第05讲 认识一元二次方程 （3个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第05讲 认识一元二次方程 （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例1】（2023秋•忠县期末）下列方程为一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•连山县期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是　　 A． B． C．或 D．3 【变式2】（2024春•肇源县月考）方程是关于的一元二次方程，则的值为 　　． 【变式3】（2023春•鄞州区期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【例2】（2023秋•永善县期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•桂林二模）一元二次方程的一次项系数是 　　． 【变式2】（2023秋•朝阳区校级期末）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　　． 【变式3】（2023秋•武威期中）将一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【例3】（2024•营山县一模）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 【变式1】（2024•东莞市校级二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为　　 A． B．2023 C．2024 D．2025 【变式2】（2024•城关区校级一模）已知是方程的一个根，则实数的值是 　　． 【变式3】（2024•碑林区校级自主招生）已知关于的一元二次方程的解为，，求的值． 经典题型汇编 题型一.一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 2．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）若 是关于的一元二次方程，则 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 题型二.一元二次方程的一般形式 4．（23-24九年级上·广西柳州·期中）方程的常数项是 ． 5．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 6．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式． 题型三.一元二次方程的解 7．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值 ． 9．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2） 已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 题型四.一元二次方程的解的估算 10．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 7．（21-22九年级上·贵州毕节·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 8．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）当方程的一般式为时，的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 9．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 3.24 3.25 0.01 A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·山西晋中·期中）根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程的一次项系数是 ． 12．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ． 13．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为 ． 14．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为 ． 15．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是 16．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 17．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 18．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）写出一个以2为一根且二次项系数是1的一元二次方程： ． 三、解答题 19．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 20．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 21．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 22．（22-23九年级上·甘肃平凉·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，求m的值． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 24．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 25．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 26．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 认识一元二次方程 （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例1】（2023秋•忠县期末）下列方程为一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【解答】解：，有两个未知数，未知数的最高次数是1，是二元一次方程，故不符合题意； ．，有两个未知数，未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故不符合题意； ．，有一个未知数，未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意； ．，化简得：，有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查一元一次方程的定义，解题关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【变式1】（2023秋•连山县期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是　　 A． B． C．或 D．3 【分析】根据一元二次方程的定义，列出有关的方程和不等式，继而解答即可． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得：， 故选：． 【点评】此题考查的是一元二次方程，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 【变式2】（2024春•肇源县月考）方程是关于的一元二次方程，则的值为 　2　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得：． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键． 【变式3】（2023春•鄞州区期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把代入方程得，整理后根据等腰三角形的判定判断即可； （2）根据等边三角形的性质得出，代入方程，即可得出，再解方程即可． 【解答】解：（1）是等腰三角形， 理由是：把代入方程得：， ， ， 的形状是等腰三角形； （2）是等边三角形， ， ， ， 即， 解得：，， 即这个一元二次方程的根是，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出是解（2）的关键． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【例2】（2023秋•永善县期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【解答】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 【变式1】（2024•桂林二模）一元二次方程的一次项系数是 　　． 【分析】根据一元二次方程找出一次项系数即可． 【解答】解：一元二次方程的一次项系数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式，其中、、为常数，是解此题的关键． 【变式2】（2023秋•朝阳区校级期末）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　　． 【分析】根据题意正确得出一元二次方程的一般形式，进而可得到答案． 【解答】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， 化成的一般形式为， 一次项系数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式3】（2023秋•武威期中）将一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是5，一次项系数是，常数项是． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【例3】（2024•营山县一模）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 【分析】因式分解法可求，，再根据，可得关于的方程，解方程可求的值． 【解答】解：， ， 或， ， ，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得，． 【变式1】（2024•东莞市校级二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为　　 A． B．2023 C．2024 D．2025 【分析】把代入，可得，再代入，即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， 即， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立． 【变式2】（2024•城关区校级一模）已知是方程的一个根，则实数的值是 　2　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【解答】解：是方程的一个根， ， 解得：， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 【变式3】（2024•碑林区校级自主招生）已知关于的一元二次方程的解为，，求的值． 