第06讲 反比例函数(5个知识点+11个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第06讲 反比例函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解反比例关系，能判断两个变量是否成反比例关系； 2.理解反比例函数，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3.会用描点法画反比例函数的图像，知道反比例函数的图像是双曲线，掌握反比例函数的性质； 4.能根据反比例函数的性质,确定反比例函数中参数的范围； 5.能运用正比例函数、反比例函数的知识以及待定系数法，确定一个涉及正比例关系和反比例关系的解析式. 知识点一 反比例函数的概念 1.成反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例. 2.正比例函数基本概念 (1)概念：形如的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数. (2)定义域：不等于零的一切实数. (3)值域：不等于零的一切实数 温馨提示： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 例1．下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项符合题意；B、是反比例函数，故本选项不符合题意； C、是反比例函数，故本选项不符合题意；D、是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，形如为常数，的函数，叫反比例函数． 【变式1-1】已知一个反比例函数为，求的值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比例函数的图象 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 例2. 已知，在中，边的长为，边上的高为，的面积为3．小华准备画出此函数图像，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 6 3 2 … (1)根据小华的列表直接写出y关于x的函数关系式______，x的取值范围是______． (2)请你在如图所示的坐标系中帮助他描点并连线，画出此函数图象； (3)如果，是此函数图象上的两个点，且，判断与的大小． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）直接根据三角形的面积公式可求，利用实际问题有意义即可写出的取值范围； （2）描点，然后用平滑的曲线连接即可； （3）利用反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，关于的函数关系式为， 中，边的长为，的取值范围是． 故答案为：， （2）描点，画出函数的图象，如图所示： （3）反比例函数中，， 当时，随的增大而减小， ，，，是函数图象上的两个点，当时，则． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式2-1】（6．（2023秋•亳州期末）已知关于的二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一次函数与反比例函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 知识点三 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 例3. （2023秋•利辛县期末）反比例函数图象的每条曲线上都随增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对于函数来说，当时，每一条曲线上，随的增大而增大；当时，每一条曲线上，随的增大而减小． 【解答】解：反比例函数的图象上的每一条曲线上，随的增大而增大， ，．故选：． 【点评】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中的意义不理解，直接认为，造成错误． 【变式3-1】（2023秋•蒙城县校级期末）若反比例函数的图象，在每个象限内，都随的增大而增大，则的值可以是　　 A． B． C．0 D．2 知识点四 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 例4. 如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可． 【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1， ∴S△POB＝2﹣1＝1. 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 【变式4-1】（2023春•金安区校级期中）如图，平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一个定点，点是函数上一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会　　 A．逐渐增大 B．先减后增 C．逐渐减小 D．先增后减 知识点五 反比例函数解析式的确定 1.方法 待定系数法. 2.确定反比例函数解析式的一般步骤 （1）设:设反比例函数解析式为. （2）代:将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程. （3）解:解关于的方程得到的值. （4）写:写出反比例函数解析式. 例5. 如图，已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．若直线 y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，－2）． （1）求反比例函数与直线y=ax+b的解析式； （2）连接OC，求△AOC的面积； （3）根据所给条件，直接写出不等式的解集 【答案】（1）,；（2） S△AOC=3 ；（3）x≤-1 或0＜x≤2. 【详解】分析：（1）根据点A的横坐标与△AOB的面积求出AB的长度，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点C的坐标，根据点A与点C的坐标利用待定系数法即可求出直线y=ax+b的解析式； （2）先求出直线AC与x轴交点坐标，即点M的坐标，再根据S△AOC＝S△AOM+S△MOC计算得到. (3)根据图象直接得出x的取值范围. 详解： （1）∵点A（﹣1，m）在第二象限内， ∴AB=m，OB=1， ∴S△ABO=AB•BO=2， 即：×m×1=2， 解得m=4， ∴A （﹣1，4）， ∵点A （﹣1，4），在反比例函数y=的图象上， ∴4=， 解得k=﹣4， ∴反比例函数为y=﹣， 又∵反比例函数y=﹣的图象经过C（n，﹣2） ∴﹣2=， 解得n=2， ∴C （2，﹣2）， ∵直线y=ax+b过点A （﹣1，4），C （2，﹣2） ∴， 解方程组得 ， ∴直线y=ax+b的解析式为y=﹣2x+2； （2）y=﹣2x+2与x轴的交点M的坐标为：当y=0时，x=1, 所以点M（1，0）， S△AOC＝S△AOM+S△MOC＝ （3）由图象可知，当x≤-1 或0＜x≤2时，ax+b， 故答案为x≤-1 或0＜x≤2． 点睛：考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要利用了反比例函数解析式系数的几何意义，反比例函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，以及三角形的面积的求解，根据系数的几何意义求出k值是解题的关键． 【变式5-1】（2023秋•滁州期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数解析式为　　 A． B． C． D． 考点一：反比例函数的定义 例1．（2023秋•蚌埠期中）下列函数中是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋•怀宁县期中）下列各式中，一定是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋•庐阳区校级期中）下列函数中，是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋•谢家集区期末）过的反比例函数是 　　． 【变式1-4】（2023秋•亳州期末）反比例函数中自变量的取值范围 　 　． 考点二：反比例函数的图象 例2. （2023秋•合肥期末）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是　　 A．5 B．12 C． D． 【变式2-1】（2023秋•青阳县期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋•蒙城县校级期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋•颍州区期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 考点三：反比例函数图象的对称性 例3. 