专题15 函数的概念及其表示 （十一大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题15 函数的概念及其表示 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 【典例例题】 题型一：函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：给出解析式求函数的定义域 【典例2-1】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·山西临汾·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·福建南平·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三：抽象函数求定义域 【典例3-1】（2024·高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，，则的定义域为 . 【典例3-2】（2024·高一·河南·开学考试）函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【变式3-1】（2024·高一·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【变式3-2】（2024·高一·全国·课前预习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 题型四：给出函数定义域求参数范围 【典例4-1】（2024·高一·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【典例4-2】（2024·高一·湖南张家界·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【变式4-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 【变式4-2】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 题型五：同一函数的判断 【典例5-1】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·高一·甘肃兰州·开学考试）下列各组函数与的图象相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·高一·北京东城·期中）下列各组函数中，两个函数相等的是 （     ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型六：给出自变量求函数值 【典例6-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则 . 【典例6-2】（2024·高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 【变式6-1】（2024·高一·广东湛江·开学考试）已知函数，用列表法表示如下： 则 【变式6-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【变式6-3】（2024·高一·江苏无锡·期中）已知函数. (1)求； (2)判断是否为定值，并求出的值. 题型七：求函数的值域 【典例7-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【变式7-1】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4). 【变式7-3】（2024·高一·上海·专题练习）已知函数的值域为[1，3]，求的值 题型八： 求函数的解析式 【典例8-1】（2024·高一·山东淄博·期中）求下列函数的解析式 (1)若，求； (2)已知是一次函数，且，求 【典例8-2】（2024·高一·四川成都·期中）（1）是一次函数，且满足，求的解析式; （2）已知函数，求函数的解析式． （3）已知，求的解析式． 【变式8-1】（2024·高一·甘肃金昌·期末）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求函数的解析式； 【变式8-2】（2024·高一·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【变式8-3】（2024·高一·四川成都·开学考试）（1）已知函数，求； （2）已知，求. 题型九： 分段函数求值、不等式问题 【典例9-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，则 . 【典例9-2】（2024·高一·青海西宁·开学考试）已知函数，则的值为 . 【变式9-1】（2024·高一·河北石家庄·期末）已知函数，则 ． 【变式9-2】（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【变式9-3】（2024·高一·山东济南·期中）已知函数，则 ；若，则的取值范围是 ． 【变式9-4】（2024·高一·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 . 题型十： 区间的表示与定义 【典例10-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知区间，则a的取值范围是 . 【典例10-2】（2024·高一·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【变式10-1】（2024·高一·全国·专题练习）用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 题型十一：函数的图象 【典例11-1】（2024·高二·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】（2024·高三·山东济南·阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024·高一·吉林长春·期中）俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（   ）    A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙 C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲 【变式11-2】（2024·高一·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（    ） （1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．   B．   C．     D．   【变式11-3】（2024·高一·福建福州·期中）某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）函数的图象与直线的交点个数（    ） A．至少有1个 B．至多有1个 C．仅有1个 D．可能有无数多个 3．（2024·高一·福建福州·期中）若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是 （    ） A．     B．   C．     D．   4．（2024·高一·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 6．（2024·高一·广东茂名·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（2024·高一·广东江门·期中）下列函数中图象完全相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高一·湖北·期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．