3.4函数的应用（一）讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修第一册 夯实基础篇 14函数的应用一 第三章 函数的概念与性质 夯实基础篇---14函数的应用一 1、 问题导学 数学源于生活，我们学习的一次函数、二次函数、幂函数都与现实世界有密切联系，下面我们就通过具体实例初步感受一下数学的应用性及构建数学模型解决问题的过程和方法 2、 知识构建 解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 三、类型剖析 类型一：一次函数模型 类型二：二次函数模型 类型三：幂函数模型 类型四：对勾函数模型 类型五：分段函数模型； 四、类型应用 类型一--- 一次函数模型 【例1】在实施“城乡危旧房改造工程”中，河西区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A种户型和30套B种户型住房共需资金480万元，建成30套A种户型和10套B种户型住房共需资金400万元． (1)在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是多少万元？ (2)河西区有800套住房需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担，若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万元，河西区财政投入额资金不超过7700万元，其中国家财政投入到A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元； ①请你计算求出A种户型至少可以建多少套？最多可以建多少套？ ②设这项改造工程总投入资金W万元，建成A种户型m套，写出W与m的关系式，并求出最少总投入． 【跟踪训练1-1】为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1-2】某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则： （1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式； （2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析. 类型二：二次函数模型 【例2】若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系，而某种型号的汽车的速度为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，问这辆车是否超速行驶？ 【跟踪训练2-1】某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？ 【跟踪训练2-2】你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 类型三：幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 【例3】2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【跟踪训练3-1】为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【跟踪训练3-2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 类型四：对勾函数模型 例4：喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 【跟踪训练4-1】要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？ 【跟踪训练4-2】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比,每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库,则和分别为4万元和9万元,为了能使两项费用之和最小,这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处. 类型五：分段函数模型； 【例5】依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数.    ① 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除.  ② 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表3.1-5. 表3.1-5 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 3 0 2 10 2520 3 20 16920 4 25 31920 5 30 52920 6 35 85920 7 45 181920 假定小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元， 设小王全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）. (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果小王全年的综合所得为249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 【跟踪训练5】某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价. 高峰时间段用电价格表： 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷时间段用电价格表： 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为（    ）元 A． B． C． D． 【例6】一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：）与时间t（单位：h）的关系如图所示， （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象. 【跟踪训练6】某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象． 【例7】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 【跟踪训练7】某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）. (1)直接写出y与x之间的函数关系式： (2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？ 【例8】世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【跟踪训练8】空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式． (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润． 【例9】学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）                   A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【跟踪训练9】小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   四、素养提升 1.（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象. （1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； （2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？ 2.下表是弹簧伸长长度（单位：）与拉力（单位：）的相关数据： 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式． 五、随堂检测 1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论不正确的是（    ）    A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 3.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（    ） 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A． B． C． D． 4.我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 5.要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 6.喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 7.下表为某市居民用水阶梯水价表：（单位：元/立方米） 阶梯 户年用水量 （立方米） 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0~180（含） 5.00 2.0 1.5 1.4 第二阶梯 180~260（含） 7.00 4.2 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费为（元）与用水量为（立方米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 8. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)． （1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数； （2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$必修第一册 夯实基础篇 14函数的应用一 第三章 函数的概念与性质 夯实基础篇---14函数的应用一 1、 问题导学 数学源于生活，我们学习的一次函数、二次函数、幂函数都与现实世界有密切联系，下面我们就通过具体实例初步感受一下数学的应用性及构建数学模型解决问题的过程和方法 2、 知识构建 解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 三、类型剖析 类型一：一次函数模型 类型二：二次函数模型 类型三：幂函数模型 类型四：对勾函数模型 类型五：分段函数模型； 四、类型应用 类型一--- 一次函数模型 【例1】在实施“城乡危旧房改造工程”中，河西区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A种户型和30套B种户型住房共需资金480万元，建成30套A种户型和10套B种户型住房共需资金400万元． (1)在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是多少万元？ (2)河西区有800套住房需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担，若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万元，河西区财政投入额资金不超过7700万元，其中国家财政投入到A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元； ①请你计算求出A种户型至少可以建多少套？最多可以建多少套？ ②设这项改造工程总投入资金W万元，建成A种户型m套，写出W与m的关系式，并求出最少总投入． 【答案】(1)A、B户型所需资金分别为万元 (2)①A户型可建最少、最多套数分别为套 ②，万元 【分析】（1）根据题意，列出方程组，分别解出在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金即可； （2）①列出不等式组，解得x的取值范围，即可求得A种户型至少可以建多少套； ②建立函数关系式，用一次函数的性质求最值. 【详解】（1）设在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是x万元和y万元． 由题意，解得， ∴在危旧房改造中建成一套种户型和一套种户型住房所需资金分别是9万元和13万元； （2）①设种户型有套，则B种户型有套． 由题意解得． ∴种户型至少可以建套，最多可以建套． ②设这项改造工程总投入资金万元，建成种户型套， 则，显然关于递减 ∵ ∴ 时，的最小值为万元 【跟踪训练1-1】为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元, 则当时,元,不符合题意; 当时,,令,解得,符合题意； 当时,,不符合题意. 综上所述: 此户居民本月用水量为15. 故选：C. 【跟踪训练1-2】某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则： （1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式； （2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析. 【答案】（1），，，；（2）分析见解析 【分析】（1）根据题意并利用常见函数的模型即可列出关系式. （2）作出的图像，由图像可得出公司的赢利与亏损. 【详解】解：（1）由题意，得，，， . （2）画出的图象如图.    由图象可知，当时，该公司亏损； 当时，公司不赔不赚；当时，公司赢利. 【点睛】本题考查了常见函数的模型：一次函数、反比例函数的应用，属于基础题. 类型二：二次函数模型 【例2】若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系，而某种型号的汽车的速度为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，问这辆车是否超速行驶？ 【答案】没有超速. 【分析】先根据题意得到函数的解析式，然后根据刹车后滑行距离为，求出相应的车速，与限速比较后可得结论． 【详解】由题意知点在函数的图象上， ∴，解得得， ∴， 当时，则有， 整理得， ∴． ∵， ∴这辆车没有超速行驶． 【点睛】本题考查二次函数模型在实际中的应用，解题的关键是根据题意求出函数的解析式，考查应用能力和计算能力，属于基础题． 【跟踪训练2-1】某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？ 【答案】边长为的正方形时 【解析】设广告牌的长为，则宽为，根据矩形的面积公式配方即可求解. 【详解】解：设广告牌的长为，则宽为. 设广告牌的面积为.则. 当时，y取最大值.此时宽为. ∴当这个广告牌为边长为的正方形时，面积最大. 【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，注意定义域的取值范围，属于基础题. 【跟踪训练2-2】你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 类型三：幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 【例3】2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【详解】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 【跟踪训练3-1】为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【详解】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 【跟踪训练3-2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，．故选：D． 类型四：对勾函数模型 例4：喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 【答案】最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 【详解】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为， 油耗为， 则总费用， ， 由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增， 因为，所以当时，取到最小值， 最小值为. 最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 【跟踪训练4-1】要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？ 【答案】长度应该在内 【解析】设水池的长为，宽为，总造价为元；从而可得，，从而求解二次不等式的解集． 【详解】解：设水池的长为，宽为；总造价为元； 则，故； ； 则； 解得，； 故水池的长在到时，才能使水池的总造价控制在万元以内． 【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题． 【跟踪训练4-2】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比,每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库,则和分别为4万元和9万元,为了能使两项费用之和最小,这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处. 【答案】 【解析】由题知,设,, 由已知得,即,即 两项费用之和为, 即, 当且仅当,即时取等号, 所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处,才能使两项费用之和最小. 故答案为: 类型五：分段函数模型； 【例5】依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数.    ① 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除.  ② 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表3.1-5. 表3.1-5 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 3 0 2 10 2520 3 20 16920 4 25 31920 5 30 52920 6 35 85920 7 45 181920 假定小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元， 设小王全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）. (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果小王全年的综合所得为249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 【答案】(1) (2)5712元 【分析】根据公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式，再结合的解析式③，即可得出y关于x的函数解析式. 【详解】（1）设全年应纳税所得额为t，由个人应纳税所得额计算公式，可得 . 令，得. 根据个人应纳税所得额的规定可知，当时，. 所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为. 根据表3.1-5，可得函数的解析式为 ，       ③ 则当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以，函数解析式为.           ④ （2）根据④，当时，. 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元. 【跟踪训练5】某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价. 高峰时间段用电价格表： 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷时间段用电价格表： 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为（    ）元 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表中数据分段求解电费即可. 【详解】高峰时段电费为元， 低谷时段电费为元， 共计元. 故选：D 【例6】一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：）与时间t（单位：h）的关系如图所示， （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象. 【答案】（1），汽车在这5h内行驶的路程为360km；（2）解析式见解析，图像见解析 【分析】（1）由图中数据可得出阴影部分的面积为. （2）对的取值范围进行讨论，分别计算出和时的表达式，由分段函数的定义以及与的函数关系，画出图像即可. 【详解】解：（1）阴影部分的面积为. 阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km. （2）根据题意，有 这个函数的图象如图所示： 【点睛】本题考查了分段函数模型在生活中的应用，属于基础题. 【跟踪训练6】某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象． 【答案】见解析 【分析】根据分段函数写出x,v的表达式，作图即可 【详解】由题意得：路程表示为时间的函数：图像如图：    车速v()表示为时间的函数：图像如图   【点睛】本题考查函数的实际应用，考查分析问题解决问题能力，着重考查分段函数的概念是基础题 【例7】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 【答案】B 【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【详解】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 【跟踪训练7】某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）. (1)直接写出y与x之间的函数关系式： (2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？ 【答案】(1) (2)65元 ；6250元 【分析】（1）由题意可直接得到y与x之间的函数关系式： （2）根据（1）的结果，求出月利润的表达式，结合二次函数性质，求得答案. 【详解】（1）由题意可得； （2）由题意得， 即， 当时，取最大值6250， 当时，取最大值6125， 故当销售价格65元时才能使月利润最大，最大月利润是6250元. 【例8】世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1); (2)100（百辆），2300万元. 【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案. 【详解】（1）由题意知利润收入-总成本， 所以利润 , 故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 . （2）当时，， 故当时，； 当时，, 当且仅当， 即时取得等号； 综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元． 【跟踪训练8】空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式． (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元 【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额成本公式，分类讨论即可求解； （2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，利用二次函数的性质及基本不等式即可求解． 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以 （2）当时，，当时， 取得最大值2925万元； 当时，． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取得最大值2830万元． 因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元． 【例9】学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）                   A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【解析】设行进的速度为 m/min，行走的路程为S m， 则，且， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.故选：A 【跟踪训练9】小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题目中描述的信息，按照分段函数图象分成三段画出即可得出答案. 【详解】小明父亲行走的前20分钟路程一直在增加，到900米之后停下看报纸，20分钟至40分钟路程不增加， 40分钟至60分钟回家过程中，路程减少至0，因此A中图象符合题意. 故选：A 四、素养提升 1.（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象. （1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； （2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？ 【答案】（1）点A见解析，点B见解析，射线AB见解析；（2）两种建议见解析 【解析】（1）观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，即可得出结论． （2）观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据图象，即可得出合理的建立． 【详解】解：（1）点A的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）；点B的实际意义为：当乘客量为1.5时，公司收支持平； 射线AB上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将赢利. （2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变. 【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键． 2.下表是弹簧伸长长度（单位：）与拉力（单位：）的相关数据： 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式． 【答案】图见解析，. 【分析】本题可结合表中数据绘出函数图像，然后令，取点、代入函数解析式进行计算，即可得出结果. 【详解】如图，结合表中数据绘出函数图像：    结合函数图像选择一次函数建立函数模型， 设函数解析式为， 取点、代入函数解析式中， 得，解得，， 故函数解析式为，经检验满足题意. 五、随堂检测 1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论不正确的是（    ）    A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合图象，以及一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误， 由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确， 当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确， 当30≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3）， 则，故y与x的关系式为，故D正确． 故选：A 3.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（    ） 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断不同用水单价计算不同用水量用完水的缴费情况，然后看其本月交纳的水费在那个范围，就可以确定其本月用水量的范围，再根据价格计算用水量即可. 【详解】先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为. 故选：B 4.我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，函数有最大值，所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量小于， 当当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于， 故答案为： 5.要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 【答案】， 【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长，从而便可得到总造价与的解析式. 【详解】根据条件，该蓄水池的总造价元，池底一边的长度米，底面另一边长为米, ∴长方体的底面积为16，侧面积为，由题意得： ，, 故答案为：，. 6.喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 【答案】最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 【详解】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为， 油耗为， 则总费用， ， 由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增， 因为，所以当时，取到最小值， 最小值为. 最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 7.下表为某市居民用水阶梯水价表：（单位：元/立方米） 阶梯 户年用水量 （立方米） 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0~180（含） 5.00 2.0 1.5 1.4 第二阶梯 180~260（含） 7.00 4.2 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费为（元）与用水量为（立方米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 【答案】(1) (2)水资源费为元，污水处理费为元 【分析】（1）根据水价表可写出函数解析式即可； （2）由所交水费计算出用水量，再计算水资源费和污水处理费即可. 【详解】（1）依题意，当时，； 当时，； 当时，； 所以，用户所交水费为（元）与用水量为（立方米）的函数关系式是： （2）当时，则，不符合题意； 当时，则，符合题意； 当时，则，不符合题意； 所以 所以，水资源费为：（元）， 污水处理费为（元）， 答：该居民所交水资源费为元，污水处理费为元. 8. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)． （1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数； （2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 【答案】（1）f(x)＝；（2）475件． 【分析】（1）根据年需求量为500件，由0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件和固定成本0.5万元，每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解. （2）根据（1）的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集. 【详解】（1）当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件． 所以, 即f(x)＝. （2）当0<x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5， 所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值， f(x)max＝10.781 25(万元)． 当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)． 故当年产量为475件时，当年所得利润最大． 【点睛】方法点睛：（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本题．（2）求函数最值常利用基本函数法，基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的值域时，应先求每一段上的值域，然后取并集． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$