如图所示，点是反比例函数图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式3-1】 已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则它的另一个交点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式3-2】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【变式3-3】 已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则　2　；　 　；它们的另一个交点坐标是　 　． 【变式3-4】 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于点、，已知的坐标为，则点的坐标为 　　． 考点四：反比例函数的性质 例4. （2023秋•太和县期末）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式4-1】 （2023秋•谢家集区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像大致可以是　　 A． B． C． D． 【变式4-2】 （2023秋•肥东县期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 考点五：反比例函数系数k的几何意义 例5. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为6，则的值为 　 　． 【变式5-1】（2023秋•界首市期中）如图，矩形的面积是4，点在反比例函数的图象上．则此反比例函数的解析式为　　 ． 【变式5-2】 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为　 　． 【变式5-3】 如图，是坐标原点，点在函数的图象上，轴于点，的面积为3，则的值为 　 　． 考点六 反比例函数图象上点的坐标特征 例6. （2023秋•安庆期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为　　 A．6 B．12 C．8 D．18 【变式6-1】（2023秋•怀宁县期末）已知点在反比例函数的图象上，其中，为常数，且，则点一定在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】 （2023秋•怀宁县期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是　　 A． B．6 C． D． 【变式6-3】 （2023秋•亳州期末）若反比例函数的图象经过点，则的值是　　 A．3 B． C． D．2 【变式6-4】（2023秋•宿松县期末）在反比例函数的图象的每一支曲线上，都随着的增大而减小，则的值可以是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 考点七：待定系数法求反比例函数解析式 例7. （2023秋•金安区期末）如果反比例函数的图象经过点，那么的值是　　 A． B． C． D．2 【变式7-1】（2023秋•金安区校级期末）如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图象上一动点，过点作轴交于点，交于点． （1）反比例函数的表达式为 　　． （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为 　　． 【变式7-2】（2023秋•庐江县期末）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　 　． 【变式7-3】（2023秋•舒城县期末）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，；求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 考点八： 反比例函数与一次函数的交点问题 例8. （2023秋•贵池区期末）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，则的值为　 　． 【变式8-1】（2023秋•颍州区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，对应的的取值范围． 【变式8-2】（2024春•金安区校级期中）如图，函数的图象与函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为． （1）求函数的表达式和点的坐标； （2）当时，直接写出自变量的取值范围． 【变式8-3】 （2023秋•怀宁县期末）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时的取值范围； （3）点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标． 【变式8-4】 （2023秋•包河区期末）如图，一次函数的图象交轴于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点坐标为． （1）确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集． 考点九： 根据实际问题列反比例函数关系式 例9. 俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数与每个月存款额元之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【变式9-1】 某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额（元与付款月数为正整数）之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【变式9-2】 近视眼镜的度数（度与镜片焦距成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【变式9-3】 把一个长、宽、高分别为，，的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积与高之间的函数关系式为 ． 【变式9-4】 若矩形的两邻边长度分别为，，面积保持不变，下表给出了与的一些值求矩形面积． （1）请你根据表格信息写出与之间的函数关系式； （2）根据函数关系式完成上表． 考点十： 反比例函数的应用 例10.（2023秋•庐阳区校级期中）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：的函数表达式为．当时，的值为 　　． 【变式10-1】（2023秋•宿松县期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数” 与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数” ，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． （1）求该二次函数的解析式和的值； （2）“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 【变式10-2】（2023秋•定远县期末）近视眼镜镜片的度数（度与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为． （1）求与的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 【变式10-3】（2023秋•肥西县期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【变式10-4】（2023秋•安庆期中）如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． （1）分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； （2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 考点十一： 反比例函数综合题 例11．（2023秋•萧县期中）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围； （3）设点是直线上一动点，且，求点的坐标． 【变式11-1】（2023秋•宿松县期中）如图，四边形是矩形，顶点，分别在轴和轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点． （1）直接写出点的坐标； （2）求反比例函数的表达式及点的坐标； （3）点是边上一点，若，试说明线段与线段的关系． 