（2024·高一·全国·专题练习）某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．       B．   C．   D．   二、多选题 13．（2024·高一·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．（2024·高一·广西桂林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数与不是同一个函数 B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．关于x的不等式，使该不等式恒成立的实数的取值范围是 三、填空题 15．（2024·高一·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 16．（2024·高一·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 17．（2024·高一·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 18．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 19．（2024·高三·天津武清·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 20．（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数的图象由两条射线及两条线段（包括端点）组成，如图所示.的值为 . 21．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）已知，且，则的取值范围是 . 22．（2024·高一·四川德阳·阶段练习）已知是一次函数，且在上单调递增，，则 . 23．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，满足，.则 . 24．（2024·高一·全国·课后作业）（1）已知为二次函数，且，则 ． （2）已知，则 ． 25．（2024·高一·北京·期中）已知函数，如果，那么实数的值为 . 26．（2024·高一·北京·期中）已知函数，则 ；若，则 ． 27．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知函数,若，则的取值范围是 . 28．（2024·高一·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 29．（2024·高一·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 四、解答题 30．（2024·高一·辽宁大连·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 31．（2024·高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域. (2)已知函数的定义域为，求函数的定义域. (3)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 32．（2024·高一·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 33．（2024·高三·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 34．（2024·高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 35．（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域: (1)， (2)， (3)， (4) 36．（2024·高一·全国·课后作业）试求下列函数的定义域与值域. (1)， (2) (3) (4) 37．（2024·高一·河北·阶段练习）（1）已知，求的解析式； （2），求的解析式. 38．（2024·高一·上海·假期作业）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 39．（2024·高一·全国·课后作业）把下列数集用区间表示． (1)； (2)； (3)； (4)或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 函数的概念及其表示 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 【典例例题】 题型一：函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 【典例1-2】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 【变式1-1】（2024·高一·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，A能； 对于B，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，B能； 对于C，对于集合的元素，在中没有元素与之对应，C不能； 对于D，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，D能. 故选：C 【变式1-2】（2024·高一·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 题型二：给出解析式求函数的定义域 【典例2-1】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以定义域为， 故选：C. 【典例2-2】（2024·高一·山西临汾·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义， 必须满足，解得， 函数的定义域为. 故选；B. 【变式2-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式2-2】（2024·高一·福建南平·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：C. 题型三：抽象函数求定义域 【典例3-1】（2024·高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，，则的定义域为 . 【答案】 【解析】因为的定义域为， 由题意可得： 解得：，即的定义域为. 故答案为：. 【典例3-2】（2024·高一·河南·开学考试）函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式3-1】（2024·高一·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为区间，所以， 令，解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式3-2】（2024·高一·全国·课前预习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 【解析】（1）设，由于函数定义域为[1，2]， 故，即，解得， 所以函数的定义域为[0，]； （2）设，因为， 所以，即，函数的定义域为[3，5]， 由此得函数的定义域为[3，5]； （3）因为函数的定义域为[1，2]，即， 所以，所以函数的定义域为[3，5]， 由，得， 所以函数的定义域为[2，3]. 题型四：给出函数定义域求参数范围 【典例4-1】（2024·高一·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高一·湖南张家界·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】若函数的定义域为，则的解集为 当时，不等式变为，得不符合题意； 当时，要使得解集为，则，解得 综上可得实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题可得，对恒成立， 当时，不满足题意； 当时，要使对恒成立， 则有，解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为: . 【变式4-2】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 题型五：同一函数的判断 【典例5-1】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 【典例5-2】（2024·高一·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，的定义域为，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 【变式5-1】（2024·高一·甘肃兰州·开学考试）下列各组函数与的图象相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，易知的定义域为，的定义域为，定义域不同，图象不可能相同，即A错误； 对于B，将改写成分段函数形式与完全相同，即B正确； 对于C，的定义域为，的定义域为，定义域不同，图象不可能相同，所以C错误； 对于D，由解析式可得将的图象向左平移1个单位长度后可得，所以其图象不相同，D错误； 故选：B 【变式5-2】（2024·高一·北京东城·期中）下列各组函数中，两个函数相等的是 （     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【解析】对于A，与定义域都是全体实数，且，故A满足题意； 对于B，的定义域是非负实数，的定义域是全体实数，故B不满足题意； 对于C，的定义域是全体实数，的定义域是非负实数，故C不满足题意； 对于D，的定义域是全体实数，的定义域是不为0的全体实数，故D不满足题意. 故选：A. 题型六：给出自变量求函数值 【典例6-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则 . 【答案】14 【解析】在中，令，解得， 所以. 故答案为：14 【典例6-2】（2024·高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 【答案】7 【解析】. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·高一·广东湛江·开学考试）已知函数，用列表法表示如下： 则 【答案】 【解析】由列表可知. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）由（1）知， . 【变式6-3】（2024·高一·江苏无锡·期中）已知函数. (1)求； (2)判断是否为定值，并求出的值. 【解析】（1）函数，则，， 所以. （2）依题意，， 所以是定值3， . 题型七：求函数的值域 【典例7-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【解析】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 【变式7-1】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【解析】（1）∵，∴, ∴的值域为. （2），显然,所以, 故函数的值域为. （3）由,知. 则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为. 【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）因为，所以，所以函数的值域为. （2）由，可得其对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，，所以函数的最大值为， 所以函数在区间上的值域为. （3）由函数，可得其定义域为， 则，即，所以函数的值域为且. （4）令，则， 则， 根据二次函数的性质，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，，所以函数的值域为. 【变式7-3】（2024·高一·上海·专题练习）已知函数的值域为[1，3]，求的值 【解析】由题意定义域为，则在上有解，当符合题意，当，即 的解集为[1，3]，故1和3为关于y的二次方程的两个根所以 解得 题型八： 求函数的解析式 【典例8-1】（2024·高一·山东淄博·期中）求下列函数的解析式 (1)若，求； (2)已知是一次函数，且，求 【解析】（1）， 所以. （2）由是一次函数，设，， 则， 则，，解得，，或，， 所以或. 【典例8-2】（2024·高一·四川成都·期中）（1）是一次函数，且满足，求的解析式; （2）已知函数，求函数的解析式． （3）已知，求的解析式． 【解析】（1）由已知是一次函数，设函数，， 则， 即， 即，解得， 所以； （2）由， 则； （3）由已知①，， 则②， 所以①②得，， 所以，. 【变式8-1】（2024·高一·甘肃金昌·期末）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求函数的解析式； 【解析】（1）设，则，，即， 所以， 所以. （2）因为是二次函数，所以设. 由，得. 由，得， 整理得， 所以，所以，所以. （3）因为，① 所以，② ②①，得，所以. 【变式8-2】（2024·高一·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【解析】（1）因为， 所以． （2）解法一（换元法）：令，，则， 所以， 所以． 解法二（配凑法）：， 因为，所以． （3）设， 则， 所以，解得或， 所以或． （4）对任意的有， 由，① 得，② 联立①②解得，． 【变式8-3】（2024·高一·四川成都·开学考试）（1）已知函数，求； （2）已知，求. 【解析】（1）由函数， 令，则，所以， 所以函数的解析式为 . （2）由函数， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 题型九： 分段函数求值、不等式问题 【典例9-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【解析】. 故答案为： 【典例9-2】（2024·高一·青海西宁·开学考试）已知函数，则的值为 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以, 则. 故答案为：. 【变式9-1】（2024·高一·河北石家庄·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【解析】由题意知当，，则， 所以. 故答案为：. 【变式9-2】（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 【变式9-3】（2024·高一·山东济南·期中）已知函数，则 ；若，则的取值范围是 ． 【答案】 4 【解析】因为，所以； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：；. 【变式9-4】（2024·高一·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】对于函数 （i）当，则，解得，故此时不存在； （ii）当，则， 解得或，故此时的取值范围为； （iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 题型十： 区间的表示与定义 【典例10-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知区间，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，得，则a的取值范围为 故答案为：. 