精品解析：2024年南京大学强基计划测试数学笔试试题

2024年南京大学强基计划数学笔试试题 考试时间：6月16日14:00-15:30 数学共12道题，满分100分． 1. 已知的三条边长，复数，满足，，，则为________数. 【答案】虚 【解析】 【分析】利用，化简转化为实系数一元二次方程，根据根的判别式得到为虚数. 【详解】 ， 故， 方程两边同乘以得，， 这是一个关于的实系数一元二次方程， 又三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 且 ， 故为虚数（当且仅当，即为直角三角形时，为纯虚数） 故答案为：虚 【点睛】关键点点睛，将两边平方，转化为实系数一元二次方程，结合根的判别式进行求解 2. 双曲线，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意表示出，再由化简可求出离心率. 【详解】， 当时，，， 则，所以， 所以， 因为为正方形，所以， 所以，化简得 所以， 所以，解得， 因为，所以 故答案为： 3. 已知函数，对于，恒成立，求的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 4. 过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出点处切线的斜率，即可得到切线方程，从而求出点坐标，再求出焦点坐标，即可得到四边形的面积. 【详解】当时，，则，则， 所以切线方程为，即， 令，解得，所以，又抛物线的焦点， 所以. 故答案为： 5. 四面体棱长为4，7，20，22，28，t，，求t的最小值是________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据四面体的特征结合三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小第三边分析判断即可. 【详解】由，得长为4和28的棱不能为四面体的同一个表面三角形的边， 则长为4和28棱必为四面体的相对棱，又，则四面体与长为7的棱相对的棱长为20或22，根据三角形两边之和大于第三边，符合条件的四面体如图所示： 因此，而，所以t的最小值是9. 故答案为：9 【点睛】关键点点睛：此题考查四面体的特征，解题的关键利用三角形边之间的关系结合四面体的特征分析求解，考查空间想象能力，属于较难题. 6. 存在集合的一族子集两两交集非空，那么这族子集最多有________个. 【答案】## 【解析】 【分析】设是含有个元素的子集且对应有个，且，即可得结果. 【详解】显然，这族子集不含有空集，按所含元素的多少可把这族子集分为10类， 不妨设是含有个元素的子集，对应有个， 显然，一元子集至多只有一个，若不止一个，则它们的交集都是空集，不合题意， 所以，故最多有个. 故答案为： 7. 已知，，判断是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值. 【答案】无最大值，最小值为4 【解析】 【分析】直接将目标展开，消掉即得最小值和取等条件，关于的函数永远有根，则关于的一元二次方程单增，故没有最大值. 【详解】，， =，当且仅当“”时取等； ，即，此时，即为任意正值，都有解，即都有这样的. 看成关于二次单增函数，所以无最大值. 所以无最大值，最小值为4. 8. 满足的非零有理系数多项式的最低次数为________. 【答案】 【解析】 【分析】先对进行变形，构造出满足条件，然后证明如果非零有理系数多项式满足，则一定拥有个不同的零点，从而说明的次数至少为，即可得到答案. 【详解】设. 一方面，有. 所以，故. 从而，故有. 即. 移项，合并同类项，得. 这表明非零有理系数多项式满足条件； 另一方面，若非零有理系数多项式满足，即是的一个零点. 不妨设是非零整系数多项式，否则将乘以其系数的公分母，再替换即可. 设，则据假设有 . 再设，则. 设多项式展开后. 根据的结构可以看出，每个都可以表示为的有理系数多项式形式. 从而每个都能表示为. 由于，故. 由于一定是整数或整数的倍，结合的形式，知一定存在，使得 . 从而，即. 比对每个根式的系数，即得. 所以亦有，故，即. 所以，这说明也是零点. 采用相同的方法，可以证明，，，，，，，均为的零点. 所以非零多项式至少有个零点，从而的次数至少为. 综合以上两方面，可知的最低次数为. 故答案为：. 9. 已知，的最大项是________. 【答案】 【解析】 分析】写出二项展开式通项，假设第项最大，建立不等式求解即可. 【详解】二项式展开式通项为：， 设第项最大，则， 解得，所以，有最大项是. 故答案为： 10. 已知，，x为的个位数，求________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用列举法求出的所有可能取值，并求出对应概率，再根据期望公式即可得解. 【详解】当时，，个位数为，有个， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 综上所述，可取， 且， 所以. 故答案为：. 11. 已知，若，满足的最小k为________. 【答案】6073 【解析】 【分析】根据递推公式，逐步计算各项分析即可. 【详解】由题意，为奇数， 为偶数， 为偶数，为奇数， … 故，…. 则，即，，，. 故满足的最小k为6073. 故答案为：6073 12. 集合为120的整数倍，求S的元素个数为________. 【答案】20 【解析】 【分析】分析可知均为偶数，且中必有一个为10的倍数，再结合带余除法分析即可. 【详解】因为，可知的奇偶性相同， 若为120的倍数，则均为偶数， 且，可知中必有一个为10的倍数， 且，可知必有一个为4的倍数， 即必为8的倍数， 结合带余除法可知：从10开始10的倍数除以3的余数依次为， 若10的倍数除以3的余数为1，则其加2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时的值是唯一的； 若10的倍数除以3的余数为2，则其减2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时的值是唯一的； 若10的倍数除以3的余数为0（即为30的倍数），符合题意， 可知，均可为10的倍数，此时的值是有2个； 且，即， 在到151中，可知10的倍数有16个，30的倍数有6个，考虑到0，150的唯一性， 所以S的元素个数为. 故答案为：20. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年南京大学强基计划数学笔试试题 考试时间：6月16日14:00-15:30 数学共12道题，满分100分． 1. 已知三条边长，复数，满足，，，则为________数. 2. 双曲线，过左、右焦点作平行于y轴直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为________. 3. 已知函数，对于，恒成立，求的最大值是________. 4. 过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为________. 5. 四面体棱长为4，7，20，22，28，t，，求t最小值是________. 6. 存在集合一族子集两两交集非空，那么这族子集最多有________个. 7. 已知，，判断是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值. 8. 满足的非零有理系数多项式的最低次数为________. 9. 已知，的最大项是________. 10. 已知，，x为的个位数，求________. 11. 已知，若，满足的最小k为________. 12. 集合为120整数倍，求S的元素个数为________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $