专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 利用二次函数解决表格型问题 题型九 二次函数其他问题 题型十 二次函数综合问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． (1)用含x的代数式表示S； (2)当时，求向日葵基地的面积． 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）某校准备用32米长的围栏修建一边靠墙的矩形菜地，已知墙体的最大可用长度为16米，在与墙平行的一边，要留一扇2米宽的门，设的长为x米，矩形菜地的面积为y平方米． (1)请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围； (2)如果该矩形菜地的面积为平方米，则的长． 2．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 3．（2024·山西太原·模拟预测）为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米． (1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示． ①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离； ②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是一块抛物线型板材，工人师傅以A为坐标原点，边所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，根据测量得知边长为6分米，最高点到的距离为6分米. (1)求该抛物线的解析式. (2)工人师傅计划在抛物线型板材上截出一个正方形，要求D、F两点在抛物线上(D在的左侧)，点在抛物线的对称轴上，工人师傅的计划能否实现?若能请你帮助工人师傅在抛物线上找出到点的位置（即求出点的坐标），若不能请说明理由. 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图所示，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在原点，，若矩形以每秒个单位长度沿轴正方向做匀速运动同时点从点出发以每秒个单位长度沿的路线做匀速运动当点运动到点时停止运动，矩形也随之停止运动． (1)求点从点运动到点所需的时间； (2)设点运动时间为秒． ①当时，求出点的坐标； ②若的面积为，试求出与之间的函数关系式并写出相应的自变量的取值范围． 2．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形，动点M，N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿向终点O运动，点N沿向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作，交于点P，连接．    (1)直接写出点B的坐标为 ，直线的函数表达式为 ； (2)记的面积为S，求S与t的函数关系式；并求t为何值时，S有最大值，并求出最大值． 3（2024·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点Q为x轴上一动点，过点Q作轴，交直线于点M，交抛物线于点P． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，以O，M，P，B为顶点的四边形是否为平行四边形，若是，求出Q点坐标；若不是，请说明理由． 4．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，矩形顶点的坐标为，定点的坐标为，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形．设运动时间为秒． (1)当___________时，的边经过点，当___________时，点落在边上； (2)设和矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式； (3)如图2，过定点作，垂足为，当的顶点落在矩形的内部时，过点作轴、轴的平行线，分别交、于点M、N，若，直接写出的值___________． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 1．（2024·陕西咸阳·三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）周末，小明跟父母去某自然景区露营，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为2.6米的树与树之间（米），两边拴绳的地方A、B距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为0.81米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为2.25米时，求吊床上该处离左边树的距离． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且轴，轴），小颖为爸爸设计了两种方案： 方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架对大棚进行加固； 方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架对大棚进行加固． 方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为、，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗） 4．（2024·河南开封·一模）开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处 C 点与路面的距离为50米，若以点 O 为原点，所在的直线为y 轴，建立如图②所示的平面直角坐标 系，抛物线与x 轴相交于A、B 两点，且两点间的距离为80米． (1)求这条抛物线的解析式； (2)钢拱最高处C 点与水面的距离为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度； (3)当时，求y的取值范围． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 1．（2024·山西阳泉·三模）项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 2．（2024·湖北十堰·模拟预测）某旅游景区新进一批文创产品，每件进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)当日销售利润不低于6000元时，求每件文创产品售价x的取值范围． 3．（20-21九年级上·湖北武汉·期中）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 4．（2024·湖北鄂州·模拟预测）某公司销售一种产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系如下表所示，每件产品的利润z（元）与月份x（月）满足关系式（，且x为整数）． x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 28 32 36 40 44 48 52 52 52 52 52 52 (1)请你根据表格分别求出当和（x为整数）时，销售量y（万件）与月份x（月）的关系式； (2)求当x为何值时，月利润（万元）有最大值，最大值为多少? (3)求该公司月利润不少于660万元的月份是哪几个月? 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 1．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． (1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 (1)求抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 3．（2024·陕西西安·三模）一次足球训练中，小天在球门正前方的A处射门，足球射向球门的运动路线为抛物线，足球在离地面4米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为6米．已知球门高为2.44米，足球离地面3米时，其与球门的水平距离为10米．现以O为原点建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为2.31米，求辉辉需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门？ 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球。2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的。甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动。图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为的中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球。以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，段抛物线的解析式为，段的解析式为． (1)当球在球网左侧距球网时到达最高点，求的解析式； (2)球从处弹起至最高点后下落过程中，球刚好擦过球网，视为网球重发，求的值； (3)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍（看作线段）在的正上方处，，若将球拍向前水平推出（）可接住球（不包括球刚好碰到边沿点），求出的取值范围． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h． (1)已知．若喷水口在P处，，． ①求水线最高点与点B之间的水平距离； ②求水线的最大高度； ③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． (2)在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为．      (1)若已知，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时a、b的值； (2)若，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ (3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围． 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 3．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【经典例题八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型）】 【例8】（2024·浙江金华·二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 1．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 3．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【经典例题九 二次函数其他问题】 【例9】（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 1．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    2．（2024·浙江宁波·一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息： （秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： (1)依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； (2)根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； (3)地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 3．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【经典例题十 二次函数综合问题】 【例10】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， (1)若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； (2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 2．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．抛物线与轴的交点为，在左侧，与轴的交点为．    (1)求抛物线的解析式及的面积． (2)在第四象限的抛物线上找一点，使的面积为的一半，求出此时点的横坐标． 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （    ） A． B．    C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 4．（2024·天津南开·二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．（2024·天津河北·二模）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是(   )    A．3 B．2 C．1 D．0 6．（2024·山东临沂·二模）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元． 7．（2024·内蒙古赤峰·二模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 m． 8．（23-24九年级下·全国·课后作业）为了节省材料，某工厂以岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则给出下列四个结论：①米，②；③；④长方形的最大面积为300平方米，其中，正确的是 .    9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点分别为上的动点，且与交于点，点为的中点．    （1）若，则的长 ． （2）在整个运动过程中，长的最小值为 ． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡找一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同．小强在地面立一块高度为的木板，以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，拋球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为．    （1）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离是 ； （2）为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是 ． 11．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 12．（2024·河南周口·二模）某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 13．（2024·山西吕梁·模拟预测）随着多地中考体育项目以及分值的调整，游泳成为某些地区中考选考科目，如图某校新建成游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点P离地面的距离为9米，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物线的表达式． (2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处位于地面上方2米，求条幅与的水平距离． 14．（2024·河北石家庄·三模）一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ (3)在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．（填序号即可，） ①；    ②；    ③． 15．（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 利用二次函数解决表格型问题 题型九 二次函数其他问题 题型十 二次函数综合问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． (1)用含x的代数式表示S； (2)当时，求向日葵基地的面积． 【答案】(1) (2)100平方米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，求二次函数值，解题的关键是求出函数解析． （1）根据长方形面积公式求出二次函数解析式； （2）把代入求出函数值即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为x米，则宽为米，则： ． （2）解：把代入得： （平方米）． 答：向日葵基地的面积为100平方米． 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）某校准备用32米长的围栏修建一边靠墙的矩形菜地，已知墙体的最大可用长度为16米，在与墙平行的一边，要留一扇2米宽的门，设的长为x米，矩形菜地的面积为y平方米． (1)请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围； (2)如果该矩形菜地的面积为平方米，则的长． 【答案】(1)， (2)10米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，一元一次不等式组的应用， （1）根据围栏为32米，宽为x米，表示出矩形长为米，根据矩形面积列出关系式，根据，墙体的最大可用长度为16米，列出关于x的不等式组，求出自变量x的取值范围即可； （2）根据矩形花园的面积为平方米，即，代入二次函数解析式，列出方程，解方程，即可得出答案． 【详解】（1）由题可得： 化简可得：， 根据题意有：， 解得： ， 即：，； （2）当时，可得， 解得（舍去），， 答：的长为10米． 2．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 3．（2024·山西太原·模拟预测）为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米． (1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示． ①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离； ②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)①两根支撑柱之间的水平距离为9米；②“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值为米． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、求二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意得、、，设抛物线的解析式为，将代入解析式求得a即可解答； （2）①根据题意可得，解方程即可得到，从而即可算出两根支撑柱之间的水平距离；②设N点坐标为，则，，进而得到，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴（米），， ∴点，点， 根据题意和图象可得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的解析式为：， 把点代入解析式可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①当时，，解得， （米）， ∴两根支撑柱之间的水平距离为9米； ②设N点坐标为，则，， ∴， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值为米． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是一块抛物线型板材，工人师傅以A为坐标原点，边所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，根据测量得知边长为6分米，最高点到的距离为6分米. (1)求该抛物线的解析式. (2)工人师傅计划在抛物线型板材上截出一个正方形，要求D、F两点在抛物线上(D在的左侧)，点在抛物线的对称轴上，工人师傅的计划能否实现?若能请你帮助工人师傅在抛物线上找出到点的位置（即求出点的坐标），若不能请说明理由. 【答案】(1) (2)能够实现,. 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法和二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）连接交于点，则然后设点的坐标为，则点的坐标为，根据列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵边长为6分米，最高点到的距离为6分米， 点的坐标为， 根据抛物线的对称性可知：顶点的坐标为， 设这个抛物线的解析式为：， 将点代入，得：，解得：， 抛物线的解析式为：； （2）能够实现，点的坐标为：， 点在抛物线上， 可设点的坐标为， 连接交于点，如图： 四边形为正方形， ， 为抛物线的对称轴，点的坐标为， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：或(不合题意，舍去)， 当时，， 点的坐标为． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)． 【分析】本题考查动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，一元二次方程的实际应用等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点D和点E的运动路径和运动速度即可得到答案； （2）求出，由，则，，，可得即可求出； （3）根据直角三角形面积公式列出关于t的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：， （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． （3）由题意可得， ， ∵， ∴当时，的最大值是4， 即点D运动过程中，的最大值是． 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图所示，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在原点，，若矩形以每秒个单位长度沿轴正方向做匀速运动同时点从点出发以每秒个单位长度沿的路线做匀速运动当点运动到点时停止运动，矩形也随之停止运动． (1)求点从点运动到点所需的时间； (2)设点运动时间为秒． ①当时，求出点的坐标； ②若的面积为，试求出与之间的函数关系式并写出相应的自变量的取值范围． 【答案】(1)16秒 (2)①；② 【分析】根据路程，速度，时间的关系，构建方程求解； 当时，点从点运动到上，此时点到点的时间秒，，，再过点作于点，则，，得出，所以得出点的坐标； 可分三种情况“，，”进行讨论解题即可． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，行程问题等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）由题意， 点从点运动到点所需的时间为秒； （2）当时，点从点运动到上， 此时点到点的时间秒，， ， 过点作于点，则，， ， 点的坐标为； 分三种情况： 当时，点在上运动，此时，， ； 当时，点在上运动，此时， ； 当时，点在上运动，此时，， ， ； 综上所述，与之间的函数关系式是：． 2．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形，动点M，N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿向终点O运动，点N沿向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作，交于点P，连接．    (1)直接写出点B的坐标为 ，直线的函数表达式为 ； (2)记的面积为S，求S与t的函数关系式；并求t为何值时，S有最大值，并求出最大值． 【答案】(1)； (2)，3，3 【分析】本题考查了二次函数与几何动态问题，解题的关键是根据题意表达出点的坐标，利用几何知识列出函数关系式． （1）根据四边形为矩形即可求出点B坐标，设直线解析式为，将代入即可求直线的解析式； （2）由题意可得，由（1）可得点的坐标为， 表达出的面积即可，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：∵，， 四边形为矩形， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将代入得， 解得， ∴， 故答案为：；； （2）解∶由题可知，， 由（1）可知，点的坐标为 ， ∴当时，有最大值3． 23（2024·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点Q为x轴上一动点，过点Q作轴，交直线于点M，交抛物线于点P． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，以O，M，P，B为顶点的四边形是否为平行四边形，若是，求出Q点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，，， 【分析】（1）本题考查了函数解析式，只要把图像的坐标点代入解析式，解方程即可求解． （2）本题函数结合平行四边形，利用平行四边形性质，找到等量关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点， ，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的解析式为， ，． ，解得 直线的解析式为， 设Q的坐标是， 的坐标是，的坐标是， ， ， 以O，M，P，B为顶点的四边形是平行四边形， ， ， 解得或， Q点的坐标为，，． 4．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，矩形顶点的坐标为，定点的坐标为，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形．设运动时间为秒． (1)当___________时，的边经过点，当___________时，点落在边上； (2)设和矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式； (3)如图2，过定点作，垂足为，当的顶点落在矩形的内部时，过点作轴、轴的平行线，分别交、于点M、N，若，直接写出的值___________． 【答案】(1)1，； (2) (3) 【分析】（1）的边经过点时，构成等腰直角三角形，则有，由此列方程求出即可，当落在边上时，因为是等腰直角三角形，故，由此列出方程求解即可； （2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按的取值范围分段写出关系式即可； （3）首先判定四边形是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明，设，，在中，有勾股定理得出和的关系式，由此等式列方程求出的值即可． 【详解】（1）的边经过点时，构成等腰直角三角形， ， 即， 解得， 时，的边经过点； 点落在边上，则纵坐标的长度和相同， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得， 时，点落在边上； 故答案为：1，； （2）①当时，如图1所示， 设交于点， 过点作于点，则，， ； ②当时，如图2所示， 设交于点，交、于点、，过点作于点， 则，，，则， ， ； ③当时，如图3所示， 设与交于点，则，， ， ； 综上，与的函数关系式为； （3）， ， 四边形是正方形， 如图4，将绕顺时针旋转，得到，其中和重合， ， ， ， ， 连接， 在和中， ， ， ， ， 设，， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得，，① 延长交轴于点，则 ， ，， ， ， 代入①式，化简得：， 解得或（舍去）， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，涉及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练应用分类讨论思想是解题的关键． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 【答案】(1)； (2)这辆货车不能安全通过，理由见解析． 【分析】（1）由题意可知顶点P的坐标为，则设抛物线的解析式为，把点代入求解即可； （2）根据隧道隧道是双向车道，把代入解析式中求出的值与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， 即所求抛物线的解析式为：； （2）解：当时， ， 这辆货车不能安全通过． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式． 