【变式11-2】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．反比例函数的图象交矩形的边、于、两点，连接，． （1）当点是的中点时，　 　，点的坐标为 　　； （2）设点的横坐标为． ①请用含的代数式表示点的坐标为 　　； ②求证：． 【变式11-3】 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时不等式的解集； （3）直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【例1】若是反比例函数，则的取值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．任意实数 易错攻克 （1） 在反比例函数k≠0是重要条件,本题易因忽略这一条件而致错, （2） 反比例函数表达式有三种形式:要注意区分不同不形式中自变量x的次数. 【例2】下列函数中，函数值随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 易错攻克 ①我们在说反比例函数的增减性的时候，一定要说明清楚在每一个象限内，而不能笼统说y随着增大而增大（减小），因为x的取值中x≠0. 1．（2024·安徽蚌埠·二模）若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）下列函数中y的值随x值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽六安·二模）如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（    ） A． B．18 C． D．6 5．（2024·安徽蚌埠·三模）如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．（2024·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，矩形的顶点D在上，顶点F在 y轴上．已知C是的中点，反比例函数 （）的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ． 8．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 9．（2021·江苏南京·一模）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为，则的值为 ． 10．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 反比例函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解反比例关系，能判断两个变量是否成反比例关系； 2.理解反比例函数，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3.会用描点法画反比例函数的图像，知道反比例函数的图像是双曲线，掌握反比例函数的性质； 4.能根据反比例函数的性质,确定反比例函数中参数的范围； 5.能运用正比例函数、反比例函数的知识以及待定系数法，确定一个涉及正比例关系和反比例关系的解析式. 知识点一 反比例函数的概念 1.成反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例. 2.正比例函数基本概念 (1)概念：形如的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数. (2)定义域：不等于零的一切实数. (3)值域：不等于零的一切实数 温馨提示： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 例1．下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项符合题意； B、是反比例函数，故本选项不符合题意； C、是反比例函数，故本选项不符合题意； D、是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，形如为常数，的函数，叫反比例函数． 【变式1-1】已知一个反比例函数为，求的值． 【答案】 【分析】由反比例函数为，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟记反比例函数的表示形式是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比例函数的图象 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 例2. 已知，在中，边的长为，边上的高为，的面积为3．小华准备画出此函数图像，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 6 3 2 … (1)根据小华的列表直接写出y关于x的函数关系式______，x的取值范围是______． (2)请你在如图所示的坐标系中帮助他描点并连线，画出此函数图象； (3)如果，是此函数图象上的两个点，且，判断与的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接根据三角形的面积公式可求，利用实际问题有意义即可写出的取值范围； （2）描点，然后用平滑的曲线连接即可； （3）利用反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， 关于的函数关系式为， 中，边的长为， 的取值范围是． 故答案为：， （2）描点，画出函数的图象，如图所示： （3）反比例函数中，， 当时，随的增大而减小， ，，，是函数图象上的两个点， 当时，则． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式2-1】（6．（2023秋•亳州期末）已知关于的二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一次函数与反比例函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由关于的二次函数的图象与轴有两个交点，确定、异号，然后根据一次函数和反比例函数的性质即可判断． 【解答】解：关于的二次函数的图象与轴有两个交点， ， ， 、异号， 当，则一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在一、三象限； 当，则一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在二、四象限； 故选项正确， 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，反比例函数、一次函数的图象和性质，根据二次函数的图象与轴有两个交点，得出、异号是解题的关键． 知识点三 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 例3. （2023秋•利辛县期末）反比例函数图象的每条曲线上都随增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对于函数来说，当时，每一条曲线上，随的增大而增大；当时，每一条曲线上，随的增大而减小． 【解答】解：反比例函数的图象上的每一条曲线上，随的增大而增大， ， ． 故选：． 【点评】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中的意义不理解，直接认为，造成错误． 【变式3-1】（2023秋•蒙城县校级期末）若反比例函数的图象，在每个象限内，都随的增大而增大，则的值可以是　　 A． B． C．0 D．2 【答案】 【分析】先根据反比例函数的增减性得出，进而可得出结论． 【解答】解：反比例函数的图象，在每个象限内都随的增大而增大， ， 解得， 可以等于． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质和图象，先根据题意求出的取值范围是解题的关键． 知识点四 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 例4. 如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可． 【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1， ∴S△POB＝2﹣1＝1. 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 【变式4-1】（2023春•金安区校级期中）如图，平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一个定点，点是函数上一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会　　 A．逐渐增大 B．先减后增 C．逐渐减小 D．