08概率专题讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2023-2024学年度第二学期高一期末专题复习 ---08概率专题 1、 考点分析 1. 事件的关系和运算 2. 古典概型 3. 概率的基本性质 4. 相互独立事件 2、 典例剖析 （一）事件的关系和运算 【例1】从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少1个白球，都是红球 B．至少个白球，至少个红球 C．至少1个白球，至多个白球 D．恰好个白球，恰好个红球 【跟踪训练1-1】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（    ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 【跟踪训练1-2】给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 【跟踪训练1-3】假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 （2） 古典概型 1.古典概型的基本计算 【例2】欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作．若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2-1】一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ． 【跟踪训练2-2】从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 ． 【跟踪训练2-3】一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【跟踪训练2-4】《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载．已知圆周率小数点后24位数字分别为141592653589793238462643，若从前12个数字和后12个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字奇偶不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2-5】保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是 . 2.根据古典概型求参数 【例3】袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球个.从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是. （1）求的值； （2）记从袋中随机取出一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分.现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率. 【跟踪训练3-1】从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【跟踪训练3-2】袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 3有放回和无放回问题 【例4】一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)． (1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率； (2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率． 【跟踪训练4-1】杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4-2】一个袋子中有标号分别为1，2，3，4，5的5个小球，除标号外没有其他差异． (1)从袋中不放回依次摸出2个球．若摸出的两个球标号和为质数，则甲胜，反之，则乙胜；你认为该游戏是否公平？说明你的理由． (2)甲、乙两人轮流摸球，每次有放回地摸取一球，每人至多摸两次，由甲先开始．甲、乙约定：先摸出标号1者获胜，随后游戏终止．求甲获胜的概率． 4.与统计综合 【例5】高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求、的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； (3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【跟踪训练5-1】某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 (1)试估计这1000名用户评分的平均分； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率. 【跟踪训练5-2】国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人. (1)再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率； (2)若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差. 【跟踪训练5-3】某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5． (1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x； (2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数； (3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？ （3） 概率的基本性质—互斥事件、对立事件概率的计算 【例6】已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练6-1】甲､乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 . 【跟踪训练6-2】口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 【跟踪训练6-3】在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 【跟踪训练6-4】将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用表示第一次抛掷出现的点数，用表示第二次抛掷出的点数，用表示这个试验的一个样本点． (1)记“两次点数之和大于9”，“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由． 【跟踪训练6-5】某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. （4） 相互独立事件 【例7】某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13 s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)三人中恰有两人合格的概率． 【跟踪训练7-1】2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练7-2】学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练7-3】甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（   ） A．14 B． C． D． 【跟踪训练7-4】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练7-5】为普及安全知识，某单位举办了一场安全知识竞赛，经过初赛、复赛，有甲、乙两个代表队（每队三人）进入决赛，决赛规则如下：共进行三轮比赛，每轮比赛中每人各答一题，每答对一题得 10 分，答错不得分. 假设甲队每人答题正确的概率均为，乙队三人答题正确的概率分别. (1)若决赛中三轮总得分大于70分就能获得特别奖，求乙队获得特别奖的概率; (2)因两队在决赛中得分相同，现进行附加赛. 规则如下：甲，乙两队抽签决定谁先答题，每队每人各答题一次为一轮，有两人及以上答对就算成功答题，并继续下一轮答题，否则换另一队答题，连续两轮成功答题的队伍获胜，比赛结束. 求附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率. 【例8】每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 【跟踪训练8】某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 3、 素养提升 1.概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（   ） A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚 2. 已知，，，四名选手参加某项比赛，其中、为种子选手，、为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为.