第05讲 三角形全等的判定（一） （3个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第05讲 三角形全等的判定（一） （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点 1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【例1】（2023秋•丹江口市期中）如图，已知，下列所给条件不能证明的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•海曙区期末）如图，，请你添加一个条件：　　，使． 【变式2】（2023秋•嵊州市期末）如图，，，要使，可添加的条件为 　　． 【变式3】（2023秋•龙泉市期中）如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：． 【变式4】（2023秋•东阳市期末）如图，，，，求证：． 知识点2．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【例2】（2020秋•巴东县期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•椒江区校级期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为　　． 【变式2】（2023秋•衢江区期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 　　；若，的面积为4，则的面积是 　　． 【变式3】（2023秋•长兴县期末）如图，已知点在上，且，有同学在推出，后，还分别推出下列结论，其中错误的是　　 A． B． C． D． 【变式4】（2023秋•余姚市期末）如图，在与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求证：． 知识点3．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【例3】（2023秋•南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•武义县期末）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（2023秋•滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得，则工件内槽宽为 　　． 【变式3】（2023秋•临海市校级期中）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由． 【变式4】（2023秋•义乌市校级月考）如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，若，求到的距离． 经典题型汇编 题型一.用SSS证明三角形全等（SSS） 1．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江·单元测试）数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 ． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是格点三角形． ①在图1中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形．    题型二.用SAS证明三角形全等（SAS） 4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，则的根据是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，CA=CD，CE平分∠ACB，交AB于点E，连接DE，若∠A=100°，∠B=45°，则∠BED= °． 6．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型三.用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 7．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在和中，，，请你添加一个条件 ，使且满足．    9．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，，求证：．    题型四.全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 10．（23-24八年级上·浙江·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　）    A．20 B．25 C．30 D．35 11．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，点是射线上一点（与点不重合），以为腰作等腰直角，当点运动时，连接，总与边交于点．若，则之间的数量关系是 （用含的代数式表示）． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，．求证：． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 3．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在四边形中，，，点是对角线上一点，于点，于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，三点在同一条直线上，，，，则下列结论错误的是（    ）    A．与互余 B． C． D． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点D，E分别在上，且，与相交于点F，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．其依据是（　　）      A． B． C． D． 8．（20-21八年级上·浙江·期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，，若要用“”证明，这个条件是 ． 12．（20-21八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知点E，F分别在，上，且，请按“”的要求补充一个条件： ，使得．（只需填写一种情况即可） 13．（22-23八年级上·浙江·单元测试）如图AB＝DC，若要证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件是 （写出一个即可）． 14．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，在和中，，，，则 ． 15．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在线段上，与交于点，若，则的度数为 ． 17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 18．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分．求证：． 20．（八年级上·浙江·课后作业）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明． 21．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，点E，F在上，，，，求证：． 22．（23-24·浙江杭州·阶段练习）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 24．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证： (1)． (2)． 25．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．    证明：∵（    ）， ∴____________， ∴______， 在和中，， ∴（    ）． 26．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，D为上一点，，的角平分线交于点F．      (1)求证：； (2)G为上一点，当平分，求证：； (3)在（2）的基础上，连接求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形全等的判定（一） （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点 1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【例1】（2023秋•丹江口市期中）如图，已知，下列所给条件不能证明的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用、、、、进行分析即可． 【解答】解：、添加可利用判定，故此选项错误； 、添加不能判定，故此选项正确； 、添加可利用判定，故此选项错误； 、添加可利用判定，故此选项错误； 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式1】（2023秋•海曙区期末）如图，，请你添加一个条件：　（答案不唯一）　，使． 【分析】要使，且已知，图中可以看出有一个共同的角，则可以用、来判定． 【解答】解：添加． 在与中， ， ； 添加． 在与中， ， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、（适合于两直角三角形）．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【变式2】（2023秋•嵊州市期末）如图，，，要使，可添加的条件为 　（答案不唯一）　． 【分析】由题意知，添加的条件为，可证． 【解答】解：由题意知，添加的条件为， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键是掌握在于确定判定三角形全等的条件． 【变式3】（2023秋•龙泉市期中）如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：． 【分析】根据得到，然后利用判定定理证明即可． 【解答】证明：， ，（2分） 在和中， ， ， ，（4分） ．（6分） 【点评】本题主要考查三角形全等的判定；要牢固掌握并灵活运用这些知识． 【变式4】（2023秋•东阳市期末）如图，，，，求证：． 【分析】求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 知识点2．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【例2】（2020秋•巴东县期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则　　 A． B． C． D． 【分析】标注字母，利用“边角边”判断出和全等，根据全等三角形对应角相等可得（或观察图形得到，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【解答】解：如图，在和中， ， ， （或观察图形得到， ， ， 又， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键． 【变式1】（2023秋•椒江区校级期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为　　． 【分析】延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：延长至，使，连接． 在和中， ， ， ． 在中，， 即， ． 故答案为． 【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 【变式2】（2023秋•衢江区期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 　3　；若，的面积为4，则的面积是 　　． 【分析】依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【解答】解：且 由外角定理可得， 又， ， 在和中， ． ， ， ， 的面积为4， ， ， 的面积是 故答案为：3，． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】（2023秋•长兴县期末）如图，已知点在上，且，有同学在推出，后，还分别推出下列结论，其中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的性质即可判断． 【解答】解：， ，，，，，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式4】（2023秋•余姚市期末）如图，在与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）根据，，，由即可证明； （2）由得到，则是等腰三角形，即可得到． 【解答】（1）证明：在和中， ， ； （2）， ， 是等腰三角形， ． 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 知识点3．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【例3】（2023秋•南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【变式1】（2023秋•武义县期末）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【解答】解：．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； ．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； ．，，，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意； ．根据，，，三角形形状确定，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 【变式2】（2023秋•滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得，则工件内槽宽为 　10　． 【分析】根据全等的定理证得△，即可得到，进而得出答案． 【解答】解：连接，如图， 点分别是、的中点， ，， 在和△中， ， △． ， ， ， 故答案为：10． 【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等． 【变式3】（2023秋•临海市校级期中）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　三角形具有稳定性．　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可； （2）证明，得，结合已知条件则可知的长度 【解答】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性． （2）． 理由如下：是和的中点， ，， 在和中， ， ， 又， ． 【点评】本题考查了三角形的稳定性，三角形全等的性质与判定，证明是解题的关键． 【变式4】（2023秋•义乌市校级月考）如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，若，求到的距离． 【分析】作，垂足为，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：如图2，作，垂足为． ， ； 在△中，； 又， ， ； 在和中， ， ； 且，， ； ， ， 即到的距离是． 【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 经典题型汇编 题型一.用SSS证明三角形全等（SSS） 1．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 2．（22-23八年级上·浙江·单元测试）数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 ． 【答案】SSS 【分析】根据SSS证明三角形全等即可解答． 【详解】解：在和△中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，读懂图形信息得到证明三角形全等的条件是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是格点三角形． ①在图1中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定； （1）根据“”画图即可； （2）根据“”画图即可； 解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 【详解】解：（1）即为所求作的三角形；          （2）即为所求作的三角形．                题型二.用SAS证明三角形全等（SAS） 4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，则的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有．根据题中已知，及公共角，利用证明即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故选：D． 5．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，CA=CD，CE平分∠ACB，交AB于点E，连接DE，若∠A=100°，∠B=45°，则∠BED= °． 【答案】55 【分析】根据SAS证明△ACE≌△DCE，根据全等三角形的性质可得∠CDE＝∠A＝100°，再根据三角形外角的性质可求∠BED． 【详解】解：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠DCE， 在△ACE与△DCE中， ， ∴△ACE≌△DCE（SAS）， ∴∠CDE＝∠A＝100°， ∵∠B＝45°， ∴∠BED＝∠CDE﹣∠B＝100°﹣45°＝55°． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CDE＝∠A＝100° 6．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）由，两边加上，得到，利用即可得证． （2）根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴，则, ∵， ∴， ∴． 题型三.用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 7．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【详解】解：此玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定． 故选：D． 8．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在和中，，，请你添加一个条件 ，使且满足．    【答案】 【分析】根据题意和全等三角形的判定即可得． 【详解】解：在和中， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明三角形全等． 【详解】证明：∵ ∴ 即 在和中 ， ∴． 题型四.全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 10．（23-24八年级上·浙江·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　）    A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，，求出和，根据和矩形的面积相等，进行求解． 【详解】解：点E为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ， ， ， 故选：C． 11．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，点是射线上一点（与点不重合），以为腰作等腰直角，当点运动时，连接，总与边交于点．若，则之间的数量关系是 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用分类讨论思想以及正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键 过点E作于G，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；根据全等三角形的性质得到，结合，且，根据线段的和差关系列式代入计算；当点在直线上时，同理证明三角形的全等，然后运用全等三角形的性质以及数形结合思想，再结合线段的和差关系列式，代入数值进行计算，即可得到答案； 【详解】解：过点E作于G， 则， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ 在和中 ， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ 则 ∵， ∴ 即； 如图，过点E作交的延长线于点H， 则， ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，且， ∴； ∴ 故答案为：或． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是根据证明，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点D，E分别是的中点， ， 在和中， ． ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 3．