先增后减 【答案】 【分析】由双曲线设出点的坐标，运用坐标表示出四边形的面积函数关系式即可判定． 【解答】解：设点的坐标为， 轴于点，点是轴正半轴上的一个定点， 四边形是个直角梯形， 四边形的面积， 是定值， 四边形的面积是个增函数，即点的横坐标逐渐增大时四边形的面积逐渐增大． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出四边形的面积的函数关系式． 知识点五 反比例函数解析式的确定 1.方法 待定系数法. 2.确定反比例函数解析式的一般步骤 （1）设:设反比例函数解析式为. （2）代:将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程. （3）解:解关于的方程得到的值. （4）写:写出反比例函数解析式. 例5. 如图，已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．若直线 y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，－2）． （1）求反比例函数与直线y=ax+b的解析式； （2）连接OC，求△AOC的面积； （3）根据所给条件，直接写出不等式的解集 【答案】（1）,；（2） S△AOC=3 ；（3）x≤-1 或0＜x≤2. 【详解】分析：（1）根据点A的横坐标与△AOB的面积求出AB的长度，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点C的坐标，根据点A与点C的坐标利用待定系数法即可求出直线y=ax+b的解析式； （2）先求出直线AC与x轴交点坐标，即点M的坐标，再根据S△AOC＝S△AOM+S△MOC计算得到. (3)根据图象直接得出x的取值范围. 详解： （1）∵点A（﹣1，m）在第二象限内， ∴AB=m，OB=1， ∴S△ABO=AB•BO=2， 即：×m×1=2， 解得m=4， ∴A （﹣1，4）， ∵点A （﹣1，4），在反比例函数y=的图象上， ∴4=， 解得k=﹣4， ∴反比例函数为y=﹣， 又∵反比例函数y=﹣的图象经过C（n，﹣2） ∴﹣2=， 解得n=2， ∴C （2，﹣2）， ∵直线y=ax+b过点A （﹣1，4），C （2，﹣2） ∴， 解方程组得 ， ∴直线y=ax+b的解析式为y=﹣2x+2； （2）y=﹣2x+2与x轴的交点M的坐标为：当y=0时，x=1, 所以点M（1，0）， S△AOC＝S△AOM+S△MOC＝ （3）由图象可知，当x≤-1 或0＜x≤2时，ax+b， 故答案为x≤-1 或0＜x≤2． 点睛：考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要利用了反比例函数解析式系数的几何意义，反比例函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，以及三角形的面积的求解，根据系数的几何意义求出k值是解题的关键． 【变式5-1】（2023秋•滁州期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案． 【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， 又， ， ， ， 点在反比例函数上， ， ， ， 经过点的反比例函数图象在第二象限， 故反比例函数解析式为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出是解题关键． 考点一：反比例函数的定义 例1．（2023秋•蚌埠期中）下列函数中是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数：解析式的一般形式，也可转化为的形式，可得答案． 【解答】解：、是正比例函数，故不合题意； 、是反比例函数，故符合题意； 、是一次函数，不是反比例函数，故不合题意； 、不是反比例函数，故不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件． 【变式1-1】（2023秋•怀宁县期中）下列各式中，一定是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的形式为：或，逐项判定即可． 【解答】解：、， 一定是的反比例函数，故此选项符合题意； 、， 是的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； 、， 当时，不是的反比例函数，故此选项不符合题意； 、， 是的二次函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，． 【变式1-2】（2023秋•庐阳区校级期中）下列函数中，是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可求解． 【解答】解：、是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； 、是二次函数，不是反比例函数，不符合题意； 、是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； 、是反比例函数，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般式是是解题的关键． 【变式1-3】（2023秋•谢家集区期末）过的反比例函数是 　　． 【答案】． 【分析】设反比例函数解析式为，然后把点代入求出值，即可得到解析式． 【解答】解：设这个反比例函数解析式为， 反比例函数图象过点， ， 解得：， 这个反比例函数的解析式是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握待定系数法是解题的关键． 【变式1-4】（2023秋•亳州期末）反比例函数中自变量的取值范围 　 　． 【答案】 【分析】根据分母不为0可得的取值范围． 【解答】解：自变量在分母上，分式的分母不为0， ． 故答案为：． 【点评】本题结合分式的意义考查反比例函数自变量的取值范围；用到的知识点为：分式的分母不为0． 考点二：反比例函数的图象 例2. （2023秋•合肥期末）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是　　 A．5 B．12 C． D． 【答案】 【分析】直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：，都不在反比例函数图象上， 则， 即， 故的值可能是． 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，正确得出的取值范围是解题关键． 【变式2-1】（2023秋•青阳县期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，由当时，，可知，然后利用排除法即可得出正确答案． 【解答】解：二次函数的图象开口向下， ， ， ， 抛物线与轴相交于正半轴， ， 直线经过一、二、四象限， 由图象可知，当时，， ， 反比例函数的图象必在二、四象限， 故、、错误，正确； 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 【变式2-2】（2023秋•蒙城县校级期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据抛物线过原点排除，再反比例函数图象确定的符号，再由、的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线的位置关系，进而得解． 【解答】解：当时，，即抛物线经过原点，故错误； 反比例函数的图象在第一、三象限， ，即、同号， 当时，抛物线的对称轴，对称轴在轴左边，故错误； 当时，，直线经过第二、三、四象限，故错误，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想． 【变式2-3】（2023秋•颍州区期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出、、的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【解答】解：一次函数图象过第一、二、四象限， ，， ， 二次函数开口向下，二次函数对称轴在轴右侧； 反比例函数的图象在第一、三象限， ， 与轴交点在轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出、、的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键． 考点三：反比例函数图象的对称性 例3. 如图所示，点是反比例函数图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出的值，从而得出反比例函数的解析式． 【解答】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积， 则圆的面积为． 因为在第一象限，则，， 根据勾股定理，． 于是，，（负值舍去），故． 点坐标为． 将代入， 得：． 反比例函数解析式为：． 故选：． 