比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ 3.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立. (1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； (2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由. 4.诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 第二个周期 (1)计算表中八周水站诚信度的平均数； (2)从表中诚信度超过的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率； (3)学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2： 第一周 第二周 第三周 第四周 第三个周期 请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由． 5. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高一期末专题复习 ---08概率专题 1、 考点分析 1. 事件的关系和运算 2. 古典概型 3. 概率的基本性质 4. 相互独立事件 2、 典例剖析 （一）事件的关系和运算 【例1】从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少1个白球，都是红球 B．至少个白球，至少个红球 C．至少1个白球，至多个白球 D．恰好个白球，恰好个红球 【答案】D 【分析】根据题意，结合互斥事件和对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球， 对于A中，至少1个白球，都是红球是对立事件，所以A错误； 对于B中，至少个白球，至少个红球能同时发生，不是互斥事件，所以B错误； 对于C中，至少1个白球，至多个白球能同时发生，不是互斥事件，所以C错误； 对于D中，恰好个白球，恰好个红球不能同时发生，是互斥事件， 且这两个事件可能都不发生，故不是对立事件，所以D正确. 故选：D. 【跟踪训练1-1】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（    ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 【答案】B 【分析】AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事件不是同一事件，C错误. 【详解】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误； B选项，，故B正确； C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误． 故选：B． 【跟踪训练1-2】给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 【答案】C 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，根据得到C正确；D选项，根据概率的性质得到. 【详解】对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有， 当A，B不互斥时，，A选项错误； 对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误； 对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确； 对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误； 故选：C. 【跟踪训练1-3】假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 【答案】D 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；利用古典概型求概率方法判断C、D即可. 【详解】对于A，事件“该家庭个小孩中至少有个女孩” 和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件“该家庭3个孩子都是男孩” 和事件“该家庭个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生， 是互斥但不对立事件，故B错误； 对于C，有个小孩的家庭包含的样本点有个，分别为： （男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）， （男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）， 该家庭3个小孩中只有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中只有个男孩的概率为，故C错误； 对于D，该家庭个小孩中至少有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中至少有个男孩的概率为，故D正确． 故选：D． （2） 古典概型 1.古典概型的基本计算 【例2】欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作．若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举法求解即可. 【详解】记4部书籍分别为， 则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为共有6个， 抽到《光学》的基本事件为共有3个. 所以抽到《光学》的概率为：. 故选：B 【跟踪训练2-1】一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ． 【答案】/0.6 【分析】利用古典概型，结合列举法即可. 【详解】根据题意，设2个白球的编号为，1个红球的编号为c，3个黄球编号为， 从中1次随机摸出2个球，共有： ，共15种基本事件， 其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种， 故所求概率．     故恰有一球是黄球的概率为：． 故答案为：． 【跟踪训练2-2】从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 ． 【答案】/ 【分析】利用列举法求解，先列出从5个数任取2个数的所有情况，再列出这2个数之积大于5的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从这5个数中任取2个数的所有情况有： ，10种情况， 其中两个数的之积大于5 的有，6种情况， 所以所求概率为， 故答案为： 【跟踪训练2-3】一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 【跟踪训练2-4】《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载．已知圆周率小数点后24位数字分别为141592653589793238462643，若从前12个数字和后12个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字奇偶不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由前12个数字和后12个数字中奇数和偶数的个数，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】前12个数字中8个奇数，4个偶数； 后12个数字中5个奇数，7个偶数， 从前12个数字和后12个数字中各随机抽取一个数字，有种取法， 这两个数字奇偶不同有种取法， 所以所求概率为. 故选：B 【跟踪训练2-5】保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是 . 【答案】#0.4 【分析】根据给定条件，利用列举法计算古典概率，再用互斥事件的概率公式计算作答. 【详解】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有： ，共5个，它们等可能， 最多输入2次就能开锁的事件， 输入1次能开锁为事件， 第2次输入才能开锁为事件， 事件是事件和事件的和，且它们互斥， ，， 则， 最多输入2次就能开锁的概率是. 故答案为：. 2.根据古典概型求参数 【例3】袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球个.从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是. （1）求的值； （2）记从袋中随机取出一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分.现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意可得出方程，可求得. （2）设红球为a，黑球为b，白球为C1， C2 ，列出所有的从袋子中取出2个小球的基本等可能事件，再找出得2分的基本事件，根据古典概率公式可求得总得分为2分的概率. 【详解】解：（1）由题意可得，解得. （2）设红球为a.