1．（2024·陕西咸阳·三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）周末，小明跟父母去某自然景区露营，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为2.6米的树与树之间（米），两边拴绳的地方A、B距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为0.81米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为2.25米时，求吊床上该处离左边树的距离． 【答案】(1) (2)0.1米或2.5米 【分析】由题意得 ，可设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求出a的值，即可得抛物线的表达式； （2）根据题意求出时x的值，即可得吊床上该处离左边树的距离. 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，以及已知函数值求自变量的值解决实际问题．熟练掌握待定系数法求二次函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得，， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）将代入，得 ， 解得，， 吊床上该处离左边树的距离为0.1米或2.5米． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且轴，轴），小颖为爸爸设计了两种方案： 方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架对大棚进行加固； 方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架对大棚进行加固． 方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为、，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗） 【答案】(1) (2)方案一更省钢材，见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）由题意可得，将其代入表达式结合抛物线对称轴联立方程组即可 （2）分别将点p在顶点上时和横坐标为5时，代入解析式，求出纵坐标，根据轴，轴，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 将代入，得， 抛物线的顶点B的横坐标为2． ，即， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）方案一：抛物线的顶点B的横坐标为2． ， 将点P设在抛物线的顶点B处， 轴，轴， ， （米）． 方案二：点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上， 即当时，， ， 轴，轴， ， （米）． ． 综上可知，方案一更省钢材． 4．（2024·河南开封·一模）开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处 C 点与路面的距离为50米，若以点 O 为原点，所在的直线为y 轴，建立如图②所示的平面直角坐标 系，抛物线与x 轴相交于A、B 两点，且两点间的距离为80米． (1)求这条抛物线的解析式； (2)钢拱最高处C 点与水面的距离为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）根据题意得出，，设抛物线解析式为，把代入求出a的值，即可解答； （2）先求出，则，求出把时x的值，即可解答； （3）根据二次函数的图象和性质得出当时，y取最大值50，当时，y取最小值，，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴此时这条钢拱之间水面的宽度为； （3）解：∵， ∴抛物线的定做坐标为， ∴当时，y取最大值50， ∵， ∴抛物线开口向下，则离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，y取最小值，， ∴当时，． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【答案】【任务一】110；；【任务二】将售价下降2元或6元能使利润达到2520元；【任务三】将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． [任务一]依据题意，由售价每上涨1元个，每天要少卖出5个，再结合涨价2元个，即可得平均每天销售数量；依据售价每下降1元个，每天可多卖出10个，可得当降价元个时，可得平均每天销售数量； [任务二]依据题意，若设涨价元个时，可得，进而可得△，故可判断涨价不能使利润达到2520元；若设降价元个时，则得，进而计算可以得解； [任务三]依据题意，为尽快减少库存，故采取降价促销，从而可得每天的利润，再由二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：[任务一] 由题意，售价每上涨1元个，每天要少卖出5个， 又涨价2元个， 平均每天销售数量为：（个）． 又售价每下降1元个，每天可多卖出10个， 当降价元个时，平均每天销售数量为：个． 故答案为：110；． [任务二] 由题意，若设涨价元个时， 得， 化简得． ． 涨价不能使利润达到2520元． 若设降价元个时， 得， 化简得， 解得，． 将售价下降2元或6元能使利润达到2520元． [任务三] 尽快减少库存， 采取降价促销． 每天的利润． 将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元． 1．（2024·山西阳泉·三模）项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 【答案】（1）一次，；（2）老陈醋的最优销售单价是35元/壶，最大利润是450元 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的极值问题，对于（1），根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； 对于（2），求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出极值． 【详解】解：（1）观察表格可知老陈醋每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为，将点代入，得 ， 解得， 所以一次函数关系式为． 故答案为：一次函数解析式为； （2）根据题意，得 ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 所以当老陈醋的单价为35元时，最大利润为450元． 2．（2024·湖北十堰·模拟预测）某旅游景区新进一批文创产品，每件进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)当日销售利润不低于6000元时，求每件文创产品售价x的取值范围． 【答案】(1) (2)每件产品售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是12250元． (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出函数表达式，熟练掌握二次函数的性质． （1）根据“每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件”即可列出函数关系式； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出W关于x的函数关系式，再根据题意列出不等式组，求出x的取值范围，再结合二次函数的性质，即可解答； （3）先求出时x的值，再结合二次函数的性质，以及（2）中得出x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得 ， 由题意得， 解得， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为12250， 答：当每件产品售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是12250元； （3）解：当元时，， 解得， ∵， ∴图象开口向下， ∴当时，， 又∵， ∴， 答：当日销售利润不低于6000元时，每件文创产品售价x的取值范围为． 3．（20-21九年级上·湖北武汉·期中）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【详解】（1）解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 4．（2024·湖北鄂州·模拟预测）某公司销售一种产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系如下表所示，每件产品的利润z（元）与月份x（月）满足关系式（，且x为整数）． x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 28 32 36 40 44 48 52 52 52 52 52 52 (1)请你根据表格分别求出当和（x为整数）时，销售量y（万件）与月份x（月）的关系式； (2)求当x为何值时，月利润（万元）有最大值，最大值为多少? (3)求该公司月利润不少于660万元的月份是哪几个月? 【答案】(1)（，x为整数），（，x为整数） (2)当，月利润（万元）有最大值，最大值为676万元 (3)5，6，7月 【分析】（1）当时，设，用待定系数法求解即可，而当时，不变，且为52，因此； （2）当，为整数时，，转化为二次函数求最值问题即可；当，为整数时，，根据一次函数的性质即可求解，最后再比较最大值即可； （3）当，为整数时，令，解得，结合函数图像得到当，为整数时，月利润不少于660万元，当，为整数时，，故可得月利润不少于660万元的月份是5，6，7月． 