【点评】此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式． 【变式3-1】 已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则它的另一个交点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【解答】解：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 它的另一个交点的坐标是． 故选：． 【点评】此题考查了反比例函数图象的对称性，同学们要熟记才能灵活运用． 【变式3-2】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【答案】4 【分析】先利用反比例函数解析式确定点坐标为，由于正方形的中心在原点，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的． 【解答】解：把代入得，解得或， 点在第一象限， ， 点坐标为， 正方形的面积， 图中阴影部分的面积． 故答案为4． 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线；②一、三象限的角平分线；对称中心是：坐标原点． 【变式3-3】 已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则　2　；　 　；它们的另一个交点坐标是　 　． 【答案】 【分析】首先把已知点的坐标代入，即可求得，的值；再根据过原点的直线与双曲线的交点关于原点对称的性质，进行求解． 【解答】解：根据题意，得：，， 解得：，． 又由于另一个交点与点关于原点对称，则另一个交点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题利用了待定系数法确定出了，的值，还利用了过原点的直线与双曲线的交点关于原点对称的性质． 【变式3-4】 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于点、，已知的坐标为，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称，则点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握． 考点四：反比例函数的性质 例4. （2023秋•太和县期末）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数，时，图象分布在第一、三象限，列出不等式进行解答即可． 【解答】解：反比例函数的图象经过第一、三象限， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数，时，图象分布在第一、三象限是解答本题的关键． 【变式4-1】 （2023秋•谢家集区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像大致可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：若，， 则经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限， 若，， 则经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限， 若，， 则经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限， 若，， 则经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 【变式4-2】 （2023秋•肥东县期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的图象位于第一、三象限判断出的符号，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论． 【解答】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 抛物线开口向上， 二次函数的对称方程为直线， 抛物线的顶点在轴左侧， 选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质和图象，二次函数的性质和图象，熟知以上知识是解题的关键． 考点五：反比例函数系数k的几何意义 例5. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为6，则的值为 　 　． 【答案】． 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得：即可得出答案． 【解答】解：由反比例函数比例系数的几何意义得：， 的面积为6 ， 又反比例函数的图象在第二象限， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，正确理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键． 【变式5-1】（2023秋•界首市期中）如图，矩形的面积是4，点在反比例函数的图象上．则此反比例函数的解析式为　　 ． 【答案】 【分析】设，，则点坐标为，，将点坐标代入反比例函数关系式求即可． 【解答】解：设，，则点坐标为，， 将点代入中，得， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的系数的几何意义．过反比例函数图象上任意一点作轴，轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于． 【变式5-2】 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为　 　． 【答案】9 【分析】要求的面积，已知为高，只要求长，即点的坐标即可，由点为三角形斜边的中点，且点的坐标，可得点的坐标为，代入双曲线可得，又，所以点的横坐标为，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积． 【解答】解：点为斜边的中点，且点的坐标， 点的坐标为， 把代入双曲线， 可得， 即双曲线解析式为， ，且点的坐标， 点的横坐标为，代入解析式， ， 即点坐标为， ， 又， ． 故答案为：9． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想． 【变式5-3】 如图，是坐标原点，点在函数的图象上，轴于点，的面积为3，则的值为 　 　． 【答案】． 【分析】过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得的面积为矩形面积的一半，即． 【解答】解：由于点在反比例函数的图象上，轴于点， 则，； 又由于函数的图象在第二、四象限，故， 则． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 考点六 反比例函数图象上点的坐标特征 例6. （2023秋•安庆期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为　　 A．6 B．12 C．8 D．18 【答案】 【分析】过点作轴于，延长线段，交轴于，得到四边形是矩形，四边形是矩形，所以，，由，得到，由此得到，根据反比例函数系数的几何意义求出答案． 【解答】解：过点作轴于，延长线段，交轴于， 轴，轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ，同理， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作辅助线，构建矩形是解答本题的关键． 【变式6-1】（2023秋•怀宁县期末）已知点在反比例函数的图象上，其中，为常数，且，则点一定在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】先用代入法，把和的运算关系用式子表示出来；再根据有理数乘法的运算法则，确定的大小，最后根据点的坐标来求出答案． 【解答】解：将点代入反比例函数中， 则：， ， ， ， 点的纵坐标大于0， 又点的横坐标是， 点一定在第二象限， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定的大小来判断点的坐标位于第几象限． 【变式6-2】 （2023秋•怀宁县期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是　　 A． B．6 C． D． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形边角关系分别求出、长，最后得到点的坐标，根据反比例函数值的几何意义解出即可． 【解答】解：如图，作轴，垂足为点， ， ， 在中， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ，， ，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数值的几何意义，利用特殊直角三角形的边角关系求出线段长是解答本题的关键． 