黑球为b，白球为C1， C2 ，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为： (a，b)、(a，C1)、 (a，C2)、 (b，C1)、 (b，C2)、 (C1，C2)共有6个， 其中得2分的基本事件有(a，C1)、 (a，C2)，所以，总得分为2分的概率为. 【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题. 【跟踪训练3-1】从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【详解】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且 则 设事件A：取出的两个不同的数的和为5 则，则 ， ∴ 故选：D 【跟踪训练3-2】袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型公式求解即可； （2）将所有基本事件列出，再分析满足各条件的事件个数，进而根据古典概型公式求解即可. 【详解】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，每个结果可能性相同， 其中事件发生有种结果，所以，解得． （2）由（1）可知连续取球两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑），（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数为16． 设事件：连续取两次分数之和为3分， 设事件：连续取两次分数之和为4分， 设事件：连续取两次分数之和大于2分，则，且事件与事件互斥， 因为事件所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以， 因为事件所包含的基本事件有：（红，红），所以， 故． 即两次取球所得分数之和大于2分的概率为． 3有放回和无放回问题 【例4】一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)． (1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率； (2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意写出从箱子中随机抽取两球的样本空间，从而得到答案； （2）分别计算“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”和“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”的概率，利用互斥事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）把4个红球标记为,，,2个蓝球标记为, 从箱子中随机抽取两球的样本空间为: ，共有15个样本点， 设事件“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”， 则事件，包含7个样本点， ∴． （2）设事件 “从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”， 事件 “从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”， 事件 “从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”， 则，且与互斥． 所以，， 则． 【跟踪训练4-1】杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，用列举法即可求解. 【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，代表依次摸出的卡片，， 则基本事件分别为：， 其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：， 所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是. 故选：D. 【跟踪训练4-2】一个袋子中有标号分别为1，2，3，4，5的5个小球，除标号外没有其他差异． (1)从袋中不放回依次摸出2个球．若摸出的两个球标号和为质数，则甲胜，反之，则乙胜；你认为该游戏是否公平？说明你的理由． (2)甲、乙两人轮流摸球，每次有放回地摸取一球，每人至多摸两次，由甲先开始．甲、乙约定：先摸出标号1者获胜，随后游戏终止．求甲获胜的概率． 【答案】(1)公平，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用古典概型公式求出甲胜的概率，即可判断； （2）依题意可得①甲第一次就摸到1号球，②甲第一次未摸到1号球，乙第一次未摸到1号球，甲第二次摸到1号球，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）游戏公平，理由如下． 摸出的两个球标号和为质数的组合有，，，，共种， 即两个球标号和为质数的事件数为， 试验总的事件数为， 所以甲胜的概率为，所以游戏公平； （2）甲获胜的事件有：①甲第一次就摸到1号球， ②甲第一次未摸到1号球，乙第一次未摸到1号球，甲第二次摸到1号球， 所以甲获胜的概率为． 4.与统计综合 【例5】高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求、的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； (3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】(1) (2)平均数为，中位数为 (3) 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b； （2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解； （3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可. 【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为， 即，解得； （2）由（1）知，平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75， 所以中位数位于组内，且，即中位数为69.4； （3）第四、五两组志愿者分别有20人、5人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为， 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 【跟踪训练5-1】某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 (1)试估计这1000名用户评分的平均分； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率. 【答案】(1)76.2分 (2) 【分析】（1）先由概率之和等于1，得出a=0.006，再由频率分布直方图中求平均数的公式得出平均数. （2）先由分层抽样得出中抽2人，抽3人，再由古典概型即可得出要求的概率. 【详解】（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006， 则平均评分分数为=（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10=76.2，所以估计这1000名用户评分的平均分为76.2分. （2）由频率分布直方图可知，评分在[40，50），[50，60）内的人数分别为40，60. 若采用分层随机抽样的方法从评分在[40，50），[50，60）内的用户中抽取5人，则 [40，50）中选：（人），分别记作A，B； [50，60）中选：（人），分别记作a，b，c. 从这5人中任选2人的所有情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种情况. 其中至少有1人的评分在[40，50）内的情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），共7种情况. 故所求概率 【跟踪训练5-2】国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人. (1)再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率； (2)若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差. 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出a,然后计算出第二组和第五组中的人数，最后穷举出个数，利用概率公式计算. （2）由平均数、方差的计算公式计算出第2组和第3组所有人的年龄的方差. 【详解】（1）由题意得，第2组和第5组的频率分别为，故第2组和第5组所抽取的人数之和为， 且第2组和第5组抽取人数之比为， 即第2组3人，记为，，， 第5组2人，记为甲，乙， 对应的样本空间为：，甲，乙， 甲，乙，甲乙，甲，乙， 甲乙，甲乙，共10个样本点， 设事件为“至2人被选上”， 则有，甲，乙， 甲，乙，甲，乙，共有7个样本点， ； （2）设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为， 设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为， 第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， 即第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为37，． 即第2组和第3组所有宣传使者的年龄方差为27． 【跟踪训练5-3】某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5． (1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x； (2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数； (3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由成绩在区间的频率为，求得样本容量，频率分布直方图中频率和为1求得； （2）根据频率分布直方图估计平均数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【详解】（1）成绩在区间的频率为，， 由频率分布直方图可得第4组的频率为 ，故. （2）先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为 （分）， 估计全年级学生竞赛成绩的平均数为； （3）得分成绩在有（人）， 这组的3名学生分别为， ， ， 得分在区间[90，100]有（人）， 这组的2名学生分别为，， 随机抽取两人，所以可能的结果为 共10种， 所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为 共7种， 故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是. （3） 概率的基本性质—互斥事件、对立事件概率的计算 【例6】已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的概率公式求出、. 【详解】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B 【跟踪训练6-1】甲､乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 . 【答案】/0.25 【分析】利用对立事件概率求解. 【详解】设事件表示“乙获胜”，则， 则. 故答案为：. 【跟踪训练6-2】口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 【答案】A 【分析】利用互斥事件和并事件概率公式，就可以得到方程组来求解各互斥事件概率，即可得到结果. 【详解】设摸出红球的概率为P(A)，摸出黄球的概率为P(B)，摸出白球的概率为P(C)， 所以P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9， 且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1， 所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6， P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1， 所以P(B)＋P(C)＝0.7. 故选：A. 【跟踪训练6-3】在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 【答案】(1)0.84 (2)0.93 【分析】（1）小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可. （2）方法一：小明数学考试及格可以看作互斥事件“[60,69]”“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可. 方法二：小明数学考试及格可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件．结合对立事件概率公式求解即可. 【详解】（1）分别记小明的成绩“不低于90分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥． 则小明的成绩不低于70分的概率是. （2）解法一：小明数学考试及格的概率是. 解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是. 【跟踪训练6-4】将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用表示第一次抛掷出现的点数，用表示第二次抛掷出的点数，用表示这个试验的一个样本点． (1)记“两次点数之和大于9”，“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)这种游戏规则不公平，理由见解析 【分析】（1）根据题意，得到抛掷一枚质地均匀的正方体骰子共有36个样本点，利用列举法得出所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）利用古典摡型的概率计算公式和概率的加法公式求得甲胜的概率，比较即可得到结论. 【详解】（1）解：依题意，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，共有36个样本点， 其中事件，即事件包含6个样本点， 所以事件的概率为． 又由事件， 即事件中包含11个样本点，所以事件的概率为． （2）解：设事件“为偶数”，事件， 事件， 可得， 因为事件与事件互斥，且， 所以． 因此甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 所以，故这种游戏规则不公平． 【跟踪训练6-5】某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解； （3）根据题意，结合对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 所以. （2）解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D， 则. （3）解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E， 则. （4） 相互独立事件 【例7】某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13 s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)三人中恰有两人合格的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，且事件A，B，C相互独立，设恰有k人合格的概率为，则三人都合格的概率为求解； （2）三人都不合格的概率，由求解； （3）三人中恰有两人合格的概率，由求解. 【详解】（1）解：设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立， 且，设恰有k人合格的概率为． 则三人都合格的概率：； （2）三人都不合格的概率：； （3）三人中恰有两人合格的概率： ， . 【跟踪训练7-1】2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案. 【详解】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件， 显然为相互独立事件， 则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件， 所求概率． 故选：A． 【跟踪训练7-2】学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件概率的乘法公式及互斥事件和的概率公式求解. 【详解】记事件表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进，事件表示“甲共投篮三次就结束考试”. 则， 故选：B 【跟踪训练7-3】甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（   ） A．14 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，， 则不获一等奖的概率分别是，，， 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： ， 这三人都获得一等奖的概率为， 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率. 故选：D. 【跟踪训练7-4】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解. 【跟踪训练7-5】为普及安全知识，某单位举办了一场安全知识竞赛，经过初赛、复赛，有甲、乙两个代表队（每队三人）进入决赛，决赛规则如下：共进行三轮比赛，每轮比赛中每人各答一题，每答对一题得 10 分，答错不得分. 假设甲队每人答题正确的概率均为，乙队三人答题正确的概率分别. (1)若决赛中三轮总得分大于70分就能获得特别奖，求乙队获得特别奖的概率; (2)因两队在决赛中得分相同，现进行附加赛. 规则如下：甲，乙两队抽签决定谁先答题，每队每人各答题一次为一轮，有两人及以上答对就算成功答题，并继续下一轮答题，否则换另一队答题，连续两轮成功答题的队伍获胜，比赛结束. 