【典例10-2】（2024·高一·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【解析】（1） （2） （3） （4）或 【变式10-1】（2024·高一·全国·专题练习）用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）或. 题型十一：函数的图象 【典例11-1】（2024·高二·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合. 故选：C. 【典例11-2】（2024·高三·山东济南·阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当小明在弧上运动时，与点的距离相等，所以AB选项错误. 当小明在半径上运动时，与点的距离减小， 当小明在半径上运动时，与点的距离增大，所以C选项错误，D选项正确. 故选：D 【变式11-1】（2024·高一·吉林长春·期中）俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（   ）    A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙 C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲 【答案】C 【解析】图-1所示呈正比例关系，与情境甲相对应； 图-2所示呈上升趋势，反应出单调递增的性质，但增加的速率在减小，与情境丙相对应； 图-3所示开始呈上升趋势，反应出单调递增性质，但后来出现下降趋势， 与情境乙所描述的“过犹不及”相对应． 故选：C 【变式11-2】（2024·高一·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（    ） （1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．   B．   C．     D．   【答案】D 【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A； （2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C； （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B； 故选：D 【变式11-3】（2024·高一·福建福州·期中）某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大， 从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变， 是常数，该常数为2，只有D满足， 故选：D． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】对于A：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 对于B：定义域为，值域为，且图像也满足函数定义，故正确； 对于C：不满足“从定义域中任意取一个有唯一的与之对应”，故错误； 对于D：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 故选：B. 2．（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）函数的图象与直线的交点个数（    ） A．至少有1个 B．至多有1个 C．仅有1个 D．可能有无数多个 【答案】B 【解析】当x在定义域内任意取一个值,都有唯一的一个函数值与之对应,函数的图象与直线有唯一交点； 当x不在定义域内时,函数值不存在,函数的图象与直线没有交点。故函数 的图象与直线至多有一个交点，即函数的图象与直线的交点至多有一个， 故选：B. 3．（2024·高一·福建福州·期中）若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是 （    ） A．     B．   C．     D．   【答案】B 【解析】选项A，定义域为，与条件不符，故A错误； 选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确； 选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误； 选项D，值域与条件不符，故D错误． 故选：B． 4．（2024·高一·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 5．（2024·高一·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【解析】由题意得，解得且， 即定义域为. 故选：D. 6．（2024·高一·广东茂名·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D 7．（2024·高一·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 8．（2024·高一·广东江门·期中）下列函数中图象完全相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】A：与的解析式不同，不是同一个函数，图象不同；故A错误； B：与的定义域都是，解析式也相同，是同一个函数，图象完全相同；故B正确； C：与的解析式不同，不是同一个函数，图象不同； D：的定义域为，的定义域为或，定义域不同，不是同一个函数，图象不同． 故选：B． 9．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，由于，则， 可得， 所以. 故选：B. 10．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，∴， 故选：A. 11．（2024·高一·湖北·期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确； 对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误； 对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误. 故选：B. 12．（2024·高一·全国·专题练习）某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．       B．   C．   D．   【答案】A 【解析】∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当时，总产量增长速度原来越快，图象上升的速度越来越快． 又后3年年产量的增长速度保持不变，∴当时，图象的上升速度不变，图象为直线型，且c随t的增大而增大． 故选：A． 二、多选题 13．（2024·高一·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【解析】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 14．（2024·高一·广西桂林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数与不是同一个函数 B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．关于x的不等式，使该不等式恒成立的实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与不是同一个函数，故A正确； 取可得，但，所以“”不是“”的充分条件， 取可得，但，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确； 因为函数的定义域为，所以由有意义可得，即， 所以函数的定义域为，故C错误； 当时，不等式恒成立，所以D错误； 故选：AB. 三、填空题 15．（2024·高一·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以， 又因为函数， 所以，即或， 故答案为： 16．（2024·高一·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 17．（2024·高一·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得对任意恒成立， 所以， 解得， 所以实数取值范围是. 故答案为： 18．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由的定义域为，则恒成立， 当时，，得，不符合要求，故舍去， 当时，有，解得， 综上，. 故答案为：. 19．（2024·高三·天津武清·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意得，在R上恒成立， 当时，，成立； 当时，，即，解得； 综上所述，. 故答案为：. 20．（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数的图象由两条射线及两条线段（包括端点）组成，如图所示.的值为 . 【答案】/1.5 【解析】由图知，，且当时，函数图象是一条射线， 所以. 故答案为：. 21．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）已知，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以. 又因为， 所以，解得. 故答案为：. 22．（2024·高一·四川德阳·阶段练习）已知是一次函数，且在上单调递增，，则 . 【答案】 【解析】因为函数是一次函数，且在上单调递增， 所以，设， 因为，则， 故，解得， 故． 故答案为：. 23．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，满足，.则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 而， 又因为， 所以，解得， 因此的解析式为. 故答案为：. 24．（2024·高一·全国·课后作业）（1）已知为二次函数，且，则 ． （2）已知，则 ． 【答案】 【解析】（1）设， ， ，解得：，； （2）令，则，， ，. 故答案为：；. 25．（2024·高一·北京·期中）已知函数，如果，那么实数的值为 . 【答案】或. 【解析】因为，又， 所以或， 解得或. 故答案为：或 26．（2024·高一·北京·期中）已知函数，则 ；若，则 ． 【答案】 ； . 【解析】由条件可知； 若， 若，不符题意. 故答案为：； 27．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知函数,若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据分段函数的定义可知， 当时，不等式可化为， 解得； 当时，不等式可化为， 解得； 当，不等式可化为，无解. 综上知，的取值范围为 故答案为： 28．（2024·高一·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【答案】 【解析】，. 故答案为：；. 29．（2024·高一·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，，解得. 故答案为： 四、解答题 30．（2024·高一·辽宁大连·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 【解析】（1）要使函数有意义，只需解得:或且， 所以函数定义域为且或. （2）由题意知，所以，即的定义域为， 所以，解得. 故函数的定义域是. 31．（2024·高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域. (2)已知函数的定义域为，求函数的定义域. (3)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【解析】（1）令－2≤－1≤2得－1≤≤3，即0≤≤3，从而－≤≤， ∴函数的定义域为. （2）∵的定义域为，即在中∈，令，∈，则∈，即在中，∈， ∴的定义域为. （3）由题得，， ∴函数的定义域为. 32．（2024·高一·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【解析】（1）因为， 所以； （2）证明：为定值； （3）由（2）可知，，， 所以 ． 33．（2024·高三·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以的值域为. （2）因为的定义域为， 所以-2和1是方程的两个根， 故，解得，检验符合，故,. （3）当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域不为，不符合题意； 当时，由题意，在上恒成立， 令，解得， 综上所述，实数的取值范围. 34．（2024·高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【解析】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为． （2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为． （3）（分离常数法）  ，因为，所以，所以故函数的值域为． （4）（换元法）  设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为． （5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为． （7）由知， 整理得． 当时，方程无解；当时，，即． 故所求函数的值域为． 35．（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域: (1)， (2)， (3)， (4) 【解析】（1）由题意可得：， 因为，则， 所以原函数的值域为. （2）因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以原函数的值域为. （3）令，解得， 可得函数的定义域为， 因为，可得 所以原函数的值域为. （4）设，则， 所以原函数转化为， 因为函数的图象开口向下，对称轴方程为， 可知当时，函数取到最大值， 所以原函数的值域为. 36．（2024·高一·全国·课后作业）试求下列函数的定义域与值域. (1)， (2) (3) (4) 【解析】（1）函数的定义域为，则， 同理可得，，，，所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，因为，所以函数的值域为. （3）函数的定义域为，因为， 所以函数的值域为. （4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是. 设，则，于是， 又，所以，所以函数的值域为. 37．（2024·高一·河北·阶段练习）（1）已知，求的解析式； （2），求的解析式. 【解析】（1）， 令，所以， 故； （2）由可得， 联立可得， 故 38．（2024·高一·上海·假期作业）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【解析】（1）写成区间即为. （2），解出，写成区间即为. 39．（2024·高一·全国·课后作业）把下列数集用区间表示． (1)； (2)； (3)； (4)或． 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$