【变式6-3】 （2023秋•亳州期末）若反比例函数的图象经过点，则的值是　　 A．3 B． C． D．2 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值． 【解答】解：根据题意，得， 解得，． 故选：． 【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点． 【变式6-4】（2023秋•宿松县期末）在反比例函数的图象的每一支曲线上，都随着的增大而减小，则的值可以是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】利用反比例函数中时，随的增大而减小，于是可得不等式；对上述不等式求解得到的取值范围，进而确定的值． 【解答】解：反比例函数图象的每一条曲线上，随的增大而减小， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，当时，都随的增大而减小；当时，都随的增大而增大． 考点七：待定系数法求反比例函数解析式 例7. （2023秋•金安区期末）如果反比例函数的图象经过点，那么的值是　　 A． B． C． D．2 【答案】 【分析】把已知点的坐标代入可求出值，即得到反比例函数的解析式． 【解答】解：由题意得：的图象经过点，则， 解得：． 故选：． 【点评】用待定系数法确定反比例函数的比例系数，求出函数解析式． 【变式7-1】（2023秋•金安区校级期末）如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图象上一动点，过点作轴交于点，交于点． （1）反比例函数的表达式为 　　． （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为 　　． 【答案】（1）反比例函数解析式为：；（2）． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据条件可得直线解析式，联立方程组求出点坐标，再求出线段长，利用即可． 【解答】解：（1）点在反比例函数上， ， ， 反比例函数解析式为：； 故答案为：； （2）四边形为平行四边形， ， ，， ， 点，在直线上，设直线的解析式为，则， ，解得， 直线的解析式为：， 联立方程组，解得，， ， 直线的解析式为， 当时，， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 【变式7-2】（2023秋•庐江县期末）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　 　． 【答案】． 【分析】根据矩形的性质得到，根据正方形的性质得到，设，，得到，，设反比例函数的表达式为，列方程即可得到结论． 【解答】解：四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设，， ，， 设反比例函数的表达式为， ， 解得或（不合题意舍去）， ， ， 这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 【变式7-3】（2023秋•舒城县期末）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，；求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】， 【分析】根据题意分别设出，，代入，表示出与的解析式，将已知两对值代入求出与的值，确定出解析式． 【解答】解：根据题意设，，即， 将时，；当时，分别代入得：， 解得：，， 则，． 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 考点八： 反比例函数与一次函数的交点问题 例8. （2023秋•贵池区期末）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，则的值为　 　． 【答案】． 【分析】由点为反比例函数与一次函数的交点，可得出、，将其代入变形后的代数式中即可求出结论． 【解答】解：反比例函数与一次函数的图象交于点， ，， ，， ． 故答案为． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出、是解题的关键． 【变式8-1】（2023秋•颍州区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，对应的的取值范围． 【答案】（1），； （2）4； （3）或． 【分析】（1）反比例函数的图象过点得，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点得，则，根据直线过点，得，进行计算即可得； （2）令一次函数与轴交于点，与轴交于点，在中，令，则，令，即，令，则，计算得，即，根据进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得； 【解答】解：（1）反比例函数的图象过点， ， 反比例函数为， 反比例函数的图象过点， ， ， 直线过点，， ， 解得， 一次函数的解析式； （2）如图所示，令一次函数与轴交于点，与轴交于点， 在中，令，则，令，即， 令，则， ， 即， ； （3）根据函数图象得，当时，或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键． 【变式8-2】（2024春•金安区校级期中）如图，函数的图象与函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为． （1）求函数的表达式和点的坐标； （2）当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1）直线的解析式为：，．（2）． 【分析】（1）待定系数法求出直线解析式，联立方程组求出点坐标即可； （2）根据函数图象及交点坐标，直接写出自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1），在直线的图象上． ，解得， 直线的解析式为：， 点坐标为， ， 反比例函数解析式为：， 联立方程组得，解得和， ． （2）由两个函数图象及交点坐标可知，当时，自变量的取值范围为：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 【变式8-3】 （2023秋•怀宁县期末）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时的取值范围； （3）点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或． 【分析】（1）依据题意，将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）依据题意，由求的的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的的取值范围； （3）依据题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可． 【解答】解：（1）由题意，将点代入函数中， ． 再将代入， ． 将与代入函数中， ． ． ，． （2）由题意，根据图象，当时，， 时的取值范围是． （3）由题意得，、、三点的横坐标相同， 可设横坐标为． 点的坐标为，点的坐标为 点的坐标为，且， ． ． ，． 符合条件的点坐标为或． 【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【变式8-4】 （2023秋•包河区期末）如图，一次函数的图象交轴于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点坐标为． （1）确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，由题意可知，代入求得的值，即可求得反比例函数的解析式； （2）先求得的坐标，根据图象找出在的下方的图象对应的的范围． 【解答】（1）解：在反比例函数的图象上， ， ， ，在上， ， 解得， ； （2）联立， 解得：，， ， 根据图象可知的解集为：或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，数形结合是解题的关键． 考点九： 根据实际问题列反比例函数关系式 俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数与每个月存款额元之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据户外活动设备的售价为6000元，即可得出，变形后即可得出与之间的函数关系式，此题得解． 【解答】解：根据题意得：， ． 故选：． 【点评】本题考查了根据时间问题列反比例函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键． 