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在四边形中，，，点是对角线上一点，于点，于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明，根据全等三角形的性质及题目中的条件对各选项逐一判断即可．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴选项C不正确； ∵，， ∴，故选项A正确，选项B不正确； 而由题目中的条件无法判断是否成立，故选项D不正确． 故选：A． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， A、若添加，利用边角边判定，故本选项不符合题意； B、若添加，满足边边角，不能判定，故本选项符合题意； C、若添加， ∵，， ∴，利用角角边判定，故本选项不符合题意； D、若添加，利用角角边判定，故本选项不符合题意； 故选：B 5．（20-21八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，三点在同一条直线上，，，，则下列结论错误的是（    ）    A．与互余 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答. 【详解】∵, ∴, , ∵, ∴, 故错误； ∴, 故正确； ∴, 故正确； 在和中, ， ∴, 故正确； 故选:. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件是解题的关键. 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点D，E分别在上，且，与相交于点F，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形外角的性质，根据全等三角形的判定推出，根据三角形的性质可得，最后根据三角形外角性质求出即可． 【详解】，， ， 在和中 ， ， ， 故选：B． 7．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．其依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用证明即可求解． 【详解】解：在与中， ． ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 8．（20-21八年级上·浙江·期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法“”即可证明． 【详解】∵点分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴． 故选：C 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及三角形面积，延长交于，证明，得到，，进而得到，由此得到，即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，，若要用“”证明，这个条件是 ． 【答案】 【分析】由图形可知为公共边，则可再加一组边相等可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴可补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 12．（20-21八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知点E，F分别在，上，且，请按“”的要求补充一个条件： ，使得．（只需填写一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已有，，根据“”的全等证明方法，还需要一组角相等，据此即可作答． 【详解】根据题意，添加的条件为：， 即在和中：，，， ∴， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了利用“”的证明两三角形全等的知识，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 13．（22-23八年级上·浙江·单元测试）如图AB＝DC，若要证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件是 （写出一个即可）． 【答案】AC＝DB或∠ABC＝∠DCB 【分析】由图形可知BC为公共边，则可再加一组边相等或一组角相等，可求得答案． 【详解】解：∵AB＝DC，BC＝CB， ∴可补充AC＝DB， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）； 可补充∠ABC＝∠DCB， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故答案为：AC＝DB或∠ABC＝∠DCB． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 14．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，在和中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质得出∠DAC=∠BAC，即可求出结果． 【详解】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC ∵∠DAB=80°， ∴∠DAC=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 15．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵且 ∴ 由外角定理可得， 又∵， ∴， ∵ ∴ 在和中， ∴（）． ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴ ∴的面积是 故答案为：，． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在线段上，与交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/47度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键．先证明，然后利用即可证得得，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等图形的判断，三角形全等的判定，根据两个完全重合的图形叫全等图形，结合三角形全等直接逐个判断即可得到答案 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴，， 当时， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴形四边形， ∴①符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴②符合题意， 当时，不能得到， 故③不符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴④符合题意， 故答案为：①②④． 18．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则 ． 【答案】/131度 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，如图，证明，得到，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解， 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，由平分，得出，利用证明，由全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明∵平分， ， 在和中， ， ， ． 20．（八年级上·浙江·课后作业）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明． 【答案】△ABC≌△AED,证明见解析. 【分析】由BD=CE，得到BC=ED，根据“边、边、边”判定定理可得△ABC≌△AED． 【详解】解：△ABC≌△AED. 证明：∵BD＝CE， ∴BC＋CD＝CD＋DE， 即BC＝ED. 在△ABC与△AED中， ∴△ABC≌△AED(SSS) 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证得BC=ED是解题的关键． 21．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，点E，F在上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，，再运用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，   ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形外角的性质求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 23．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由可得，利用即可证明； （），可得，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴． 24．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论； （2）因为，则，根据，，得出．又因为，则，得出． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．    证明：∵（    ）， ∴____________， ∴______， 在和中，， ∴（    ）． 【答案】已知，，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再由证即可． 【详解】解：（已知）， ， ， 在和中， ， ． 故答案为：已知，，，，． 26．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，D为上一点，，的角平分线交于点F．      (1)求证：； (2)G为上一点，当平分，求证：； (3)在（2）的基础上，连接求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】利用三角形外角的性质得, 从而证明结论; 利用内错角相等，两直线平行证明即可； 利用证明,得到，然后再利用证明，从而得出结论. 【详解】（1）证明: ∵是的角平分线, ∴, ∵分别是的外角, ∴, 又∵, ∴； （2）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）   ∵平分, ∴, ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴， 又∵,， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$