【分析】先根据根与系数的关系得到，，则，化为两分式的差得到，所以原式，然后进行有理数的加减运算． 【解答】解：的解为，， ，， ， ． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系和数字规律型问题的解决方法． 经典题型汇编 题型一.一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：B． 2．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）若 是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【答案】(1)存在，时；时 (2)存在， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可． 【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程， 当时，解得，此时程为，解得； 当时，解得，此时方程为，解得． 当时，方程无解； （2）存在． 根据一元二次方程的定义可得，解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 题型二.一元二次方程的一般形式 4．（23-24九年级上·广西柳州·期中）方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是为常数，．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：方程的常数项是， 故答案为： 5．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键． 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：C． 6．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式． 【答案】，， 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的一般式是解题的关键． 将代入，计算求解可得的值，进而可求一元二次方程的一般式． 【详解】解：将代入得，， 解得，， ∴， ∴a、b的值分别为1，2；这个一元二次方程的一般形式为． 题型三.一元二次方程的解 7．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边值相等的未知数的值；把分别代入四个选项中的方程，判断左右两边的值是否相等即可． 【详解】解：当时， 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故是方程的一个解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 故选：B． 8．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息． （1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解； （2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案． 【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则， ， 把代入方程，得：， 故答案为：； 【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有，于是，方程有一个根为，不合题意， ∴，故所求方程为． 题型四.一元二次方程的解的估算 10．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 11．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，，而，，则可判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 【详解】解：，， ，， 时，存在某个x的值，使得， 即方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握方法是解题的关键． 12．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有1个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，即未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，是一元二次方程； 综上：是一元二次方程的有3个； 故选C． 3．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次的一般形式，将方程整理成一般形式后，判断的值即可． 【详解】 解：， 移项，得， 这里， 故选：D． 4．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程的一般形式，根据二次项系数及常数项得到结果即可． 【详解】 解：已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则这个一元二次方程可能是. 故选：D． 5．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可得：在和之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的取值范围为． 【详解】解：由题意得： 当时，， 当时，， ∴方程一个解x的取值范围为． 故选：C． 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．根据常数项的定义得到，然后利用平方根的定义得到的值． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：C． 7．（21-22九年级上·贵州毕节·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，把代入方程得：， ∴； 故选：B． 8．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）当方程的一般式为时，的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确将原方程整理为一般形式是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为．将原方程整理为一般形式，即可获得答案． 【详解】解：将方程整理为一般形式， 可得， 所以，的值为． 故选：B． 9．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 3.24 3.25 0.01 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表中数据得到时，；时，，于是可判断在和之间取某一值时，，由此得到方程的一个解的范围． 【详解】 解：时，； 时，， ∴当时，的值可以等于0， ∴方程的一个解的范围是． 故选：B． 10．（23-24九年级上·山西晋中·期中）根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：C． 二、填空题 11．（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程的一次项系数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是0． 故答案为：0． 12．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，将已知根2代入一元二次方程即可求得k的值． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程中得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为 ， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是 【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程.，根据未知数的最高次数是2建立等式，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 17．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 【答案】 【分析】观察表格可得当时， ，当时， ，可得到一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶当时， ， 当时， ， ∴一元二次方程的解介于1.6与1.7之间， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得比较接近0，本题属于基础题型． 18．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）写出一个以2为一根且二次项系数是1的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程根的计算．根据题意一元二次方程以2为一根且二次项系数是1，由此给出一元二次方程即可． 【详解】解：一元二次方程以2为一根且二次项系数是1， 一元二次方程的形式可以是的形式，其中取任意实数， 取时，一元二次方程为，满足以2为一根且二次项系数是1， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 19．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 20．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解的概念根据分式的混合运算法则把原式化简，根据一元二次方程的解的定义，得出代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． ∵m是方程的根， ∴ 即 ∴原式 21．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴，， ∴． 22．（22-23九年级上·甘肃平凉·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程的定义得出且，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数为，一次项系数为8，常数项为 【分析】先把变为一般形式，然后得出答案即可． 【详解】解：由得， ∴二次项系数为，一次项系数为8，常数项为． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，形如，把式子化为一元二次方程的一般形式是解题关键． 24．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 25．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 26．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$