【变式9-1】 某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额（元与付款月数为正整数）之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到与的关系式． 【解答】解：由题意得：， 即， 故选：． 【点评】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 【变式9-2】 近视眼镜的度数（度与镜片焦距成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设出反比例函数解析式，把代入即可求解． 【解答】解：设， 400度近视眼镜镜片的焦距为， ， ． 故选：． 【点评】反比例函数的一般形式为是常数，且，常用待定系数法求解函数解析式． 【变式9-3】 把一个长、宽、高分别为，，的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积与高之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】利用长方体的体积圆柱体的体积，进而得出等式求出即可． 【解答】解：由题意可得：， 则． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关键． 【变式9-4】 若矩形的两邻边长度分别为，，面积保持不变，下表给出了与的一些值求矩形面积． （1）请你根据表格信息写出与之间的函数关系式； （2）根据函数关系式完成上表． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）矩形面积矩形的宽矩形的长，设出关系式，由于满足，故可求得的值； （2）根据（1）中所求的式子作答． 【解答】解：（1）设， 由于在此函数解析式上，那么， ； （2）， ， ， ， ． 【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．在此函数上的点一定适合这个函数解析式． 考点十： 反比例函数的应用 例10.（2023秋•庐阳区校级期中）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：的函数表达式为．当时，的值为 　　． 【答案】8 【分析】直接将代入中可得的值． 【解答】解：当时，（A）， 故答案为：8． 【点评】此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键． 【变式10-1】（2023秋•宿松县期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数” 与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数” ，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． （1）求该二次函数的解析式和的值； （2）“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟，理由见解答过程． 【分析】（1）设该二次函数的解析式为，把点代入，即可求得二次函数的解析式；把点代入，即可求得的值； （2）由可得，解得：，进而即可判定． 【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为， 把点代入，得， 解得：， 所求二次函数的解析式为， 把点代入得：； （2）没有超过15分钟，理由如下： 由解得：，（不合题意，舍去）， 由解得：， ， “拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟． 【点评】本题考查了函数图象，待定系数法求二次函数与反比例函数的解析式，图象的平移，求出函数解析式是解答本题的关键． 【变式10-2】（2023秋•定远县期末）近视眼镜镜片的度数（度与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为． （1）求与的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 【答案】（1）；（2） 【分析】设出反比例函数解析式，把代入即可求解． 【解答】解：（1）设与的函数表达式为， 400度近视眼镜镜片的焦距为， ， 与的函数表达式为． （2）， 答：该镜片的焦距为． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数的一般形式为是常数，且，再用待定系数法求解函数解析式． 【变式10-3】（2023秋•肥西县期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【答案】（1），； （2）60分钟． 【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，令，分别代入（1）中解析，求得的值，由函数图象可得：当时，毫克，即可求解． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为， 将代入解析式得， 反比例函数解析式为， 将代入解析式得，， 解得：， 故点坐标为， 反比例函数解析式为， 设正比例函数解析式为 将代入得：， 正比例函数解析式为； （2）由可得：当时，， 由可得：当时，， 由函数图象可得：当时，毫克， 分钟， 师生至少在60分钟内不能进入教室． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式10-4】（2023秋•安庆期中）如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． （1）分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； （2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】（1）该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为； （2）对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 【分析】（1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【解答】解：（1）设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ，得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，得，当时，，得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． 考点十一： 反比例函数综合题 例11．（2023秋•萧县期中）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围； （3）设点是直线上一动点，且，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）或； （3）点的坐标为或． 【分析】（1）由菱形的性质可知、关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （2）联立两函数解析式求出坐标，根据与横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时的范围即可； （3）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标． 【解答】解：（1）如图，连接，交轴于点， 四边形是菱形， ，，， ， ，， ，， ， 将代入直线可得， 解得， 将代入反比例函数可得， 解得：； 一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例解析式得：， 消去得：， 解得：或， 将代入得：，即， 则反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围为：或； （3），， ， ， ， 设点坐标为，与轴相交于， 则， ， ， 当在的左侧时，， ，， ， 当在的右侧时，， ，， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键． 【变式11-1】（2023秋•宿松县期中）如图，四边形是矩形，顶点，分别在轴和轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点． （1）直接写出点的坐标； （2）求反比例函数的表达式及点的坐标； （3）点是边上一点，若，试说明线段与线段的关系． 【答案】（1）； （2），； （3），，理由见解答过程． 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）可知，然后可得反比例函数解析式，进而问题可求解； （3）根据相似三角形的性质可直接进行求解． 【解答】解：（1）四边形是矩形，，， ，，， 点是的中点， ， ； （2）反比例函数的图象经过的中点，， ， 反比例函数解析式为， 点在线段上， 点的纵坐标为8， ，即， ； （3）设，相交于点， ， ， ， ， ，即， ． 【点评】本题主要考查反比例函数与几何的综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质是解题的关键． 【变式11-2】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．反比例函数的图象交矩形的边、于、两点，连接，． （1）当点是的中点时，　 　，点的坐标为 　　； （2）设点的横坐标为． ①请用含的代数式表示点的坐标为 　　； ②求证：． 【答案】（1）12，； （2）①； ②见解析． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①由题意得，点的坐标为，则，则反比例函数表达式为，进而求解； ②证明即可． 【解答】（1）解：点的坐标为，四边形是矩形； ，，点的纵坐标为4，点的横坐标坐标为6， 当点是的中点时，， 点的坐标为， 把代入得：， 点的横坐标坐标为6， 点的坐标为， 故答案为：12，； （2）①解：由题意得，点的坐标为，则， 则反比例函数表达式为， 当时，， 即点的坐标为． 故答案为：； ②证明：由①知，，， ，， ． 又， ． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式11-3】 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时不等式的解集； （3）直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）时，的面积最大，最大值为． 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）直线经过点， ， 解得， ， ， 反比例函数的解析式为． （2）不等式的解集为． （3）由题意，点，的坐标为，，，， ， ， ， 时，的面积最大，最大值为． 【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型． 【例1】若是反比例函数，则的取值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．任意实数 【答案】B 【详解】分析：根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令|m|-2=-1、m-1≠0即可． 详解：∵y=（m-1）x|m|-2是反比例函数， ∴，解之得m=-1． 故选B． 点睛：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 易错攻克 （1） 在反比例函数k≠0是重要条件,本题易因忽略这一条件而致错, （2） 反比例函数表达式有三种形式:要注意区分不同不形式中自变量x的次数. 【例2】下列函数中，函数值随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可． 【详解】解：A．的函数值随着增大而增大，故本选项不符合题意； B．的函数值随着增大而减小，故本选项符合题意； C．在每一个象限内，的函数值随着增大而减小，故本选项不符合题意； D．在每一个象限内，的函数值随着增大而增大，故本选项不符合题意； 故选B． 易错攻克 ①我们在说反比例函数的增减性的时候，一定要说明清楚在每一个象限内，而不能笼统说y随着增大而增大（减小），因为x的取值中x≠0. 1．（2024·安徽蚌埠·二模）若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程即的两根， ，， ∴异号， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B．由图象得：，，符合题意； D ．由图象得：，， ，结论错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 3．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）下列函数中y的值随x值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：A、∵，则在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； B、，对称轴为y轴，在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、，，∴y的值随x值的增大而减小，故本选项符合题意； D、，，∴y的值随x值的增大而增大，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（2024·安徽六安·二模）如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（    ） A． B．18 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握矩形性质是关键．先求出点、坐标，再求出线段的中点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，依据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可． 【详解】解：矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上， ，3，， 线段的中点坐标为， 为矩形， 线段的中点坐标为也是线段中点的坐标， ，， 解得，， ， 点在反比例函数的图象上， ． 故选：B 5．（2024·安徽蚌埠·三模）如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值． 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得， 解得． 故k的值为． 故选：D． 6．（2024·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，矩形的顶点D在上，顶点F在 y轴上．已知C是的中点，反比例函数 （）的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】设，，根据矩形，得到，结合C是的中点，得到，得到，解得的值即可． 本题考查待定系数法求反比例函数，矩形的性质，不规则图形面积，掌握待定系数法求反比例函数方法，矩形的性质，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键． 【详解】解：设，， 根据矩形， 得到， ∵C是的中点， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， 解得， ∵反比例函数 （）的图象经过点B， ∴， 故选D． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接, 作轴于, 轴于,则，根据题意求得,由，即可得出 ，解方程求得m的值，从而求得 ． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点, ∴关于原点对称， ， ， 设, ， ， ∴， ，即 ， 解得，（舍去） ， 故答案为:． 8．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，反比例函数的性质，根据平行四边形的性质得出，，设点D的坐标为，得出点B的坐标为，求出，根据，得出，得出A点的坐标为，求出点C的坐标为，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点D在反比例函数上， ∴设点D的坐标为， ∵D为的中点， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴A点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在上， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．（2021·江苏南京·一模）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 先根据题意确定点的坐标，再点的坐标的特征表示出的坐标，最后根据列方程即可解答． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∵点在上， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， 即 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解， ∴，（舍去）， ∴， 故答案为． 10．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得 ，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ． （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$