【详解】（1）解：根据表格可知，当时，设， 当，， 则， 解得：， ∴， 当时，， 综上可得：（，x为整数），（，x为整数）； （2）解：当，为整数时，， ∵，且对称轴为直线， ∴随着x的增大而增大， ∴当，月利润（万元）有最大值，最大值为676万元； 当，为整数时，， ∵， ∴当，随着x的增大而减小， ∴当时，有最大值，元， 综上可得：当，月利润（万元）有最大值，最大值为676万元； （3）解：当，为整数时，则， 化简得：， 令， 当时，即， 解得， ∴结合如下图像：当时， 得，而， ∴当，为整数时，月利润不少于660万元， 当，为整数时，， 综上所述，月利润不少于660万元的月份是5，6，7月． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图像与不等式的关系，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 32．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． (1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）把，代入求解即可； （3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断. 【详解】（1）解： ， ∴当时，h最大， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 当时，， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：小明的说法不正确．     理由如下： 由（2），得， 当时，， 解方程，得，， ∴两次间隔的时间为， ∴小明的说法不正确． 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 (1)求抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【详解】（1）∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； （2）∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 2．（2024·陕西西安·三模）一次足球训练中，小天在球门正前方的A处射门，足球射向球门的运动路线为抛物线，足球在离地面4米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为6米．已知球门高为2.44米，足球离地面3米时，其与球门的水平距离为10米．现以O为原点建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为2.31米，求辉辉需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门？ 【答案】(1)抛物线的函数解析式为；此次射门在不受干扰的情况下能进球 (2)辉辉需要站在离球门距离为0.8米以内的地方才可能防守住这次射门 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式，当时，求出y的值再与比较，即可知球能不能射进球门； （2）根据抛物线的解析式，令，求出x的值，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，抛物线经过点， 设抛物线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 当时，， ， 此次射门在不受干扰的情况下能进球； （2）解：令，则， 解得：，， 防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守， ， 答：辉辉需要站在离球门距离为0.8米以内的地方才可能防守住这次射门． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球。2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的。甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动。图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为的中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球。以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，段抛物线的解析式为，段的解析式为． (1)当球在球网左侧距球网时到达最高点，求的解析式； (2)球从处弹起至最高点后下落过程中，球刚好擦过球网，视为网球重发，求的值； (3)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍（看作线段）在的正上方处，，若将球拍向前水平推出（）可接住球（不包括球刚好碰到边沿点），求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性以及顶点坐标，可求出对称轴的关系式，进而求出的值，确定抛物线的关系式； （2）根据题意，可求出对称轴，利用抛物线上点的对称性列式，进而求出的值； （3）根据题意求出段抛物线的解析式，再根据关系式求出当时相应的的值，进而求出的最大值和最小值，确定的取值范围． 【详解】（1）解：段抛物线的解析式为，， 是抛物线的对称轴，即，解得， ； （2）解：段抛物线的解析式为，， 是抛物线的对称轴，即，解得； （3）解：由题意可知，段抛物线的解析式为， 点的横坐标为，把代入得，解得（舍去），， 段抛物线的解析式为， 当时，即，解得，， 的最小值为，的最大值为，即． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线上点的对称性等知识，读懂题意，求出二次函数关系式以及将实际数字转化为点的坐标是解决问题的关键． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 【答案】(1)①；② (2)8米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能利用数形结合思想是关键． （1）①依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解； ②依据题意，把代入即可得解； （2）依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，利用，得出与的关系，将代入，即可得解． 【详解】（1）解：①设第一象限内水柱的函数表达式为． 当时，把代入函数表达式，得 ． ． 第一象限内水柱的函数表达式为． ②把代入， 得， 得； （2）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为． ， ． 把代入，得， ． ． 水柱达到的最大高度8米． 1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 【答案】(1) (2)①射水鱼需要向右游动才能击中昆虫；②经过射水鱼恰好能击中昆虫 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题： （1）运用待定系数法求解即可； （2）①令，求出x的值，再进行判断即可；②根据“时间=路程÷速度”求解即可 【详解】（1）解：水柱的最大高度为， ， 射水鱼在原点处， 将代入8，得， 解得或（舍去）， 水柱的解析式为 （2）解：①令，得， 解得或， ， ， 射水鱼需要向右游动才能击中昆虫． ②由题意得，， 经过射水鱼恰好能击中昆虫． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h． (1)已知．若喷水口在P处，，． ①求水线最高点与点B之间的水平距离； ②求水线的最大高度； ③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． (2)在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度． 【答案】(1)①水线最高点与点B之间的水平距离为2米；②水线的最大高度为米；③该点与O的水平距离应小于4米 (2)水线的最大高度是米 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的性质． （1）①根据得出抛物线对称轴为直线，即可解答；②根据抛物线对称轴为直线，得出，得出，设，把代入得求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式，即可解答；③把代入，求出函数值，结合二次函数的增减性，即可解答； （2）设，则，则抛物线对称轴为直线，，设该抛物线解析式为． ，代入得，推出，即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴水线最高点与点B之间的水平距离为2米； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， 设， 把代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵，， ∴当时，y取最大值， ∴水线的最大高度为米； ③把代入得：， 解得：， ∵，抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴该点与O的水平距离应小于4米； （2）解：设，则， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴， 设该抛物线解析式为． ∵， ∴， 设， 把，代入得： ， 得：， ∴， ∴水线的最大高度是米． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为．      (1)若已知，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时a、b的值； (2)若，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ (3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)9米 (3) 【分析】（1）根据抛物线的顶点在直线上，抛物线为，且喷出的抛物线水线最大高度达，可以求得a，b的值； （2）根据，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线上，可以求得抛物线的对称轴x的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度； （3）抛物线的顶点在直线上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得a的范围． 【详解】（1）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上，，抛物线水线最大高度达， ∴，， 解得，，， 即，且喷出的抛物线水线最大高度达，此时a、b的值分别是，2； （2）解：，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边，抛物线的顶点在直线上， ∴此时抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米； （3）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：， 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 3．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【经典例题八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型）】 【例8】（2024·浙江金华·二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 【答案】（1）；（2）门高为；（3）此时的长为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线的解析式为，又抛物线过，求出即可得解； （2）依据题意，设，又在抛物线，求出后即可得解； （3）依据题意，由，，可得直线为，再结合，可设为，进而可得，根据直线与抛物线相切△，求出后即可得直线，最后可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 又抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）由题意，设， ． 又在抛物线， ． 或（舍去）． ； 答：门高为； （3）由题意，，， 直线为． 又∵， 可设为． ． ． △． ． 直线为． 令， ．即， 答：此时的长为． 1．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 【答案】（1）；（2）图象见解析，函数表达式为 （3）该车已超速行驶；（4）车刹车前的最大速度不能超过千米/小时 【分析】（1）根据反应时间=列式，注意转换单位； （2）秒点连线，用待定系数法求解析式即可； （3）把带入解析式求解，与比较即可； （4）根据停车距离反应距离制动距离列不等式求解，舍去负值． 【详解】（1）反应时间 所以驾驶员正常的反应时间为秒 （2）解：图像如下： 由图像大致可知函数图象为二次函数， 因为图象经过原点，设二次函数解析式为：，把，代入： 函数表达式为． （3）把代入， 解得（舍）． 车速大于限速， 所以该车已超速行驶． （4）设汽车刹车前的速度为千米/小时． 则根据停车距离反应距离制动距离， 可列： 整理得：， 取最大距离，则 解得（舍） 汽车刹车前的最大速度不能超过千米/小时． 【点睛】本题考查实际问题与二次函数，描点作图、待定系数法求二次函数解析式、二次不等式，掌握相关知识点是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 【答案】任务1：（1）；（2）能，该套餐售价应定为11元；任务2：（3）每份套餐的售价定为12元，最高利润为1640元 【分析】任务1：（1）由题意得y与x的函数关系式为； （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，，将代入，求出符合要求的解即可． 任务2：（3）根据函数解析式，结合x的取值，求出函数的最大值即可． 【详解】任务1：（1）解：由题意得y与x的函数关系式为： ． （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时， ， 将代入得：， 解得：，， 为了保证净收入又能吸引顾客，应取， ∴把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的纯收入能达到1560元，该套餐售价应定为11元． 任务2：（3）每份套餐售价不超过10元时，获得利润为： （元）， 每份套餐售价提高到10元以上时，获得的利润为： ， ∵，且x为整数， ∴当或时，获得利润最大， ∴为了吸引顾客，售价应该定为12元，且最大利润为： （元）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列出函数解析式． 3．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． 任务一：由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解； 任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； 任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， ∴水流抛物线的函数表达式为：； 任务二、不能， 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三、 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 【经典例题九 二次函数其他问题】 【例9】（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 【答案】(1) (2)时，P的最大值为4418 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案； （2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：当时，． 当时，设， 由图象可知，， 解得：， 当时，； （2）根据题意，得． 答：当车流密度为94辆千米时，车流量最大，为4418辆时． 1．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    【答案】（1）作图见解析，；（2）6；（3）至少15度 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用， （1）以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，把代入得，，进而求解即可； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，首先求出点，，设与k的函数解析式为，待定系数法求出，射线的解析式可化为，把，代入求解即可． 【详解】解：（1）如图，以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，      则点A的坐标为， 设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得 ，解得， 滑道所在抛物线的函数表达式为； （2）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系   运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， 运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 即 运动员到达最高处时与点A的水平距离6； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，   点Q在底面下方竖直距离， 把代入得， ， 解得， 点， ，， ， ， 设与k的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ， ， 射线的解析式可化为， 把，代入得， ， 解得， 俯角至少15度． 2．（2024·浙江宁波·一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息： （秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： (1)依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； (2)根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； (3)地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 【答案】(1)见解析 (2)二次， (3)28秒 【分析】本题考查了二次函数的应用，画函数图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌掌握二次函数性质是解题的关键． （1）根据描点，连线，画出函数图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解；待定系数法求二次函数解析式即可求解； （3）将代入，解方程即可求出的值，再用即可得出结论． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： （2）解：根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数， 设， 将，，代入中， 得：， 解得：， 该函数的表达式为； （3）解：依题意，当时，， 解得：， ， 地铁的停靠时间为28秒． 3．