）如图，线段EF，即为所作， 【点睛】本题主要考查了作图----应用与设计作图，熟练掌握平移是解答本题的关键． 【变式训练7 确定圆心（尺规作图）】 1．下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．不在同一直线上的三点确定一个圆 C．直径是弦，弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义是解题的关键．根据垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义判断即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确，符合题意； C、直径是弦，弦不一定是直径，故本选项说法错误，不符合题意； D、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1） ． （2）连接，则的最小值为 ． 【答案】 /90度 2 【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性质即可得解； （2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定最短长度，然后利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ .∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 故答案为． （2）∵，点E在以为直径的圆上，设的中点为O，则当O，E，C三点共线时，的值最小，此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 3．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证 （2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解. 【详解】（1）)证明：， ， 又 ， 在 和 ， ， ； （2） ∵，， ∴， ， ∴， 的外接圆半径 ， 故答案为： 【变式训练8 求能确定圆的个数】 1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（　　）    A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1） 【答案】B 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，    可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 2．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 3．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 4．过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 5．如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    【答案】6 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图，    以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 综上分析可知，共6组． 故答案为：6． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项B正确，符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）下列命题中，正确的有（    ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长相等的弧是等弧．⑤相等的圆心角所对的弧度数相等 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】①对称轴是一条直线②经过在一条直线上的三点无法做圆③外心的定义及性质④⑤等弧的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了圆，三角形外心的性质，等弧，解题的关键是：熟练掌握相关性质． 【详解】解：①圆的对称轴是直径所在的直线，故此命题错误， ②不在同一直线上的三点确定一个圆，故此命题错误， ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故此命题正确， ④在同圆或等圆中，长相等的弧是等弧，故此选项错误， ⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧度数相等，故此命题错误， 综上所述，只有③正确， 故选：． 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：， 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确定圆心的位置是解题的关键．连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， 圆心的坐标为， ， ， 线段， 半径， 点在内， 故选：C． 5．（2023九年级下·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 6．（2023·江苏盐城·模拟预测）在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，两边长分别是5，12， 当5，12是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当12是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是6或． 故答案是：6或． 7．（2023·湖北襄阳·二模）在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】4或5 【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键． 根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可． 【详解】当为斜边时， 是直角， 三角形外接圆直径， 半径是4； 当为斜边时， 为直角， ， ， 三角形外接圆直径为 半径是5； 综上所述：半径为4或5． 8．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 9．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查在网格中作已知直线的中垂线和勾股定理，分别作出和的中垂线，它们的交点即为圆心O，为半径能覆盖的最小圆面，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：根据正方形的性质得到的中垂线，再找到的中垂线，交于点O，点O为圆心为半径即为覆盖的最小圆面，如图， 则最小圆面的半径． 故答案为：． 11．（2024·山东青岛·一模）画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画圆，根据圆的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 12．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—三角形的外接圆，连接得到，分别作线段、的垂直平分线交于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 13．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，已知，请用尺规作图法，在中求作一点O，使点O为外接圆的圆心，并画出．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，作一个三角形的外接圆，分别作出线段、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为外接圆的圆心O，最后作出外接圆即可． 【详解】解：如图，点O和即为所求． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 15．（2024·广西南宁·一模）在格点图中，已知的三个顶点A，B，C均在格点上． (1)将向上移五格，得到； (2)用直尺作出的外接圆圆心O．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图应用设计作图，平移变换的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的作法，熟记线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）分别作出线段与线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求    （2）解：的外接圆圆心如图所示    学科网（北京）股份有限公司 $$