求附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由独立乘法、互斥加法公式先求出、，进一步即可求解； （2）分别求出甲、乙两队成功答题的概率，分甲先答第一轮、乙先答第一轮两种情形讨论即可求解. 【详解】（1）设乙队每轮得分为， ， ， 三轮积分超过70分， . （2）其中甲队成功答题的概率为， 其中乙队成功答题的概率为， 若甲先答第一轮： 甲（胜）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜）   ， 甲（负）乙（胜）乙（负）甲（胜）甲（胜） ， 若乙先答第一轮： 乙 （负）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜） ，， 甲队恰好在第5轮结束获胜的概率为. 【例8】每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率和为求解出的值，根据频率分布直方图中的数据可求睡眠时间不小于9小时的频率； （2）先根据频率分布直方图先求各睡眠时间段的频率并以此作为概率，然后根据对立事件的概率求解出结果. 【详解】（1）因为， 所以； 该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的频率为： . （2）由题知，该校高一学生该天睡眠时间为小时的频率分别为： ，，，，， 用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为小时的概率分别为，，，，， 记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于9小时为事件， 则. 【跟踪训练8】某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 【答案】(1)0.012，68.4 (2)①10人，②0.784 【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值，再利用各区间的中间值估计区间的平均数，估计样本的平均数. （2）根据分层抽样的计算方法求B等级中抽取的人数；根据独立事件和对立事件的概率公式进行计算. 【详解】（1）由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1， ∴0.012 易知，，，，，相应的频率分别为 0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04 ， ∴100名同学的平均成绩估计值为： 0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4. （2）①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人， B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人， C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人， ∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人. ②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 ， 抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216， 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784. 3、 素养提升 1.概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（   ） A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚 【答案】B 【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案. 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为， 若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负， ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 则甲胜出的概率为，则甲应该分得赌金的， 所以枚，乙分得赌金枚. 故选：B. 2. 已知，，，四名选手参加某项比赛，其中、为种子选手，、为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为.比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ 【答案】(1)个 (2) 【分析】（1）由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为，即可得出答案； （2）设事件“选手与选手相遇”，分为对战情况分别为，，求出其概率，相加即可得出答案. 【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，故总方案数3； （2）设事件“选手与选手相遇”， 当对战为时，两选手相遇的概率为1； 当对战为时，两选手相遇的概率为； 当对战为时，两选手相遇的概率为； 抽到三种对战的概率均为，则. 综上可知选手与选手相遇的概率为. 3.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立. (1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； (2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由. 【答案】(1)选择回答B类取得复赛资格的概率为，选择回答C类问题取得复赛资格的概率为 (2)按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大，理由见解析 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式分类讨论计算即可； （2）根据甲回答A，B两类问题正确的概率相同，从，，这三种回答顺序考虑，根据独立事件的概率公式计算比较大小即可. 【详解】（1）甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为， 甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为， ∴所求概率为. （2）由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑，，这三种回答顺序， 按顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按顺序回答，取得复赛资格的概率为， ∵， ∴按或顺序回答问题取得复资资格的概率最大. 4. 诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 第二个周期 (1)计算表中八周水站诚信度的平均数； (2)从表中诚信度超过的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率； (3)学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2： 第一周 第二周 第三周 第四周 第三个周期 请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有效，理由见解析 【分析】（1）利用平均数公式求出表中八周“水站诚信度”的平均数； （2）利用列举法列出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可； （3）结合表中的数据从平均数等方面的结果判断即可. 【详解】（1）由， 所以八周诚信水站诚信度的平均数为. （2）表1中超过的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为、、， 第二个周期有2个，分别记为、， 从这5个数据中任取2个共有10种情况： ，，，，，，，，，． 其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况． 设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A． 则． （3）有效，阐述理由含如下之一， 理由陈述的可能情况： ①第三个周期水站诚信度的平均数高于第二个周期的诚信度平均数； ②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势； ③第三个周期水站诚信度的平均数高于第一、二个周期的诚信度平均数； ④12周的整体诚信度平均数为，高于前两个周期的诚信度的平均数 5. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为 . 【答案】/0.7 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为8； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为3； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为偶数的方法总数为：，共种， 故运算次数均为偶数的的概率为， 故所求概率． 故答案为：． ； 学科网（北京）股份有限公司 $$