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式； （2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解； （3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为， 故可设该二次函数解析式为， 又过点， ． ． ． （2）解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、， 故可设该二次函数解析式为，代入得 ， ，，． ． 当时，． 答：这个不倒翁的总高度为． （3）解：由题意，令， 或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方． 当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线． 【经典例题十 二次函数综合问题】 【例10】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， (1)若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； (2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 【答案】(1)①；② (2)8 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）①直接用待定系数法将点代入求出即可；②将二次函数解析式化为顶点式即可判断出当随的增大而减小时，的取值范围； （2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点 和点关于对称轴对称，得，求出，把点代入，用含的式子表示出，最后代入中即可． 【详解】（1）解：①二次函数过点 二次函数的表达式为； ② 时，随的增大而减小 即当随的增大而减小时，的取值范围为； （2）二次函数 抛物线的对称轴为 点 和点关于对称轴对称 把点代入得 解得 . 1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)以，，，为顶点的四边形的面积为8 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式，二次函数 图象的性质： （1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，根据，即可得到； （3）先求出点B的坐标，再求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，解方程求出m的值从而确定点的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵且， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴； （3）解：当时，解得或 ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，（舍去）或，（舍去）， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，以O，C，P，M为顶点的四边形的面积为8． 2．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，一次函数的图象和性质，勾股定理的运用，菱形的判定和性质，中点坐标的运用，即可． （1）把点，代入二次  函数，即可； （2）根据二次函数求出点，可求出对称轴设直线的解析式为：，求出直线的解析式，则求出点坐标，过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，设直线的解析式为：求出直线的解析式的解析式，即可求出点的坐标，则过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，的面积等于梯形减去梯形减去梯形，即可． （3）根据点与点关于直线对称，则，，，推出，；再根据平行线的性质则，等量代换，等角对等边，菱形的判定和性质，得点是，的中点，根据勾股定理求出，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）∵点，在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． （2）∵与轴有两个交点， ∴， ∴点， ∴对称轴为：， ∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵点在直线上，且横坐标为， ∴点， 过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值， 设直线的解析式为：， ∵直线与二次函数有且仅有一个交点， ∴有一个实数根， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴得， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， ∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形， ∴． （3）存在，理由如下： ∵点与点关于直线对称 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴连接，交点为点， ∴点是，的中点， ∵，， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴点，， ∵点是，的中点， ∴，， 设点， ∵点，， ∴， ∴点， ∵点，， ∴， 点； 综上所述，点或．    3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．抛物线与轴的交点为，在左侧，与轴的交点为．    (1)求抛物线的解析式及的面积． (2)在第四象限的抛物线上找一点，使的面积为的一半，求出此时点的横坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为：；面积为 (2)点的横坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数的综合； （1）根据题意可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可，根据解析式得，，，根据三角形面积公式即可求解； （2）过点作轴，交于点，易求得直线的解析式为，则设点，则点，然后可得，进而可得方程，最后问题可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可设抛物线的解析式为． 抛物线经过点， ． ． 抛物线的解析式为． 令，解得，． ，． 当时，， ． ． （2）解：如图，过点作轴，交于点．    设直线的解析式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为． 设点，则点， ∵， ． ． ． 解得，． 综上所述，点的横坐标为或． 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 2．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （    ） A． B．    C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用；建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出液面的宽即可． 【详解】解：依题意，建立如图所示的直角坐标系，设截面抛物线．    将代入，得．解得． ∴． 将代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【分析】本题考查函数与不等式的关系，正确应用数形结合思想是解题关键． 令，根据题意画出的图象草图，再据此求解即可． 【详解】令， 一元三次方程的解为，，， 的图象与x轴的交点为，，． 当时，， ， 函数的图象与x轴的交点不含， 的图象草图如下： 从图象上可以看出时，即时，x的取值范围是或． 关于x的不等式的解集是或． 故选：A． 4．（2024·天津南开·二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件；正确； ②根据题意，得，整理，得， 解得，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ，故每星期的最大利润为6125元．判断即可． 利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件； 正确； ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元； 错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ， 故每星期的最大利润为6125元．错误． 故选C． 5．（2024·天津河北·二模）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是(   )    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，抛物线过，，，再设二次函数的关系式为 ，进而建立方程组求出即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米），故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为米，故可判断①． 【详解】解：由题意，抛物线过，，， 设二次函数的关系式为 ， ． ． 函数的表达式为，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线， 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为米，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米），故①正确． 综上，正确的有①②共个． 故选：B． 6．（2024·山东临沂·二模）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元． 【答案】75 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价． 【详解】解：设降价x元，利润为W， 由题意得：， 整理得：， ∴当时，可获得最大利润， 此时每顶头盔的售价为：（元）， 故答案为：75． 7．（2024·内蒙古赤峰·二模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 m． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为，将代入解析式得出①；喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为；将代入解析式得②，联立①②可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距O点，则此时的解析式为，将代入求解，即可解题． 【详解】解：由题知，喷头高时，水柱落点距O点； 设抛物线形水柱解析式为， 则①， 喷头高时，水柱落点距O点．且抛物线形水柱竖直上下平移， 这时抛物线形水柱解析式为， 则②， 联立①②解得，， 设喷头高应调整为米， 调整后抛物线形水柱解析式为， 要使水柱落点距O点， 过点， 即， 解得， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·全国·课后作业）为了节省材料，某工厂以岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则给出下列四个结论：①米，②；③；④长方形的最大面积为300平方米，其中，正确的是 .    【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，几何图形相关的整式运算，理解题意，找准图形间的数量关系是解题关键．设两个相同的小长方形的两边长分别为a，b，通过计算说明①②③，针对④可列出面积S与x的关系式，然后根据二次函数的性质说明即可． 【详解】解：∵三块小长方形的面积相等， ∴，， 设米，米，则米， ∴米， ∴， 无法得出，故②错误，③正确； ∵， ∴， ∴米，故①错误. ∵， 又∵， ∴当，即米时，长方形的面积最大，且最大面积为300平方米，故④正确； 综上分析可知，正确的是③④． 故答案为：③④． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点分别为上的动点，且与交于点，点为的中点．    （1）若，则的长 ． （2）在整个运动过程中，长的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，得出，，根据勾股定理求出即可； （2）然后得到，即得到，设则，根据勾股定理得出，然后求出结果即可． 【详解】解：（1）∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 设则， ∴， ∴当时，最小为，即最小为； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值，根据全等三角形的判定和性质得到，是解题的关键． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡找一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同．小强在地面立一块高度为的木板，以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，拋球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为．    （1）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离是 ； （2）为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求出第一次运行路线所在的抛物线解析式，再令得，解方程即可得解； （2）利用待定系数法先求得第二次弹起的抛物线，再求出时对应自变量的值即可求解． 【详解】解：（1）乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点， 设第一次运行路线所在的抛物线解析式为． 代入得，， 解得， ， 令，则 解得，（舍） ，即乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为， 故答案为：； （2）乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为， 设． 代入得． 解得，（舍） ． 当时，， 解得， ∴为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是， 故答案为：． 11．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 12．（2024·河南周口·二模）某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数解析式等知识，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用． （1）根据题意，建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点坐标，设抛物线的函数表达式为，将代入抛物线的函数表达式即可求解； （2）根据题意得左侧抛物线的顶点为，且过点，设左侧抛物线的函数表达式为 ，将代入函数表达式即可求得左侧抛物线的函数表达式，当时，代入函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：如下图所示，以A 为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． ∵，两电线杆间的距离为， ∴抛物线的顶点为 设抛物线的函数表达式为 将代入 得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：距离 为，，左侧抛物线的最低点到地面的距离为， ∴左侧抛物线的顶点为，且过点． 设左侧抛物线的函数表达式为 将代入 得．解得． ∴左侧抛物线的函数表达式为 ∴当时， ， ∴电线杆上电线离地面的距离为． 13．（2024·山西吕梁·模拟预测）随着多地中考体育项目以及分值的调整，游泳成为某些地区中考选考科目，如图某校新建成游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点P离地面的距离为9米，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物线的表达式． (2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处位于地面上方2米，求条幅与的水平距离． 【答案】(1) (2)条幅与的水平距离为米到米之间 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据矩形的性质，求出点的坐标，进而求出点的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形，米，米， ∴米，米， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 设抛物线的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）解：由题意，当时：， 解得：， 当时，， ∴条幅与的水平距离为米到米之间． 14．（2024·河北石家庄·三模）一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ (3)在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．（填序号即可，） ①；    ②；    ③． 【答案】(1)，此次射门在不受干扰的情况下能进球 (2)小明至少后退才可能防守住这次射门 (3)② 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的平移，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）根据题意设抛物线为．将代入解析式得到，令，得到，即可解题； （2）根据小明的最大起跳高度是，代入解析式求解，即可解题； （3）根据题意设小华带球向正前方移动b m，得到移动后的解析式为．将B代入求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点为， 可设抛物线为． 又抛物线过， ． ． 所求抛物线为． 又令， ． 此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）解：由题意，结合（1）， 抛物线的解析为， 又小明的最大起跳高度是， ． 或． 小明需要站在抛物线左侧防守， ， m,即小明至少后退才可能防守住这次射门． （3）解：由题意，设小华带球向正前方移动b m， 移动后的解析式为． 又B为， ． 或2.4（，舍去）． 小华最多可以向球门移动约． 故答案为：②． 15．（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【答案】(1)， (2)①；②第周或第周销售额最大，最大销售额是元 (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）①利用待定系数法即可求解； ②分和两种情况讨论，利用销售额=销售量销售价格，再运用二次函数的性质求解即可； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）①设函数关系式为： 把，代入得：， 解得：， 与的函数表达式为：； ②当时， ，， ， ， 是正整数， 当或时，有最大值； 当时，，， 当时，，， ， 是正整数，， 当时，有最大值； 综上所得：第周或第周销售额最大，最大销售额是元； （3）由题意得： ， 解得：或(舍去)， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$